精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（B）

2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题（B） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 若为正整数，则乘积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由排列数的公式得解. 【详解】由题得， 所以乘积. 故选：D 2. 设函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可求出结果. 【详解】． 故选:A. 3. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可． 【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立 ，解得 故选：D 【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题． 4. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象观察斜率的大小以及导数的几何意义可得答案. 【详解】从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0， 根据导数的几何意义可得，即. 故选：C 5. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数求，再由解析式求即可. 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以 所以． 故选：C． 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可． 【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种； ②三组人数为2、2、1，此时有种. 所以不同的报名方法共有60＋90＝150种． 故选：B． 7. 已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断为奇函数，即可得到在上单调递减，再根据自变量的大小关系，即可判断. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 令，则， 所以（）为奇函数， 又当时，是单调递减函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：B 8. 可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得， ，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，求导正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解. 【详解】解：对于A，，，则A正确； 对于B，，，则B错误； 对于C，，，则C正确； 对于D，，，则D正确． 故选：ACD. 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ） A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B. C. 第2020行的第1010个数最大 D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A正误，利用组合数公式判断B正误，分析各行数据的特征，构造二项式，即可判断C正误，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断 D. 【详解】由第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为，而第9行第8个数字就是36，故A正确. 因为，故B 正确. 由图可知第2020行数字是展开式所有项的二项式系数，第个数为，由组合数性质可知最大，即第1011个数最大，故C错误. 依题意第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为， 比值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 对于任意满足 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到代入化简即可. 【详解】对于A:当时，，， 由，可得或， 由，可得， 所以的增区间为和，减区间为， 所以在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得，故正确； 对于B：当，，，同时 ，结合A函数的单调性得，故错误； 对于C：，故正确； 对于D：若， 由，得， 则， 其中代入，得， 整理得，即， 结合题设，故正确， 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，而，， 因此曲线在点处的切线方程为： ， 故答案为：. 13. 的展开式中，的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将其看作关于与的二项式展开，再对进行展开，最后找出的系数. 【详解】把变形为，可得：  要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得.  当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为.  故答案为:. 14. 若对任意，，当时，，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质可得，令，对求导，可得在上单调递减，即，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以．因为， 所以，所以． 设，则满足在上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 在内单调递增，所以，即a的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是化简为，设，对求导，求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【小问1详解】 令，得①. 【小问2详解】 令，得②， 由①②，得， 所以. 【小问3详解】 因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. 【小问4详解】 ， 两边分别求导，得， 令，得. 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值点； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）极大值点为，极小值点为1 （2）当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为． 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，令导数等于零，根据导数与零的单调关系，结合函数极值的定义，可得答案； （2）根据函数解析式求导，并对导数分解因式，结合二次函数的性质以及导数与函数单调性的关系，可得答案. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 令，则，列表有 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值点为，极小值点为1. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为． 18. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）写出过的图象上一点的切线方程，根据切线过定点列方程，根据方程有2解求参数的取值范围. （3）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设辅助函数（），求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【小问1详解】 因为，，所以，. 因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. 【小问2详解】 设切点，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以. 整理得：（） 设（），则（）. 由，由. 所以在上递增，在上递减. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点. 因为，，， 所以. 即所求的取值范围为：. 【小问3详解】 当时，，，. 设，则. 假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设（）， 则（当且仅当时取“”）. 但，所以在恒成立. 所以在上单调递增，又. 所以在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题（B） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的． 1. 若为正整数，则乘积（ ） A. B. C. D. 2. 设函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ） A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 7. 已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，求导正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ） A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B. C. 第2020行的第1010个数最大 D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是 B. 当且时， C. 对于任意满足 D. 若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 13. 的展开式中，的系数为_______． 14. 若对任意，，当时，，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知函数． （1）若，求函数的极值点； （2）讨论的单调性． 18. （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $