精品解析：河南省新乡市长垣市长垣银河学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024-2025学年下学期银河学校2024级期中考试 数学试卷 命题人：张永青 时间：120分钟 满分：150分 日期：2025.04.27 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先用复数乘法运算化简，再根据几何意义得解. 【详解】因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限． 故选: B. 2. 已知，复数，则 A. -2 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为， 所以， 即.故选D． 点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力． 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义运算即可得解. 【详解】因为，，， 所以 故选：D． 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 5. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 6. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得出，解出m即可． 【详解】； ； ． 故选D． 【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系． 7. 若，，且，则x的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解. 【详解】由题设， 由题，得，解得或. 故选：C. 8. 已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先同平方求出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】，两边同平方有， 即，解得，则， 又因为，所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数代数形式的运算法则判断C、D. 【详解】复数的虚部为，故A错误； 的共轭复数是，故B正确； ，故C错误； 因为，，所以，故D正确； 故选：BD 10. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的最小值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断A，B，C，根据复数的模结合三角不等式即可判断D. 【详解】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理： ， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，所以， 即时取最小值1，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；推导出，可判断D选项；结合图形可判断B选项；结合A选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 二､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故答案为： 13. 若复数是纯虚数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可. 【详解】， 因为是纯虚数，所以，解得. 故答案为： 14. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 【答案】193 【解析】 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 三､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可； （2）根据共线向量定理列等式求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 与共线， ∴存在唯一实数，使得 即， 又与不共线，∴， 解得. 16. 若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. （1）求复数和； （2）若，（，），求实数，的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算求出，再求出复数的模. （2）由（1）及复数乘法求出，再利用复数相等求解即得. 【小问1详解】 由，得；. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 所以. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】（1）； （2）周长、外接圆面积分别为、. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【小问1详解】 由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1） 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，在直三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若D是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面ABC. 因为平面ABC， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直即可证面面垂直； （2）结合第一问用等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 所以是三棱锥的底面上的高. 因为， 所以. 因为D是的中点， 所以. 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期银河学校2024级期中考试 数学试卷 命题人：张永青 时间：120分钟 满分：150分 日期：2025.04.27 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，复数，则 A. -2 B. 1 C. 0 D. 2 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 7. 若，，且，则x的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 或1 8. 已知两个单位向量，满足，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. D. 10. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的最小值为6 11. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 二､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 13. 若复数是纯虚数，则________． 14. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________. 三､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 16. 若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. （1）求复数和； （2）若，（，），求实数，的值. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 19. 如图所示，在直三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若D是的中点，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $