培优专题 第五章 轴对称图形01（知识盘点+9题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024)

培优专题 图形的轴对称 01 轴对称图形与对称轴 ·如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （2025·浙江台州·一模）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 常见的轴对称图形及其对称轴数量 名称 圆 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 线段 角 图形 对称轴 无数 4 2 3 1 1 2 1 1 成轴对称 ·成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点） （24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A．B．C．D． ·成轴对称的性质 成轴对称图形 和关于直线l成轴对称； 对应点：A和A’，B和B’，C和C’； 对应点的连线段：AA’，BB’，CC’； 对应点连线段的中点：AA’的中点O1，BB’ 的中点O2，CC’ 的中点O3； 对应点连线段与对称轴的关系 对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段. 对应点连线段与对称轴l的关系：l⊥AA’、 l⊥BB’、 l⊥CC’. 成轴对称的两个图形的关系 成轴对称的两个图形全等：对应边相等，对应角相等 成轴对称图形的性质 一般地，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出关于直线l对称的． （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 【概念辨析】轴对称与轴对称图形的区别： 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 等腰三角形及其性质 ·轴对称图形——等腰三角形 等腰三角形定义 在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形， 其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 图示 特殊的等腰三角形——等腰直角三角形： 顶角为直角，两个底角都等于45° 等腰三角形中的角度关系 ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 等腰三角形的性质 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 几何语言：∵△ABC为等腰三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC、BD=CD.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”） 如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． ·轴对称图形——等边三角形（特殊的等腰三角形） 等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 图示 等边三角形的性质 对称性 等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三个角的角平分线 性质定理1 定理1推论（等边三角形的性质）： 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60° 几何语言： 如图，∵△ ABC 为等边三角形，∴∠A=∠B=∠ C=60°. 性质定理2 各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等（“三线合一”） 线段垂直平分线及其性质 ·轴对称图形——线段 线段的对称轴 垂直并且平分线段的直线是线段的一条对称轴 图示 线段垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线（垂直平分线两个条件：①过线段中点；②垂直于线段） 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何表述：∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上，∴PA=PB 证明思路：利用SAS证明△PAO≌△PBO 如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 角平分线及其性质 ·轴对称图形——角 角的对称轴 角平分线所在的直线是角的对称轴 图示 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何表述：∵OC平分∠AOB，P在AO上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 证明思路：利用AAS证明△PDO≌△PEO （24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 确定轴对称图形的位置 例1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 根据角平分线或垂直平分线的性质转化线段 例2．如图，在中，，且，垂直平分，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【变式2-1】已知在中，，的垂直平分线交线段于E，若的周长是，的腰长是，则底边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 破题关键：①垂直平分线上的点到线段两端的距离相等——转化线段；①角平分线上的点到角两边的距离相等——作垂线段转化线段 根据等腰三角形的性质进行求解 例3．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 例4．如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ． 例5．在中，，于点D，E在上，，，则 ． 例6．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 【解题方法总结】 “三线合一”性质应用 在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 几何表述：如图，在△ ABC 中， ①∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； ②∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； ③∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 作轴对称图形 例7．轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【变式7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，画出所有与成轴对称的三角形，并指出其对称轴． 角平分线的性质与面积问题 例8．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    【变式8-1】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【变式8-2】如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-3】如图，在中，平分，于点E，若，，，则长是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式8-4】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 在折叠模型中根据轴对称性质求角度 例9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，将四边形沿折叠后，两点分别落在上，若，则的大小是 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在，的位置，若，则等于 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数用x的代数式表示是 ． 【解题技巧总结】折叠问题中求角度 ①翻折前后图形全等——对应角相等; ②三角形中的角度关系. 折叠问题与分类讨论思想 例10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为 ． 【变式10】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【解后反思】 在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点: (1)准确确定方向和边界点; (2)准确使用不等号. 根据轴对称的性质转化线段求最值 例11．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【变式11-1】（2025·河南信阳·一模）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式11-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别是上任意一点，若，的面积为，则的最小值是 ． 轴对称图形与构造全等三角形解决问题 例12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 例13．（24-25七年级下·全国·课后作业）【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． ※例14．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 1.如图所示，，若和分别垂直平分和，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，在中，平分，若，，则的比为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东茂名·一模）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 6.在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 7.如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 图形的轴对称 01 轴对称图形与对称轴 ·如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （2025·浙江台州·一模）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 常见的轴对称图形及其对称轴数量 名称 圆 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 线段 角 图形 对称轴 无数 4 2 3 1 1 2 1 1 成轴对称 ·成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点） （24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． ·成轴对称的性质 成轴对称图形 和关于直线l成轴对称； 对应点：A和A’，B和B’，C和C’； 对应点的连线段：AA’，BB’，CC’； 对应点连线段的中点：AA’的中点O1，BB’ 的中点O2，CC’ 的中点O3； 对应点连线段与对称轴的关系 对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段. 对应点连线段与对称轴l的关系：l⊥AA’、 l⊥BB’、 l⊥CC’. 成轴对称的两个图形的关系 成轴对称的两个图形全等：对应边相等，对应角相等 成轴对称图形的性质 一般地，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出关于直线l对称的． 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：过点B作直线的垂线，垂足为，在垂线上截取，用同样的方法作出点关于直线的对称点；连接，得到就是所要作的图形． （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：（1）利用方格，作点A关于直线的对称点；（2）用同样的方法作出点，D关于直线的对称点，；（3）连接，得到的四边形就是所要作的图形． 【概念辨析】轴对称与轴对称图形的区别： 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，可判断A选项正确；由等腰三角形的性质得垂直平分，可判断B选项正确；由，，推导出，可判断C选项正确；举“反例”，，则，所以，说明与不一定相等，可判断D选项错误． 【详解】解：在和中， ， ， ， 平分，故A选项正确； ，平分， 垂直平分，故B选项正确； ，， ，故C选项正确； 假设，，则， ， 与不一定相等，故D选项错误； 故选：D． 等腰三角形及其性质 ·轴对称图形——等腰三角形 等腰三角形定义 在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形， 其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 图示 特殊的等腰三角形——等腰直角三角形： 顶角为直角，两个底角都等于45° 等腰三角形中的角度关系 ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 等腰三角形的性质 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 几何语言：∵△ABC为等腰三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC、BD=CD.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”） 如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， 故A，C，D正确， 没有条件证明，故B错误， 故选：B． 如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， 在和中 ． ·轴对称图形——等边三角形（特殊的等腰三角形） 等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 图示 等边三角形的性质 对称性 等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三个角的角平分线 性质定理1 定理1推论（等边三角形的性质）： 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60° 几何语言： 如图，∵△ ABC 为等边三角形，∴∠A=∠B=∠ C=60°. 性质定理2 各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等（“三线合一”） 线段垂直平分线及其性质 ·轴对称图形——线段 线段的对称轴 垂直并且平分线段的直线是线段的一条对称轴 图示 线段垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线（垂直平分线两个条件：①过线段中点；②垂直于线段） 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何表述：∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上，∴PA=PB 证明思路：利用SAS证明△PAO≌△PBO 如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 角平分线及其性质 ·轴对称图形——角 角的对称轴 角平分线所在的直线是角的对称轴 图示 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何表述：∵OC平分∠AOB，P在AO上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 证明思路：利用AAS证明△PDO≌△PEO （24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 确定轴对称图形的位置 例1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】8 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种； 故答案为：8． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】画轴对称图形 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 根据角平分线或垂直平分线的性质转化线段 例2．如图，在中，，且，垂直平分，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴； 故选B． 【变式2-1】已知在中，，的垂直平分线交线段于E，若的周长是，的腰长是，则底边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长为，结合的腰长是，进行求解即可．熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，的腰长是， ∴， ∵的垂直平分线交线段于E， ∴， ∴的周长， ∴； 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】14 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查基本作图-作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息．利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故答案为：14． 【变式2-3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分的性质，理解角平分线的性质是解答关键． 根据角平分线的性质得到，，再利用三角形周长来求解． 【详解】解：中，，的平分线交于点，过点作于点， ，， ∴． 的周长为12， ， 即． 的周长为24， ， 即， ， ． 故选：C． 破题关键：①垂直平分线上的点到线段两端的距离相等——转化线段；①角平分线上的点到角两边的距离相等——作垂线段转化线段 根据等腰三角形的性质进行求解 例3．如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 例4．如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则 ． 【答案】1.8 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据，，证明，令点到的距离为，点到，的距离为，，则，再由等面积法可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则平分， 令点到的距离为，点到，的距离为，，则， ∴， 则，即：， ∴， 故答案为：1.8． 例5．在中，，于点D，E在上，，，则 ． 【答案】10 【知识点】等边对等角、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10． 例6．如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等角对等边，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质得，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【解题方法总结】 “三线合一”性质应用 在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 几何表述：如图，在△ ABC 中， ①∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； ②∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； ③∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 作轴对称图形 例7．轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 【答案】见解析 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据图形中已有的阴影正方形的位置和轴对称图形的定义作图． 【详解】解：如下图所示， （答案不唯一） 【变式7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，画出所有与成轴对称的三角形，并指出其对称轴． 【答案】见详解 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义解答即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此画图即可． 【详解】解：如图， 角平分线的性质与面积问题 例8．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】解：过点作，垂足为，   是的角平分线，， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 【变式8-1】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 【变式8-2】如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积为7，， ，即， ， 解得， 故选：B． 【变式8-3】如图，在中，平分，于点E，若，，，则长是（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．如图，过作于，证明，再利用面积公式建立方程求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 故选：B 【变式8-4】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 在折叠模型中根据轴对称性质求角度 例9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，将四边形沿折叠后，两点分别落在上，若，则的大小是 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．根据平行线的性质及折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在，的位置，若，则等于 ． 【答案】50 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．根据长方形的特点得到，从而，由折叠有，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴． 故答案为：50． 【变式9-3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数用x的代数式表示是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．先根据平行线的性质，设，图2中根据图形得出，图3中根据，即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：图1中，， ∴， ∴设， 图2中， ∵， ∴， 图3中， ， 解得． 即， 故答案为：． 【解题技巧总结】折叠问题中求角度 ①翻折前后图形全等——对应角相等; ②三角形中的角度关系. 折叠问题与分类讨论思想 例10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点．请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与三角形的一边平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 分，，三种情况，利用折叠性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴， 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式10】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、折叠问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 【解后反思】 在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点: (1)准确确定方向和边界点; (2)准确使用不等号. 根据轴对称的性质转化线段求最值 例11．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点C作于H，连接，先证明是的垂直平分线得到，进而推出当、在上时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵，是边上的高， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴当、在上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选D． 【变式11-1】（2025·河南信阳·一模）如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是是线段的垂直平分线，可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：B． 【变式11-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别是上任意一点，若，的面积为，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、垂线段最短 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等，连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，得到，可知当点共线且时，的值最小，最小值为的长，利用三角形面积求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点共线且时，的值最小，最小值为的长，如图， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 轴对称图形与构造全等三角形解决问题 例12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 例13．（24-25七年级下·全国·课后作业）【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作于E，作于F，先根据角平分线的性质得出，再证明，证明即可得出结论； （2）作于F．首先证明，再证明，得出，即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图②中，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ※例14．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 1.如图所示，，若和分别垂直平分和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理推出，则． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线； ②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的定义和判定定理，根据线段的垂直平分线的定义和判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断． 【详解】解：①不是的中点，则不平分线段，故错误； ②直线经过线段的中点，且垂直于则是线段的垂直平分线，故错误； ③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线，故正确； ④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线，故正确． 故选：B． 3.如图，在中，平分，若，，则的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积．先根据角平分线性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到和的距离相等，然后根据三角形的面积公式得到． 【详解】解：∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴， ∴， 则 故选：D． 4．（2024·广东茂名·一模）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据已知等式可得，再根据折叠的性质可得，，则，据此计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 5.（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质和角的和差关系可求出的度数，进而可求出的度数，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6.在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 7.如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$