第5章 图形的轴对称章末重点题型复习（16大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大2024版）七年级下册数学 第5章：图形的轴对称章末重点题型复习 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·一模）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 5．（2025·山东临沂·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 成轴对称的两个图形的识别 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   4．下列选项中左右两图成轴对称的为（　　） A． B． C． D． 5．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 题型三 确定对称轴的条数 1．（2025·北京·模拟预测）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）下列图形中，对称轴最少的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列图形中，对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·山东滨州·阶段练习）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（　　） A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线 题型四 轴对称及轴对称图形的性质 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合 B．可以重合的三角形一定关于某条直线对称 C．若两个三角形关于某条直线对称，则这两个三角形一定分别位于对称轴的两侧 D．如果两个三角形可以重合，且有一条公共边，那么它们关于公共边所在的直线对称 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． (1)线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． (2)AE与BF平行吗？为什么？ (3)若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 题型五 折叠问题 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至、，若，则用含x的式子可以将表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时， （用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为 ． 题型六 画轴对称图形 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出关于直线l对称的． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，画出所有与成轴对称的三角形，并指出其对称轴． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上画出关于直线对称的． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 题型七 设计轴对称图案 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 2．（2025七年级下·全国·专题练习）请从如图①所示的两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案是轴对称图形（如图②）．要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．    (1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______； (2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）； (3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形． 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可． 【详解】 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 题型八 利用等腰三角形的性质求线段长 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 4．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是等腰三角形底边的中线，，，求的度数和的长度． 题型九 利用等腰三角形的性质求角度 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，已知， ，若，则等于（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    5．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，连接，，，则的度数为 ． 题型十 等腰三角形三线合一的性质的应用 1．如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    3．如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    4．如图，ABC中，，AD是BC边上的中线， (1)求证：EB=ED． (2)求证：AE=DE． 5．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：      (1)； (2)． 题型十一 等腰三角形中的分类讨论问题 1．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 2．用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ． 3．一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是，它的三个内角可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（  ） A． B． C．或 D．或 5．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 题型十二 线段垂直平分线的性质 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 3．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 题型十三 作已知线段的垂直平分线 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十四 角的平分线的性质 1．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 题型十五 角的平分线的尺规作图 1．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 5．（24-25九年级下·重庆万州·期中）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点E在边上，连接，若，求证：． 证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ①_______， 在和中，， （②______）， ③_______， ，④_______， ， 在和中， ， ， ． 题型十六 利用等腰三角形的性质证明 1．在△ABC中,∠B=∠C,点D为BC边上的动点,∠EDF的两边与AB,AC分别交于点E,F，且BD=CF， BE=CD． （1)求证：△BDE≌△CFD； （2）若∠A=900，求∠DEF的度数． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 4．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大2024版）七年级下册数学 第5章：图形的轴对称章末重点题型复习 题型一 轴对称图形的识别 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； B、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； C、图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意； D、图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（2025·云南昭通·一模）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·山东临沂·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二 成轴对称的两个图形的识别 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称；显然只有B选项的其中一个图形可以沿一条直线折叠后与另一个图形重合．本题考查了成轴对称的两个图形的识别，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； B、两个图形成轴对称，故该选项符合题意； C、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； D、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．下列选项中左右两图成轴对称的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的概念，进行判断即可。 【详解】解：由图可知只有C选项的两个图形能找到一条直线使两个图形沿直线折叠后能够完全重合． 故选：C． 5．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后重合，根据成轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误； B、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误； C、左右两个图形成轴对称，故本选项正确； D、左右两个图形不成轴对称，故本选项错误． 故选：C． 题型三 确定对称轴的条数 1．（2025·北京·模拟预测）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形定义，确定对称轴是关键． 轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此确定对称轴即可求解． 【详解】解：A、，有3条对称轴，不符合题意； B、，有4条对称轴，不符合题意； C、，有2条对称轴，符合题意； D、，有6条对称轴，不符合题意； 故选：C ． 2．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）下列图形中，对称轴最少的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数对称轴数量问题；如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫作对称轴，根据题意找出图中对称轴数量，比较对称轴数量，即可求解． 【详解】 解：A． 圆形的对称轴有无数条     B． 正方形的对称轴有4条     C． 五角星的对称轴有5条     D． 对称轴有1条， 对称轴最少的是D选项， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了确定轴对称图形的对称轴，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形有两条对称轴，故此选项符合题意； B、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； C、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； D、图形有六条对称轴，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）下列图形中，对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称轴的条数，分别判断出每个选项的对称轴的条数即可得解． 【详解】解；A、有条对称轴， B、有3条对称轴， C、有6条对称轴， D、有无数条对称轴， 故选：D． 5．（24-25九年级下·山东滨州·阶段练习）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（　　） A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形， B、是轴对称图形，有1条对称轴； C、是轴对称图形，有4条对称轴； D、是轴对称图形，有1条对称轴； ∴其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是C选项 故选：C． 题型四 轴对称及轴对称图形的性质 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③.其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质．根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，所以，故③说法正确； ∴直线m是线段的垂直平分线，故①说法正确； ∴直线m也是线段的垂直平分线，不会被线段垂直平分，故②说法错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合 B．可以重合的三角形一定关于某条直线对称 C．若两个三角形关于某条直线对称，则这两个三角形一定分别位于对称轴的两侧 D．如果两个三角形可以重合，且有一条公共边，那么它们关于公共边所在的直线对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和全等的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据轴对称图形和全等的关系逐项判断即可解答． 【详解】解：A、关于某条直线对称的两个三角形可以重合，正确，故A选项符合题意； B、可以重合的三角形一定关于某条直线对称，错误，故B选项不符合题意； C、若两个三角形关于某条直线对称，则这两个三角形一定分别位于对称轴的两侧，错误，故C选项不符合题意； D、如果两个三角形可以重合，且有一条公共边，那么它们关于公共边所在的直线对称，错误，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． (1)线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． (2)AE与BF平行吗？为什么？ (3)若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 【答案】(1)EH，GH，∠GFE，∠EHG (2)，原因见解析 (3)不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线 【分析】（1）根据对称的性质解答即可； （2）对称图形的每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，据此求解； （3）根据平面内两条直线的位置关系可回答． 【详解】（1）解：由对称的性质可知：线段AD的对称线段是EH，CD＝GH，，． 故答案为：EH，GH，∠GFE，∠EHG； （2）解：． 理由：因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分， 即，， 所以； （3）解：由，不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线． 题型五 折叠问题 1．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至、，若，则用含x的式子可以将表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及翻折变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 利用折叠的性质，可得出，结合，可得出，由，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可表示出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质，得：， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期中）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的不变性和平行线的性质是解题的关键． 先由平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解；∵长方形纸条， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式． 先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】 沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时， （用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，最后求出即可；延长交于点Q，证明，根据三角形面积求出，，证明，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 延长交于点Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型六 画轴对称图形 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是关键． （1）根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可； （2）根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下， （2）解：如图所示，点即为所求点的位置． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，画出关于直线l对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：过点B作直线的垂线，垂足为，在垂线上截取，用同样的方法作出点关于直线的对称点；连接，得到就是所要作的图形． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，画出所有与成轴对称的三角形，并指出其对称轴． 【答案】见详解 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义解答即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此画图即可． 【详解】解：如图， 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸上画出关于直线对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质找到A，B，C的对应点，顺次连接，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，熟练掌握作轴对称的方法是解题的关键． 根据轴对称的性质作出图形即可． 【详解】解：（1）利用方格，作点A关于直线的对称点；（2）用同样的方法作出点，D关于直线的对称点，；（3）连接，得到的四边形就是所要作的图形． 题型七 设计轴对称图案 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． （）根据轴对称图形的特点画图即可； （）根据（）即可求解； 【详解】（1）解：画图如下：（任选种） （2）解：由上图可知，共有种不同的涂法， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）请从如图①所示的两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案是轴对称图形（如图②）．要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：（答案不唯一）如图所示． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．    (1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______； (2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）； (3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形． 【答案】(1)3个图案都为轴对称图形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称的知识，熟练根据轴对称设计图案是解题的关键． （1）根据图案判断即可； （2）涂黑两个处在关于原对称轴对称位置上的两个三角形即可（答案不唯一）． （3）同理（2）涂出自己喜欢的图案即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由图知，图①、图②、图③中图案都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形； （2）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）    （3）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）    4．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可． 【详解】 【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 【答案】(1)都是轴对称图形； (2)见解析． 【分析】（1）本问主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）根据观察，①～④图都是轴对称图形． （2） 解： 题型八 利用等腰三角形的性质求线段长 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8， ∴BD+CD＝8﹣3＝5， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴AEAB＝2.5， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10． 4．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是等腰三角形底边的中线，，，求的度数和的长度． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由等腰三角形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵是等腰三角形，是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九 利用等腰三角形的性质求角度 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，是角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得，由等腰三角形三线合一性质得是中边上的高，推出，最后由可得答案．掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴是中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，已知， ，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，根据等腰三角形的性质“等边对等角”求解是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等和等边对等角可求出即可 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，连接，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先根据全等三角形的性质求出，，再根据等腰三角形的性质求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 题型十 等腰三角形三线合一的性质的应用 1．如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解： ∵，是的中线，，， ∴，，即， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    【答案】12 【分析】过D作，交延长线于N，证明，得到，由此求出，再根据，，证得，得到，利用等腰三角形的三线合一求出，即可求出． 【详解】过D作，交延长线于N， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12．    3．如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    【答案】12 【分析】过D作，交延长线于N，证明，得到，由此求出，再根据，，证得，得到，利用等腰三角形的三线合一求出，即可求出． 【详解】过D作，交延长线于N， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12．    4．如图，ABC中，，AD是BC边上的中线， (1)求证：EB=ED． (2)求证：AE=DE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据，，进而得出结论；(2)由等腰三角形的性质得，再由平行线的性质得，则，即可得出结论． 【详解】（1）∵，AD是BC边上的中线， ∴AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E是AB中点即， ∴． （2）证明：∵，AD是BC边上的中线， ∴AD平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 5．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：      (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）分别利用证即可； （2）由得，利用等腰三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）．      （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 题型十一 等腰三角形中的分类讨论问题 1．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴，， ①当是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形， 周长为：． ②当是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形， 周长为：． 所以等腰三角形的周长7或8． 故选：A． 2．用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】设较短的边长为，则较长的边为，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：设较短的边长为，则较长的边为， 当较短的边为底边，较长的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形； 当较长的边为底边，较短的边为腰时，则， 解得：， 此时三角形三边长分别为，，， ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形底边的长为， 故答案为：． 3．一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是，它的三个内角可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】分两种情况，然后根据三角形的内角和列方程，即可得到结论． 【详解】解：∵两个内角的度数的比是， ∴设一个内角等于，另一个内角等于， ∵三角形是等腰三角形， ∴或， 解得：或， ∴三个内角是，，或，，， 故选：C． 4．已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝60°，根据等边三角形的性质易得＝60°． 【详解】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA（180°﹣∠ADB）（180°﹣80°）＝50°， 当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝50°+10°＝60°， ∵CA＝CB， ∴＝60°， 综上所述，∠ACB的度数为60°或100°． 故选：C． 5．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：        则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：      则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确． 故选：C． 题型十二 线段垂直平分线的性质 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 由题意易得，，然后即可求解． 【详解】解：解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 3．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线得到，然后根据线段的和差解题即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 题型十三 作已知线段的垂直平分线 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， 则， ，， 的周长， 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，根据周长为13，可求出，根据的周长为19，可求出，即可求解． 【详解】解：因为垂直平分， 所以． 因为的周长为13， 所以． 所以，即． 因为的周长为19， 所以． 所以． 因为， 所以． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解： ∵，， ∴， 则． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点A作，即作的垂直平分线． （1）根据题意证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A作，即作的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． 题型十四 角的平分线的性质 1．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，是中的角平分线，于点，若的面积为7，，，则长是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积为7，， ，即， ， 解得， 故选：B． 3．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等．连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，， 则：， ∴， 即：， ∵的周长是21， ∴； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型十五 角的平分线的尺规作图 1．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作角等于已知角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据作图可得，运用边边边证明与全等即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 3．（2025·湖南娄底·二模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25九年级下·重庆万州·期中）如图，已知中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点E在边上，连接，若，求证：． 证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ①_______， 在和中，， （②______）， ③_______， ，④_______， ， 在和中， ， ， ． 【答案】(1)如图所示； (2)①；②；③；④；⑤． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质及其尺规作图，熟知角平分线的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，进一步证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 题型十六 利用等腰三角形的性质证明 1．在△ABC中,∠B=∠C,点D为BC边上的动点,∠EDF的两边与AB,AC分别交于点E,F，且BD=CF， BE=CD． （1)求证：△BDE≌△CFD； （2）若∠A=900，求∠DEF的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）67.5°. 【分析】（1）根据∠B=∠C，BD=CF， BE=CD，用SAS即可证明； （2）根据△BDE≌△CFD得出∠BED=∠CDF，DE=DF，再根据∠A=90°得出∠BED+∠BDE=135°，从而得出∠EDF=45°，再根据DE=DF，即可得出． 【详解】（1）证明：∵∠B=∠C，且BD=CF，BE=CD . ∴ΔBDE≌ΔCFD（SAS） （2）解：∵∠A=90°， ∴∠B=∠C=45° ∴∠BED+∠BDE=135° ∵ΔBDE≌ΔCFD ∴∠BED=∠CDF，DE=DF ∴∠CDF+∠BDE=135° ∴∠EDF=45° ∴∠DEF=∠DFE=67.5° 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证； （2）先求出，由得，进而可求出． 【详解】（1）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 4．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$