专题 垂直平分线的性质&角平分线的性质（8大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第5章 图形的轴对称》 专题 垂直平分线的性质&角平分线的性质 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段长 1．（2024春•文山市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　） A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴DA＝DB，AB＝2AE＝6， ∵△ADC的周长为8， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝8， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8＝14， 故选：A． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．（2024秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【分析】根据线段垂直平分线求出AE＝BE，根据周长求出BE+CE＝5，求出AC＝5，即可得出答案． 【解答】解：∵AB的垂直平分线DE， ∴AE＝BE， ∵△BCE的周长为9，BC＝4， ∴4+BE+CE＝9， ∵AE＝BE， ∴AE+CE＝9﹣4＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 3．（2024春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题． 【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+EG＝16， ∴EA+GC+EG＝16， ∴GA+EG+EG+EG+EC＝16， ∴AC+2EG＝16， ∵EG＝1， ∴AC＝14， 故选：B． 【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 4．（2024秋•福田区校级期末）如图，在△ABC中，AE＝CE＝1，DE⊥AC．△BCD的周长为5，则△ABC的周长是 　 　 ． 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解答】解：∵DE⊥AC，AE＝CE＝1， ∴DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝5， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+2＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 5．（2024秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝　 　cm． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF，代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线， ∴FA＝BF＝12cm， ∵AC＝15cm， ∴CF＝AC﹣AF＝3（cm）． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2024秋•互助县期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，求AC的长． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴AE+CE＝BE+CE， ∵△BCE的周长为18，BC＝8， ∴BC+CE+BE＝18， ∴BC+CE+AE＝BC+AC＝18， ∴AC＝10． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵AC＝AE+CE， ∴BE+CE＝AC； （2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长等于22cm， ∴BC+CE+BE＝22（cm）， ∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm）， ∵BC＝10cm， ∴AC＝12（cm）． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（2024秋•东湖区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD． （1）若∠B＝110°，∠BAD＝20°，求∠C的度数． （2）若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长． 【分析】（1）由作法得MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，DA＝DC，从而得到∠C＝∠CAD，再根据三角形的内角和定理以及外角的性质，即可求解； （2）根据△ABC的周长为13cm，可得AB+BD+DA＝7，即可求解． 【解答】解：（1）由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE，DA＝DC， ∴∠C＝∠CAD， ∵∠B＝110°，∠BAD＝20°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝50°， 又∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C， ∴∠C＝25°； （2）∵△ABC的周长为13cm，AE＝3cm 即AB+BC+AC＝13cm，AC＝6cm， ∴AB+BD+DA+AC＝13， 即AB+BD+DA＝7， ∴△ABD的周长为7cm． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 9．（2024秋•永丰县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G． （1）△AEG的周长为12，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝115°，求∠EAG的度数． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，AG＝CG，再利用△AEG的周长为12得到AE+EG+AG＝12，然后根据等线段代换得到可得到BC的长； （2）先利用等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B，∠CAG＝∠C，再利用三角形内角和定理计算出∠B+∠C＝65°，所以∠BAE+∠CAG＝65°，然后计算∠BAC﹣（∠BAE+∠CAG）即可． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G， ∴AE＝BE，AG＝CG， ∵△AEG的周长为12， ∴AE+EG+AG＝12， ∴BE+EG+AG＝12， 即BC＝12； （2）∵AE＝BE，AG＝CG， ∴∠BAE＝∠B，∠CAG＝∠C， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°， ∴∠BAE+∠CAG＝65°， ∵∠BAE+∠EAG+∠CAG＝∠BAC， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAG）＝115°﹣65°＝50°， 即∠EAG的度数为50°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 题型二 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 1．（2024春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC， 则（　　） A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线， ∴DA＝DB，DB＝DC， ∴DA＝DC， 故选：C． 【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键． 2．（2024春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG， 故B、C、D不符合题意； ∵△ECD不一定是等边三角形， ∴EC≠CD， 故A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（2024秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？ 【分析】由∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，根据角平分线的性质，易得BE是∠ABD的角平分线，继而可得AE＝DE． 【解答】解：AE＝DE． 理由：∵∠A＝90°， ∴AB⊥AE， ∵AB＝BD，ED⊥BC， ∵AB＝BD，BE＝BE，∠A＝∠BDE＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）， ∴∠AEB＝∠DEB， ∴∠ABE＝∠DBE， ∴AE＝ED． 【点评】此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（2024秋•太仓市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上中点，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．求证：AE＝BE． 【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质证明即可． 【解答】证明：如图，连接EC， ∵AB＝AC，点D是BC边上中点， ∴AD⊥BC， ∵点D是BC边上中点， ∴EB＝EC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴AE＝BE． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 5．（2024秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论． 【解答】证明：连接AE， ∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°， ∴AD⊥EC， ∵点D为CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AD是线段CE的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2024秋•大观区校级期末）如图，在△ABC中，D、E是BC上两点，且AB＝BD，CA＝CE，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，BF、CG交于O点，求证：点O到△ADE的三个顶点的距离相等． 【分析】连接OA、OD、OE，设AD与BF相交于点M，AE与CG相交于点N，由等腰三角形的性质可得BF是AD的垂直平分线，CG是AE的垂直平分线，进而可得OA＝OD＝OE，据此即可求证． 【解答】证明：如图，连接OA、OD、OE，设AD与BF相交于点M，AE与CG相交于点N， ∵AB＝BD， ∴△ABD为等腰三角形， ∵BF平分∠ABC， ∴AM＝DM，BF⊥AD， ∴BF是AD的垂直平分线， ∴OA＝OD， 同理，∵CA＝CE，CG平分∠ACB， ∴AN＝EN，CN⊥AE， ∴OA＝OE， ∴OA＝OD＝OE，即点O到△ADE的三个顶点的距离相等． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键． 7．（2024秋•易县期中）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若DC+AF＝16，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据AD⊥BC，且BD＝DE，可得AD垂直平分BE，则AB＝AE，根据EF垂直平分AC，可得EA＝EC，据此可证明AB＝EC； （2）根据线段垂直平分线的定义得到AC＝2AF，根据BD＝DE，得到BC＝2DE+EC，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（DC+AF）＝32． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∵EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E， ∴EA＝EC， ∴AB＝EC； （2）解：∵EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E， ∴AC＝2AF． ∵BD＝DE， ∴BC＝2DE+EC． 由（1）得AB＝EC， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝EC+2DE+EC+2AF＝2（DC+AF）＝32． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 题型三 利用角平分线的性质解决求线段长问题 1．（2024春•沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到边OA的距离即等于PD的长． 【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE＝PD＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，结合图形熟练掌握定理，本题较简单． 2．（2024•惠安县模拟）如图，△ABC中∠A的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【分析】作DF⊥AC于F，由角平分线的性质得到DF＝DE＝5，于是得到点D到AC边的距离是5． 【解答】解：作DF⊥AC于F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴DF＝DE＝5， ∴点D到AC边的距离是5． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理． 3．（2024春•秀峰区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据角平分线的性质和线段的和差求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴ED＝DC， ∵DE＝3，BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 4．（2024秋•天津期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是角平分线，若AC＝6cm，AD：CD＝2：1，则点D到AB的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质得出DE＝CD，然后由比例求出CD＝2cm，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠ACB＝90，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵AD：CD＝2：1， ∴CDAC6＝2（cm）， ∴DE＝2cm， ∴D到AB的距离为2cm， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键． 5．（2024秋•平果市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到5×4AC×4＝8，然后解一次方程即可． 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴5×4AC×4＝24， ∴AC＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 6．（2024春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC， ∵AC＝7，， ∴CD＝3， ∴DE＝3， ∴点D到AB的距离等于3． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC． 7．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 8．（2024秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵△ACD的面积为16，AC＝8， ∴AC•DF＝16， ∴DF＝4， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，且∠ABC＝60°． （1）若∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若OB＝4，且△ABC的周长为32，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可得出答案； （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO，通过O为角平分线的交点，得出点O到三边的距离相等，利用含30度角的直角三角形的性质求出距离，然后利用S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC和周长即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠OBC30°，20°， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（30°+20°）＝130°，即∠BOC＝130°； （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO， ∵O为角平分线的交点， ∴点O到三边的距离相等， 又∵∠ABC＝60°，OB＝4， ∴∠OBD＝30°，OD＝2， 即点O到三边的距离都等于2， ∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC ＝AC+AB+BC， 又∵△ABC的周长为32， ∴S△ABC＝AC+AB+BC＝32． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型四 利用角平分线的性质解求周长问题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，AD＝AC＝3，再根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D， ∴DE＝CE，AD＝AC＝3， ∵△ABC的周长为12， 即AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AC＝12， ∴3+BD+BE+CE+3＝12， ∴BD+BE+CE＝6， 即BD+BE+DE＝6， ∴△BDE的周长为6， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．（2024秋•凉州区期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝3，BC＝7，点D在边BC上，点D到边AB，AC的距离相等，且AE＝AC，则△BDE的周长等于（　　） A．10 B．13 C．16 D．19 【分析】先根据角平分线的判定得出∠CAD＝∠EAD，根据SAS证明△ACD≌△AED，得出CD＝DE，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：∵点D 到边AB，AC的距离相等， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴CD＝DE， ∵AB＝9，AC＝3，BC＝7，AC＝AE， ∴BE＝AB﹣AE＝9﹣3＝6， ∴△BDE的周长等于DE+BD+BE＝CD+BD+BE＝BC+BE＝13，即△BDE的周长等于13， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 3．（2024春•市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可． 【解答】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点， ∴点O到AB、BC、AC的距离相等， ∵O到边AC的距离为4， ∴O到边AB、BC的距离都为4， ∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36， ∴AB+AC+BC＝18， 即△ABC的周长为18． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点评】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． 题型五 利用角平分线的性质解决最值问题 1．（2024春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答． 【解答】解：如图： 当PQ⊥OA时，PQ有最小值， ∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA， ∴PH＝PQ＝3， ∴PQ长的最小值为3， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024秋•石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可． 【解答】解：当PN⊥OA时，PN最短， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4， ∴PN最短＝4． 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2024秋•垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 4．（2024春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°， ∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°； （2）∵点F是AC上的动点， ∴当DF⊥AC时，DF最小， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝5． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 题型六 利用角平分线的性质解决面积问题 1．（2024秋•开福区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【分析】作PE⊥OB于点E，根据角平分线的性质，得到PE＝PC＝2，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：作PE⊥OB于点E， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴根据角平分线的性质，PE＝PC＝2， ∴△POD的面积为，即△POD的面积为5， 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 2．（2024秋•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA，交AC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．36 【分析】先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵BD平分∠CBA，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3， ∴△ABD的面积， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．（2024春•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　） A．24 B．12 C．15 D．10 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3， ∴S△ABDAB•DE8×3＝12． 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2024春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积． 【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F， ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥BA， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵DE＝2， ∴EF＝2， ∵BC＝8， ∴S△BCE8， 故答案为：8． 【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长． 5．（2024秋•南岳区期末）如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂 直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知△ABC的周长为15cm，PH＝3cm，则△ABC的面积 为　 　cm2． 【分析】连接PM、PN、PH，根据角平分线的性质得到PM＝PN＝PH＝3cm，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：连接PM、PN、PH， ∵P为△ABC三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB， ∴PM＝PN＝PH＝3cm， ∴△ABC的面积＝△APB的面积+△BPC的面积+△APC的面积 AB×PMBC×PHAC×PN （AB+BC+AC）×3 ＝22.5（cm2）． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6．（2024春•明水县期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4． 【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．（2024春•皇姑区校级期中）如图，已知在△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，△ABC的周长为20，OD＝5，那么△ABC的面积为（　　） A．100 B．50 C．25 D．300 【分析】作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OP＝OQ＝OD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，连接OA， ∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点， ∴OP＝OD，OQ＝OD， 即OP＝OQ＝OD＝5， ∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACOAB•OPBC•ODAC•OQ5×（AB+BC+AC）5×20＝50． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 8．（2024春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC． 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DAE的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余，即可求解； （2）过点D作DF⊥AC于点F，根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，得出DF＝DE＝6，最后个根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求解． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°． （2）过点D作DF⊥AC于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝6， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，角平分线上的点到两边的距离相等． 题型七 利用角平分线的性质解决证明问题 1．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 2．（2024春•凤翔县期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD． 【分析】根据DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，可知∠CAD＝∠BAD，然后根据SAS证明△ADC≌△ADB即可证明结论． 【解答】证明：连接AD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD，（SAS）， ∴BD＝CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 3．（2024•香洲区校级开学）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． （1）求∠APB的度数； （2）求证：PF＝PA． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠CAB+∠CBA＝90°，再由角平分线的定义推出∠PAB+∠PBA＝45°，则由三角形内角和定理可得∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝135°； （2）证明△ABP≌△FBP（ASA），即可证明PA＝PF． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE是△ABC的角平分线， ∴， ∴， ∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝135°； （2）证明：由（1）可知：∠APB＝135°， ∴∠BPD＝45°， ∵FP⊥AD， ∴∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠FBP， 在△ABP≌△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴PA＝PF． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，关键是角平分线性质的熟练掌握． 4．（2024秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案； （2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第5章 图形的轴对称》 专题 垂直平分线的性质&角平分线的性质 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段长 1．（2024春•文山市期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　） A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm 2．（2024秋•香坊区校级月考）如图，AB＝AC，BC＝4，△BCE的周长为9，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则AB＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 3．（2024春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（2024秋•福田区校级期末）如图，在△ABC中，AE＝CE＝1，DE⊥AC．△BCD的周长为5，则△ABC的周长是 　 　 ． 5．（2024秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝　 　cm． 6．（2024秋•互助县期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，求AC的长． 7．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 8．（2024秋•东湖区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD． （1）若∠B＝110°，∠BAD＝20°，求∠C的度数． （2）若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长． 9．（2024秋•永丰县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G． （1）△AEG的周长为12，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝115°，求∠EAG的度数． 题型二 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 1．（2024春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC， 则（　　） A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 2．（2024春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 3．（2024秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？ 4．（2024秋•太仓市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上中点，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE．求证：AE＝BE． 5．（2024秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 6．（2024秋•大观区校级期末）如图，在△ABC中，D、E是BC上两点，且AB＝BD，CA＝CE，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，BF、CG交于O点，求证：点O到△ADE的三个顶点的距离相等． 7．（2024秋•易县期中）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若DC+AF＝16，求△ABC的周长． 题型三 利用角平分线的性质解决求线段长问题 1．（2024春•沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 2．（2024•惠安县模拟）如图，△ABC中∠A的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 3．（2024春•秀峰区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024秋•天津期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是角平分线，若AC＝6cm，AD：CD＝2：1，则点D到AB的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 5．（2024秋•平果市期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 7．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（2024秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，且∠ABC＝60°． （1）若∠ACB＝40°，求∠BOC的度数； （2）若OB＝4，且△ABC的周长为32，求△ABC的面积． 题型四 利用角平分线的性质解求周长问题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2024秋•凉州区期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝3，BC＝7，点D在边BC上，点D到边AB，AC的距离相等，且AE＝AC，则△BDE的周长等于（　　） A．10 B．13 C．16 D．19 3．（2024春•市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 题型五 利用角平分线的性质解决最值问题 1．（2024春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024秋•石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024秋•垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 4．（2024春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°， ∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 题型六 利用角平分线的性质解决面积问题 1．（2024秋•开福区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 2．（2024秋•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA，交AC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．36 3．（2024春•济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　） A．24 B．12 C．15 D．10 4．（2024春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 5．（2024秋•南岳区期末）如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂 直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知△ABC的周长为15cm，PH＝3cm，则△ABC的面积 为　 　cm2． 6．（2024春•明水县期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 7．（2024春•皇姑区校级期中）如图，已知在△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，△ABC的周长为20，OD＝5，那么△ABC的面积为（　　） A．100 B．50 C．25 D．300 8．（2024春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC． 题型七 利用角平分线的性质解决证明问题 1．（2024•右玉县四模）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 2． （2024春•凤翔县期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD． 3．（2024•香洲区校级开学）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H． （1）求∠APB的度数； （2）求证：PF＝PA． 4．（2024秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$