精品解析：湖北省宜昌市长江中学2024--2025学年下学期八年级期中能力检测 数学试卷

2025年春长江中学八年级期中能力检测数学试题 （本试卷满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分共30分，下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 若是最简二次根式，则可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 0.3 D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 8. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 9. 如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置） 11. 计算：__________，__________，__________. 12. 已知是正整数，是整数，请写一个符合题意的的值__________. 13. 如图，在正方形外侧作等边，连接，，则为__________度． 14. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米. 15. 如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写序号） 三、解答题（共9小题，共75分，下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 18. 如图，在中，，垂足分别为，四边形是平行四边形吗？为什么？ 19. 如图，矩形的对角线，交于点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，请直接写出菱形的面积． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC⊥BC； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标　 　． 21. 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） （1）此时，牵狗绳的长为_________米； （2）子涵将手上的小球扔至3.2米远的处，若她站着不动，将牵狗绳放长至3.5米，则小狗能否将小球捡回来?请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 22. 如图，在中，． （1）如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长； （2）如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长． 23. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到． （1）求出正方形的边长； （2）如图，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长． 24. 如图，已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点运动，点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当________秒时，； （2）当________秒时，； （3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春长江中学八年级期中能力检测数学试题 （本试卷满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分共30分，下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 若是最简二次根式，则可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 0.3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：是最简二次根式， ，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式， 故选项中8，，都不合题意， 的值可能是7． 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解答此题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 3. 在平行四边形ABCD中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行，据此结合平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，与平行，与平行， ∴， ∴   故选：C ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算和除法法则对B、D选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 【详解】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 5. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：由A、， ∴，故选项A符合题意； 由B、， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； 由C、，设设a、b、c的边长分别为， ∵， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； 由D、，则 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：A 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； C、由无法证明矩形为正方形，故符合题意； D、∵在矩形中，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故不符合题意． 故选：C． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：B． 8. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】∵在中， ∴，，，， ∴，，， ∵，与的角平分线交于点E ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 9. 如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（ ）个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 10. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置） 11. 计算：__________，__________，__________. 【答案】 ①. ②. ③. ## 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简求值， 根据二次根式的性质和分母有理化法则分别计算即可. 【详解】解：，， 故答案为：，， 12. 已知是正整数，是整数，请写一个符合题意的的值__________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式．根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可． 【详解】解：∵是整数， ∴符合题意， 故答案是：2（答案不唯一）． 13. 如图，在正方形外侧作等边，连接，，则为__________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质及等边三角形的性质，由正方形的性质可得，，，由等边三角形的性质得，，进而求得，的度数即可．掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 则， 在等边中，，， 则，， ∴， ∴， 故答案为：30． 14. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，米，米，则，两点的距离是__________米. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线．过点作于点，先求出，再求出的长度，最后根据勾股定理分别求出，即可求解． 【详解】如图所示：过点作于点，则， ， ， ∵米， 米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得是等边三角形，则，证明，即可求出，从而判断①；证明，，则，从而，即可判断②；根据勾股定理求出，则，即可判断④；过点H作，则，求出即可判断③． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点H作， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 三、解答题（共9小题，共75分，下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）8 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，二次根式的乘除运算， （1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减； （2）根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）先得出，，再利用平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式得出，利用完全平方公式变形，代入和的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，垂足分别为，四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】 答：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由于都垂直于，首先可以确定的是；然后再通过证，来得出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 19. 如图，矩形的对角线，交于点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1） 证明：矩形的对角线，相交于点， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得：，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积，可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形是矩形，，， ，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积； 【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，平行四边形的判定等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键． 20. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)． (1)求证：AC⊥BC； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标　 　． 【答案】（1）由勾股定理可得：、、， 又∵，即， ∴为直角三角形，， ∴AC⊥BC； （2）如图所示： 点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理即可求证； （2）过分别作的平行线，分别相交于，再根据平行四边形的性质即可求得D点的坐标． 【详解】（1）略 （2）如图，过分别作的平行线，分别相交于， ①以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，C点坐标为(0，﹣1)， C点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位， ∴点可以由点右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到， 又∵B点坐标为(﹣2，0) 得到点坐标为(0，4)； ②以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0) B点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位 ∴点可以由点C右平移了4个单位，向上平移了3个单位 又∵C点坐标为(0，﹣1) 得到点坐标为 (4，2)； ③以为邻边时， 则、 又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0) A点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位 ∴点可以由点C左平移了4个单位，向下平移了3个单位 又∵C点坐标为(0，﹣1) 得到点坐标为(-4，-4)． 综上所述，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键． 21. 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） （1）此时，牵狗绳的长为_________米； （2）子涵将手上的小球扔至3.2米远的处，若她站着不动，将牵狗绳放长至3.5米，则小狗能否将小球捡回来?请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 【答案】（1）2.6 （2） 解：小狗能将小球捡回来，理由如下： 当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形， ∴米，米，则米， 在中，米， 而， ∵ ∴小狗能将小球捡回来． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的判定及性质，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在中，由勾股定理即可求解； （2）当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在Rt△BNF中，BN=√11.24米，比较于3.5的大小即可． 【小问1详解】 解：过点作，由题意可知四边形是矩形， ∴米，米，则米， 在中，米， 故答案为：2.6； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，． （1）如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长； （2）如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线是对称轴， ∴， ∵，设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：∵直线是对称轴， ∴，， ∵，设，则， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． 23. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到． （1）求出正方形的边长； （2）如图，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理等； （1）由二次根式的定义得，，即可求解； （2）①连接，结合正方形的性质及折叠的性质，由可判定，由全等三角形的性质得， 设，由勾股定理得，即可求解； ②由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， ， 解得：， ， ， 故正方形的边长为； 【小问2详解】 解：①连接， 正方形的边长为， 点D为中点， ， ， ， 由折叠得：，，， ，， 在和中 ， （）， ， 设， ， ， ， ， 解得：， 故的长为； ②四边形是正方形， ， ， 由①得：，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 故的长为． 24. 如图，已知，，，，动点从点出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点运动：动点从点出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点运动，点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当________秒时，； （2）当________秒时，； （3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3）或7 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质定理． （1）由题意可知，，，，则，若，则四边形是平行四边形，可知，由此列出方程即可求解； （2）由题意可知，，，则为等腰直角三角形，作，则为等腰直角三角形，可知，即：，若，则，可知四边形是平行四边形，得，由此列出方程即可求解； （3）由题意可知，，则，当时，，若，则四边形是平行四边形，当时，，若，则四边形是平行四边形，分别列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，，，则， 若，则四边形是平行四边形， ∴， ∵，，则， ∴，解得：， 即：当秒时，； 故答案为：3； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，，则为等腰直角三角形， ∴， 作，则为等腰直角三角形， ∴，则，即：， 若，则， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，则， ∴，解得：， 即：当秒时，； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，，，， ∴，，，，则， ∵，，则， 当时，， 若，则四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，， 若，则四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或7时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $