精品解析：辽宁省兴城市2024-2025学年八年级下学期同步检测数学试卷（期中）

兴城市初中2024-2025学年度第二学期同步检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式，，，，是最简二次根式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线和相交于点，，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 60 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ） A. 6米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 9. 如图，在矩形中，点M，N分别是和中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 将一副三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式能合并成一项，则________． 12. 已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为________． 13. 若，则________． 14. 已知点A在x轴上，且与点的距离为5，则点A的坐标为________． 15. 如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出相应文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 数学课上，王老师在黑板上给大家出示了如下三个式子：，，，同时让同学们对x，y，z随意组合并进行运算，但要求运算的结果为正整数，于是同学们纷纷参与其中． （1）乐乐选择了x，y，然后将它们进行乘法运算组合成．请你计算一下她组合的结果是否符合王老师的要求； （2）爱思考的聪聪想挑战难度，于是他将x，y，z组合成这个代数式，你认为他能挑战成功吗？说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 19. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 20. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 21. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 22. 若一个四边形中存在相邻两边平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边勾股四边形时，若，，求的长． 23. 已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）射线与射线交于点，和交于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分； ②连接若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兴城市初中2024-2025学年度第二学期同步检测 八年级数学试卷 （本试卷共23小题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式，，，，是最简二次根式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征． 根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，符合题意； ，被开方数含开方开的尽的因数，不符合题意； 被开方数含分母，不符合题意； 被开方数含分母，不符合题意； 综上：是最简二次根式的有1个， 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解矩形中最长的线段是矩形的对角线是关键；利用勾股定理求出矩形的对角线长，即是木棒的最大长度． 【详解】解：由勾股定理得：； 即这根木棒最长； 故选：C． 4. 如图，四边形是平行四边形，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质及直角三角形的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据于点E，，可求得，根据四边形是平行四边形，可得即可求解． 【详解】解：于点E，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 不能合并，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故选：C． 6. 如图，菱形的对角线和相交于点，，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理． 首先根据菱形的性质和勾股定理得到，进而得到，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：B． 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ，， ， ∵， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 8. 在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ） A. 6米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和三角形中位线的性质，灵活运用相关的知识是解题的关键． 根据中位线的性质和矩形的性逐一分析，判定即可． 【详解】∵点M，N分别是和的中点， ∴， 在矩形中，，， ∴，， 因此A、C是正确的， ∵，， ∴， ∴，因此D是正确的， B选项不能证明，是错误的， 故选：B． 10. 将一副三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质，过点作，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以得到，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式能合并成一项，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同． 先化简，再根据能合并即同类二次根式进行求解即可． 【详解】∵，与最简二次根式能合并成一项， ∴， 故答案为：2． 12. 已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的非负性，先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知点A在x轴上，且与点的距离为5，则点A的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，坐标与距离，构造直角三角形是解题的关键． 作轴于点，利用勾股定理求，根据点A在x轴上求坐标即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵点A在x轴上， ∴是直角三角形， ∵点A与点的距离为5， ∴，， ∴或， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 15. 如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，矩形的性质，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由矩形性质可知，，由作图可知，，，则有，则，，，然后根据中点坐标，两点间的距离即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵若点是的中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出相应文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． （1）先化简，再算括号里面的减法，最后算除法即可； （2）先算乘法和化简绝对值，再化简后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 17. 数学课上，王老师在黑板上给大家出示了如下三个式子：，，，同时让同学们对x，y，z随意组合并进行运算，但要求运算的结果为正整数，于是同学们纷纷参与其中． （1）乐乐选择了x，y，然后将它们进行乘法运算组合成．请你计算一下她组合的结果是否符合王老师的要求； （2）爱思考的聪聪想挑战难度，于是他将x，y，z组合成这个代数式，你认为他能挑战成功吗？说明理由． 【答案】（1）符合 （2）能挑战成功，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，判断即可； （2）根据二次根式的运算法则进行计算后，判断即可． 【小问1详解】 解：当，时， ， ∵1是正整数， ∴乐乐的计算结果符合王老师的要求； 【小问2详解】 由（1）可知，，当，时， ， ∵2是正整数， ∴聪聪的计算结果符合王老师的要求，他挑战成功了． 18. 如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据据平行四边形的性质可得，，由线段的和差可求得，进而可得结论； （2）由题意根据勾股定理可得，再根据，四边形是平行四边形可判定四边形是矩形，根据矩形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴． 19. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2025 （2）2026 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由题可得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； 【小问2详解】 解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 20. 如图，四边形平行四边形，于点，于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）证明，可得，进而即可求证； （）由得，即得，进而由勾股定理得，又由全等三角形和平行四边形的性质可得，即可得是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】（1） （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于，由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点距离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点作，交的延长线于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点距离为，， ∴车到点距离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 22. 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3）4 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股四边形”，勾股定理、直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，充分利用其特点解题． （1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先利用旋转的性质得到，，，则可判断是等边三角形，所以，，再证明，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到 ，证明为直角三角形，得出，即，可求出答案． 【详解】解：（1）如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； （2）∵ ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 23. 已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）射线与射线交于点，和交于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分； ②连接若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，根据同角的余角相等得，再由即可判断； （2）①连接，根据全等三角形的性质可得，，进而可得，即，根据等边对等角得，再由，可得，进而得出四边形是平行四边形，进一步得出，即可得出结论； ②设与交于点，由题意易得，，再由等腰直角三角形的性质得，由正方形的性质可知点是的中点，，再由中位线的性质得，进而可算出三角形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是正方形 的对角线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， 和中，， ∴， ∴，， ∴与互相平分． ②解：如图，设与交于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵正方形中，与交于点， ∴点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，中位线的性质，熟练应用以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$