精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

天津市耀华中学2024-2025学年度第二学期期中学情调研 高一年级数学学科 一、单选题（本题共有12个小题，每小题4分） 1. 若复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 5. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知且，则=（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 11. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ） A. B. 40 C. 64 D. 12. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分） 13. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标表示为______. 15. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 16. 函数在区间上的最大值为______ 17. 已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______. 18. 图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有____________个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是____________．（参考数据：） 三、解答题 19. 已知复数，，其中a是正实数． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求a的值． 20. 在中，角所对的边分别为已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，当的周长取最大值时，求的面积． 21. 已知函数. （1）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； （2）若，，求的值； （3）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2024-2025学年度第二学期期中学情调研 高一年级数学学科 一、单选题（本题共有12个小题，每小题4分） 1. 若复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，然后根据虚部的概念解答即可. 【详解】已知，先将等式右边化简，． 则， 所以z的虚部是． 故选：A 2. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积. 【详解】如图为中点，为点在底面的投影， 由题意得，， ， 所以该正四面体的体积为. 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为，则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为. 故选：A. 3. 设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示. 【详解】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 4. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 5. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解. 【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则， 所以， 又， 则， 所以， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以. 故选：C. 6. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【详解】由，解得. 设， 则. 故选：C 7. 宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设数据结合圆台和圆柱的体积公式依次计算求解花口盏和盏托的体积即可得解. 【详解】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 8. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 9. 已知且，则=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解. 【详解】因，则， ， 因，，则，又，有， 于是得，因此，， 所以. 故选：C 10. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 11. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ） A. B. 40 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 12. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分） 13. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式可求投影向量坐标. 【详解】由，，可得， 故在方向上的投影向量为. 故答案为：. 15. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 16. 函数在区间上的最大值为______ 【答案】3 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简为，然后求出的范围，最后求出函数的最大值. 【详解】由题意，,而，则，所以函数的最大值为. 故答案为：3. 17. 已知正方形的边长为，若，其中为实数，则_______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为_______. 【答案】 ①. ##； ②. . 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 18. 图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有____________个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是____________．（参考数据：） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 三、解答题 19. 已知复数，，其中a是正实数． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求a的值． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值； （2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，从而，解得， 所以实数a的值为2． 【小问2详解】 依题意得：， 因为是纯虚数，所以：，解得：或； 又因为a是正实数，所以a＝2． 20. 在中，角所对的边分别为已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，当的周长取最大值时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据得，由正弦定理求得的值； （3）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. 【小问2详解】 因为在中，，所以， 又因为，，由正弦定理， 可得. 【小问3详解】 在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 21. 已知函数. （1）当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； （2）若，，求的值； （3）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，； 时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整体法结合三角函数性质求最值即可； （2）先化简求值得出，再应用两角和差公式得出三角函数值； （3）利用换元法结合参变分离可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵，∴， 当，即时，； 当，即时，. 【小问2详解】 ∵， ∴，∵，∴， ∴， 【小问3详解】 当时，，故，故， 设，则在上有解， 故在上有解， 而当时，，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $