精品解析：安徽省涡阳县第三中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测（期中）数学试题

安徽省涡阳县第三中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测（期中）数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共6分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 5. 棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（ ） A. B. C. D. 6 6. 已知，，与的夹角，则（ ） A. 10 B. C. D. 7. ，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 8. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共8小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A 若向量与向量满足，且与同向，则 B. 若向量，则与共线的单位向量是 C. 若，则可知 D 11. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平面向量与的夹角为，， 则等于___________ 13. 已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______. 14. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）若复数表示实数，求实数m的值 ； （2）若复数表示纯虚数，求实数m的值. 16. 已知O为坐标原点，． （1）若，求x的值； （2）若A、B、C三点共线，求x值． 17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且． （1）求角B的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，测量河对岸塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°. （1）求与两点间的距离（结果精确到）； （2）求塔高（结果精确到）. 参考数据：取，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省涡阳县第三中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测（期中）数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共6分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则求解即可. 【详解】. 故选：B 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给复数进行四则运算可得答案. 详解】由， 所以实部为1大于0，虚部为-2小于0，故对应点在第四象限， 故选：D. 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】由余弦定理得， ， 所以. 故选：D 5. 棱台上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（ ） A B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果. 【详解】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为， 故由公式可知，棱台的体积是， 故选：C. 6. 已知，，与的夹角，则（ ） A 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可求解结果． 【详解】由平面向量数量积的定义可得：． 故选：B 7. ，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中，直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：若，，则或，故A不正确； 对于B：若，，则或，故B不正确； 对于C：若，，，则或与异面，故C错误； 对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D. 8. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可． 【详解】解：由图可得 ， 所以，， 则， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键，属于中档题． 二、多项选择题（本题共8小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D. 【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确； 对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点， 此时得到几何体就不是棱台，故B错误； 对于C，根据圆台的定义，可知C正确； 对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时， 得到的截面不是圆和矩形，故D错误. 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若向量与向量满足，且与同向，则 B. 若向量，则与共线的单位向量是 C. 若，则可知 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】A由向量的性质：除向量相等，没有大小区分；B注意共线向量的同向、反向区分；C利用向量的加减运算求证；D由向量数量积的定义即可判断. 【详解】A：除了相等向量，向量之间没有大小关系，故不正确，错误； B：同向的单位向量，即为同向单位向量， 为反向单位向量，错误； C：由，，又， 则，即，正确； D：，又， 即有，正确. 故选：CD 11. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. 复数的模长等于1 D. 的共轭复数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误． 【详解】对A，因为（其中为虚数单位，），所以，故A错； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，复数的模长等于，故C正确； 对D，其共轭复数，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平面向量与的夹角为，， 则等于___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为：. 13. 已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出复数，然后代入中计算即可. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 14. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离． 【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则. 因为为圆锥底面圆的周长，即， 由弧长公式得，. 所以， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）若复数表示实数，求实数m的值 ； （2）若复数表示纯虚数，求实数m的值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）由虚部为0直接求解即可； （2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数表示实数，可得，解得或； （2）由复数表示纯虚数，可得，解得. 16. 已知O为坐标原点，． （1）若，求x的值； （2）若A、B、C三点共线，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由向量垂直得到方程，求出；（2）求出，由向量平行得到方程，求出x的值. 【小问1详解】 ∵ ∴，解得： 【小问2详解】 由（1）可知 ∵A、B、C三点共线， ∴与共线，即，解得： 17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且． （1）求角B的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，得到，再运用余弦定理推论求出，即得； （2）由正弦定理将边分别用的三角函数表示，代入，整理成，利用三角函数的值域即可求得. 【小问1详解】 由和余弦定理可得，，因，化简得：， 再由余弦定理，，又因，故 【小问2详解】 由正弦定理，可得 , 则， 因可知，则，， 故的范围是. 19. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，.在点测得塔顶的仰角为50.5°. （1）求与两点间的距离（结果精确到）； （2）求塔高（结果精确到）. 参考数据：取，，. 【答案】（1）324m （2）669m 【解析】 【分析】（1）求出，在中利用正弦定理进行求解；（2）先在中利用正弦定理求出的长度，进而利用正切值求出塔高. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得， 则 【小问2详解】 由正弦定理得， 则. 故塔高 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$