精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

泸州高中2025年春期2024级半期考试 数学试题 一.单选题（每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算出负数，找到实部虚部即可得到在复平面对应的点的坐标，得出对应象限。 【详解】∵， ∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和圆的面积公式列出关系式，得到与的关系即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 由圆锥的侧面积公式可得，解得， 因为，所以. 故选：C. 5. 已知平面向量，的夹角为，且满足， ，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义、运算律、向量模长及夹角计算公式计算可得. 【详解】对于A，因为平面向量，的夹角为，且满足，， 所以，故A正确； 对于C，，故C正确； 对于B，因为，， 所以，又， 所以，故B错误． 对于D，由A知，则，故D正确； 故选：B． 6. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解． 【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为， 于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为． 故降雨量等级为暴雨， 故选：D 7. 如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（ ）米. A. B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数的定义可求出，从而可求出. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，， 所以，得， ， 在中，因为， 所以， 所以. 故选：A 8. 已知角，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点) 开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（    ） A. 点所满足的函数表达式为 B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 点再次接触水面需用时10秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可知，，，利用最小正周期公式得到的值，且当时，，从而得到，结合的范围得到的值，从而得到函数表达式；将代入函数表达式，通过计算得到的值，从而得到的最小值；点再次接触水面需要用时，通过计算得解；将代入函数表达式得到的值，从而得到点距离水面的高度. 【详解】中的，，， 则，解得， 当时，，解得， ，，，故选项A错误； 设，则，即， 则，解得， 则的最小值为，即点第一次到达最高点需要用时秒，故选项B正确； 点再次接触水面需要用时（秒），故选项C正确； 当时，，点距离水面的高度为米，故选项D错误. 11. 已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 点到直线的距离为定值 C. 当时，的外接圆半径为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，过作的垂线，分别交于点，设，然后表示出，从而可表示出面积，利用三角函数的性质可求得其最小值，对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，表示出坐标，再由可求出点的坐标，从而可分析判断，对于C，由求出三点的坐标，然后求出，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，对于D，由题意可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】对于A，过作的垂线，分别交于点，则，设， 则在中，， 因为，所以在中，，所以， 所以， 因为，所以当且仅当时，取到最大值， 所以面积的最小值为，所以A正确， 对于B，如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，所以，， 所以， 所以， 所以， 所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确， 对于C，因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， 所以，， 因为，所以， 所以由正弦定理得， 所以，即的外接圆半径为，所以C错误， 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意合理建立平面直角坐标系，利用坐标计算，从而得解. 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】若，，， 则，解得. 故答案为：. 13. 国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：   为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故答案为：. 14. 在中，，，为边上靠近的三等分点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，求出范围，在与利用余弦定理建立关系求得，并将表示为的函数，借助基本不等式求出最小值. 【详解】设，则，在中，，则且， ， 由为边上靠近的三等分点，，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，而， 则，解得， 于是，， 令，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 四.解答题（共77分） 15. 已知平面向量，，，. （1）若与平行，求的值. （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示求出，进而求出目标值. （2）利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求出范围. 【小问1详解】 由，得，解得或， 当时，，，因此； 当时，，，. 【小问2详解】 若与的夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得且， 所以的取值范围为. 16. 在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于条件①，利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式得到，再利用诱导公式结合正弦定理边化角得到，进而得到，对于条件②，利用三角形内角和性质结合诱导公式得到，再利用正弦定理结合二倍角的正弦公式得到，进而得到，对于条件③，利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理得到，再利用余弦定理得到即可. （2）利用两角和的正弦公式得到，再结合正弦定理与三角形面积公式得到的长度，最后求解三角形周长即可. 【小问1详解】 若选条件①：， 则；得到； 即，故， 因为，所以，， 由正弦定理得，即，则 因为，，所以，， 两边同时约去和，可得，解得. 又因为，所以， 若选条件②：， 因为，所以，则， 故可化为，即. 由正弦定理，可得. 所以，因为，则. 因为，所以，，两边同时约去， 可得，则解得；， 若选条件③：， 由题意得， 则. 由正弦定理得（为外接圆半径）， 可得，，. 则，即. 由余弦定理得. 而，得到. 【小问2详解】 由题意得，，则， 得到， ， 由三角形面积公式，而， 则，即， 解得，由正弦定理，即， 可得，化简得， 将代入，可得，解得， 则， 再由正弦定理，可得， 故的周长为. 17. 已知函数的相邻两个对称中心间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数解析式化简，再由周期求出，即可得到函数解析式，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，依题意可得，从而求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 . 因为函数的相邻两个对称中心间的距离为，所以函数的周期. 由，解得， 令， 解不等式得：，； 所以的单调递减区间为， 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象. 再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以. ，， 又， ， 则. . 18. 为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， （1）若m，求的长； （2）若，求的值； （3）求微型游乐场面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助锐角三角函数定义，余弦定理计算即可； （2）运用正弦定理，结合三角恒等变换公式化简计算即可； （3）三角形的边长用表示，后用面积公式，转化为三角函数解题即可. 【小问1详解】 因为， 得，又，所以． 若,在中，由余弦定理，得， 解得,所以，所以， 所以为等边三角形，所以． 【小问2详解】 设,在中，由正弦定理，得, 同理, 又,所以， 所以, 即,又，所以，即，所以． 【小问3详解】 设,由（2）知， 又, 所以， 当且仅当，即当时，的面积取最小值为． 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得，由结合的取值范围求出，再由点求出，即得函数的解析式； （2）由，可得的范围，结合正弦函数单调性得出不等式组，求解即得； （3）令，则，由可得，令，，其中，利用对勾函数的性质求出在上的值域，即得的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，因为，，所以，则， 因为点是函数的图象在轴右侧第一个最高点， 所以，且，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，， 因为，当时，， 则函数在附近的单调递增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 令， 因为，则，可得， 所以， 且， 故，由可得， 可得， 令，则， 令，其中，则实数的取值范围即为函数在上的值域， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，，所以，函数在上的值域为， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州高中2025年春期2024级半期考试 数学试题 一.单选题（每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知平面向量，的夹角为，且满足， ，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 6. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 7. 如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（ ）米. A. B. C. 40 D. 8. 已知角，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点) 开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（    ） A. 点所满足的函数表达式为 B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 点再次接触水面需用时10秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 11. 已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 点到直线的距离为定值 C. 当时，的外接圆半径为 D. 的最大值为 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，向量，若与垂直，则实数的值为______. 13. 国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积为______. 14. 在中，，，为边上靠近的三等分点，则的最小值为______. 四.解答题（共77分） 15. 已知平面向量，，，. （1）若与平行，求的值. （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 16. 在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）. （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 已知函数的相邻两个对称中心间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值. 18. 为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， （1）若m，求的长； （2）若，求的值； （3）求微型游乐场面积的最小值. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $