精品解析：广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的展开式共有9项，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式性质得出参数即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 故选：C． 2. 已知函数，记为函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，再求出，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以，则． 故选：B． 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4. 某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】将分配操作分步求出事件数，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】若某高校将4名学生分配到3所中学实习， 每所中学至少分配名学生，则一定有所中学分配的学生有名， 首先把名学生安排在同一所中学实习，分配方案有种， 再把剩下的学生分配到对应的中学，分配方案有种， 由分步乘法计数原理得分配方案有种，故B正确. 故选：B 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，切线的斜率，判断求解即可． 【详解】由题图知函数是单调递增的， 则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零． 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以． 如图，记，连接． 直线的斜率． 由函数图象知：， 即， 故选：B． 6. 设直线与轴的交点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，再用累乘法计算. 【详解】令，可得， 所以 ． 故选：C． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性，可判断的大小；同理构造函数，可判断的大小.. 【详解】由，构造，，则， 所以在上单调递增，故，即，故． 由，构造，，则， 所以在上单调递增，故，即，故． 综上，． 故选:D． 8. 南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，分析可知，当为奇数时，；当为偶数时，.利用赋值法可求出，利用二项展开式求出被除的余数，即可得出合适的选项. 【详解】的展开式通项为， 又因为， 所以，， 当为奇数时，；当为偶数时，. 令，则， 所以，， 所以， 又， 故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为， 被除余数为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 10. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D. 展开式的常数项为第5项 【答案】ACD 【解析】 【分析】A写出展开式的通项，即可列关系式求得；B赋值法令即可；C根据公式奇数项的二项式系数的和为可得；D根据通项公式，令即可. 【详解】因为的展开式的通项为， ， 则根据题意可得，即， 解得或（舍去），故A正确； 由A选项得，， 则当，即时，为常数项，故D正确； 令，则，则展开式的各项系数的和为，故B错误； 展开式中奇数项的二项式系数的和为，故C正确． 故选：ACD． 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 函数图象的对称中心为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出导函数结合三次函数的新定义计算求参判断A，根据单调性及极值判断B，C，应用对称中心判断D. 【详解】对于三次函数，则， 若，令，则（，为的两根，且为三次函数的两个极值点）， 令，则，所以． 依题意的极大值点和极小值点分别为，，且有， 所以的对称中心为，故D正确． 对于A，由，可得，， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，因为，， 当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值 则的图象如图所示： 由图可知与有且仅有3个交点，所以方程有三个根，故正确； 对于，，若关于的方程在区间上有两解， 即与在区间上有两个交点，则，故错误； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，且对任意的都有，则_____． 【答案】21 【解析】 【分析】运用累加法计算得到通项公式，再赋值即得. 【详解】因为，所以， 当时， ， 其中满足， 故对任意的，所以数列的通项公式为， 所以． 故答案为：21. 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有____________种.（请用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】先将丙和丁绑在一起作为一人，接着与乙、戊两人先进行排列，最后将甲插入其中的两空中的一空，从而根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将丙和丁绑在一起有种排列方法， 然后将其与乙、戊进行排列有种排列方法， 最后将甲插入中间两空中的一空中有种排列方法， 所以不同的排列方式共有种. 故答案为：24. 14. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】由，得， ∵函数有两个极值点， ∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 有极小值也是最小值为， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 画出的图象，如下： 要使有两个不等实数根， 则，即，经验证，满足要求. 故的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程是． （1）求，的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1），. （2）单调增区间为和，单调减区间为． 【解析】 【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数和斜率的关系，即可求出， （2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值． 【小问1详解】 由题意可知， 已知函数图象在处的切线方程是， 所以，， 解得，． 【小问2详解】 由（1）可知，的解析式为， 则， 令，解得或， 令，解得或，则函数在和上单调递增， 令，解得，则函数在上单调递减， 综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求使成立的最小的正整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当可求得的值，当时，由得，两式作差可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式； （2）求出，利用裂项相消法求和可求出，解不等式即可得出正整数的最小值. 【小问1详解】 当时，，由得， 当时，由得， 两式相减得，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 所以 ． 又因为，所以，解得， 故使成立的最小的正整数的值是. 17. 已知在的展开式中，各二项式系数和为． （1）求展开式中含的项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项． （参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出的值，再利用通项求出含的项； （2）利用二项式展开式的通项，设第项的系数绝对值最大，列出不等式组，求出的范围，由，得到的值，即可求得展开式中系数绝对值最大的项． 【小问1详解】 由已知，，所以, ， 由，解得： 所以，含的项为. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式的通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则， 即 ，解得： ， 又因为，所以 所以，系数绝对值最大的项为· 18. 设是等差数列，是等比数列，满足，，且，． （1）求与的通项公式； （2）设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为根据条件列出关于的关系式，求解即可求出，再根据、即可求出数列的公比和首项； （2）记梯形的面积为，则，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，得， 解得，，故， 所以，，从而等比数列的公比， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故， 故，． 【小问2详解】 过，，，，向轴作垂线，垂足分别为，，，，， 由（1）得，则， 记梯形的面积为， 则由题意可得，， 所以 则， 两式相减得， ， 得． 故由折线与直线，，所围成的区域的面积. 19. 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程根的个数. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围； （2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论. 【详解】（1），定义域为， 由题意知对任意的恒成立， 即，，故. 因此，实数的取值范围是； （2），即，设， 则， 当时，，函数在上单调递增， ，，故函数有唯一零点； 当时，， 令，得或；令，得. 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为， 设，则恒成立， 故函数单调递增，故， 故函数在上无零点. ，， 故函数在上有唯一零点. 综上所述，当时，方程有且仅有一个根. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的展开式共有9项，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知函数，记为函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设直线与轴的交点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（ ） A. B. 展开式的各项系数的和为 C. 展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D. 展开式的常数项为第5项 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则或 D. 函数图象的对称中心为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，且对任意的都有，则_____． 13. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有____________种.（请用数字作答） 14. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程是． （1）求，的值； （2）求函数的单调区间． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求使成立的最小的正整数的值． 17. 已知在的展开式中，各二项式系数和为． （1）求展开式中含的项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项． （参考数据：） 18. 设是等差数列，是等比数列，满足，，且，． （1）求与的通项公式； （2）设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积． 19. 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $