2025年广东省深圳市南山区第二外国语学校(集团)中考二模数学试卷

南山区第二外国语学校（集团）2024-2025 学年度 九年级二模数学学科试卷 参考答案及评分标准 命题人：海德学校 史学丽 审题人：海德学校 朱本靖 2025年 5 月 8日 一、 选择题（每小题 3 分，共 24分） 二、填空题（每小题 3分，共 15分） 三、选择题（共 61分） 14.（6分）解：原式= 𝑎+2−𝑎−1 (𝑎+2)(𝑎−2) •（a+2）2 = 1 （𝑎+2)(𝑎−2) •（a+2）2……………………………………2 分 = 𝑎+2 𝑎−2 ，…………………………………………4 分 当 a＝3 时，………………………………………………5 分 原式= 3+2 3−2 =5．…………………………………………6 分 15.(7 分) （1） 7.5；7；25%．……………………3 分 （2） 乙 ………………………………5 分 （3）小祺的观点比较片面．………………………………5 分 理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为 37.5%，高于乙组成绩的优秀率 25%， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 或例如：②甲组成绩的中位数为 7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． （每出一条数据分析且合理即可，酌情给分）………………………7 分 16. (7 分) 解：如图，过点 A作 AE⊥CB交 CB延长线于点 E， 在 Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°， ∵sin∠ABE= 𝐴𝐸 𝐴𝐵 ，cos∠ABE= 𝐵𝐸 𝐴𝐵 ，………………………2 分 ∴ 𝐴𝐸 5 ≈0.60， 𝐵𝐸 5 ≈0.80， 解得：AE≈3（m），BE≈4（m），………………………3 分 ∴CE＝BC+BE≈2+4＝6（m），………………………4 分 在 Rt△ACE中，由勾股定理得：AC= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 ≈ √32 + 62 =3√5…………………5 分 3√5 ≈6.7（m），………………6 分 ∴A、C两点之间的距离约为 6.7m；………………7 分 17. （9 分）解：（1）设小亮每做一个深蹲消耗 x千卡的热量，一个开合跳消耗 y千卡的热量，…1 分 根据题意得：{ 30𝑥 + 20𝑦 = 34 20𝑥 + 40𝑦 = 36 ，………………………………………2 分 解得：{ 𝑥 = 0.8 𝑦 = 0.5 ．……………………………………3 分 答：小亮每做一个深蹲消耗 0.8 千卡的热量，一个开合跳消耗 0.5 千卡的热量；……4 分 （2）（300﹣2m）…………………5 分  根据题意得：m≥300﹣2m， 解得：m≥100．…………………………………………6 分 设消耗的总热量为 w千卡，则 w＝0.8m+0.5（300﹣2m）， 即 w＝﹣0.2m+150，………………………………………7 分 ∵﹣0.2＜0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C A C A D 题号 9 10 11 12 13 答案 （x﹣4）2 （答案不唯一，k＞0 时满 足条件） 30π 2n+2 2 3 南山区第二外国语学校（集团）2024-2025 学年度 九年级二模数学学科试卷 参考答案及评分标准 命题人：海德学校 史学丽 审题人：海德学校 朱本靖 2025年 5月 8日 一、 选择题（每小题 3分，共 24分） 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 三、选择题（共 61 分） 14.（6分）解：原式= 𝑎+2−𝑎−1 (𝑎+2)(𝑎−2) •（a+2）2 = 1 （𝑎+2)(𝑎−2) •（a+2）2……………………………………2 分 = 𝑎+2 𝑎−2 ，…………………………………………4 分 当 a＝3 时，………………………………………………5 分 原式= 3+2 3−2 =5．…………………………………………6 分 15.(7 分) （1） 7.5；7；25%．……………………3 分 （2） 乙 ………………………………5 分 （3）小祺的观点比较片面．………………………………5 分 理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为 37.5%，高于乙组成绩的优秀率 25%， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 或例如：②甲组成绩的中位数为 7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． （每出一条数据分析且合理即可，酌情给分）………………………7 分 16. (7 分) 解：如图，过点 A作 AE⊥CB交 CB延长线于点 E， 在 Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°， ∵sin∠ABE= 𝐴𝐸 𝐴𝐵 ，cos∠ABE= 𝐵𝐸 𝐴𝐵 ，………………………2 分 ∴ 𝐴𝐸 5 ≈0.60， 𝐵𝐸 5 ≈0.80， 解得：AE≈3（m），BE≈4（m），………………………3 分 ∴CE＝BC+BE≈2+4＝6（m），………………………4 分 在 Rt△ACE中，由勾股定理得：AC= √𝐴𝐸2 + 𝐶𝐸2 ≈ √32 + 62 =3√5…………………5 分 3√5 ≈6.7（m），………………6 分 ∴A、C两点之间的距离约为 6.7m；………………7 分 17. （9 分）解：（1）设小亮每做一个深蹲消耗 x千卡的热量，一个开合跳消耗 y千卡的热量，…1 分 根据题意得：{ 30𝑥 + 20𝑦 = 34 20𝑥 + 40𝑦 = 36 ，………………………………………2 分 解得：{ 𝑥 = 0.8 𝑦 = 0.5 ．……………………………………3 分 答：小亮每做一个深蹲消耗 0.8 千卡的热量，一个开合跳消耗 0.5 千卡的热量；……4 分 （2）（300﹣2m）…………………5 分  根据题意得：m≥300﹣2m， 解得：m≥100．…………………………………………6 分 设消耗的总热量为 w千卡，则 w＝0.8m+0.5（300﹣2m）， 即 w＝﹣0.2m+150，………………………………………7 分 ∵﹣0.2＜0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C A C A D 题号 9 10 11 12 13 答案 （x﹣4）2 （答案不唯一，k＞0 时满 足条件） 30π 2n+2 2 3 ∴w随 m的增大而减小， ∴当 m＝100 时，w取得最大值．……………………………………8 分 答：小亮安排 100 个深蹲消耗的热量最多．………………………………………9 分 18. （8 分） （1）证明：∵AO＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵BD是切线， ∴OB⊥BD，………………………………1 分 ∴∠OBD＝90°， ∴∠OBE+∠EBD＝90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA＝90°， ∵∠CEA＝∠DEB， ∴∠EBD＝∠BED，…………………………3 分 ∴DB＝DE．…………………………4 分 （2）作 DF⊥AB于 F，连接 OE． ∵DB＝DE，AE＝EB＝6， ∴EF= 1 2 BE＝3，OE⊥AB，…………………………5 分 在 Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3， ∴DF= √52 − 32 =4，…………………………6 分 ∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°， ∴∠AOE＝∠DEF， ∴sin∠DEF＝sin∠AOE= 𝐴𝐸 𝐴𝑂 = 4 5 ，…………………………7 分 ∵AE＝6， ∴AO= 15 2 ． ∴⊙O的半径为 15 2 ．………………………8 分 19. （3+3+4+2=12 分） 解：（1）③根据题意连线如下：………………………3 分(点 2 分，平滑曲线 1 分) ④二次；………………6 分 ⑤解：把 （4，196）和 （8，144）代入 s＝at2+bt+256． 可得{ 196 = 16𝑎 + 4𝑏 + 256， 144 = 64𝑎 + 8𝑏 + 256， ………………7 分 ∴{ 𝑎 = 1 4 ， 𝑏 = −16， ………………9 分 ∴函数解析式为𝑠 = 1 4 𝑡2 − 16𝑡 + 256．……………10 （2）32，1……………………………12（各 1 分） （分析：由题意，当 s＝0 时，0 = 1 4 𝑡2 − 16𝑡 + 256， ∴t＝32．∴最后 2 秒钟，即当 t＝30 时，s＝1；又当 t＝32 时，s＝0， ∴1﹣0＝1（米）．） ∴w随 m的增大而减小， ∴当 m＝100 时，w取得最大值．……………………………………8 分 答：小亮安排 100 个深蹲消耗的热量最多．………………………………………9 分 18. （8 分） （1）证明：∵AO＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵BD是切线， ∴OB⊥BD，………………………………1 分 ∴∠OBD＝90°， ∴∠OBE+∠EBD＝90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA＝90°， ∵∠CEA＝∠DEB， ∴∠EBD＝∠BED，…………………………3 分 ∴DB＝DE．…………………………4 分 （2）作 DF⊥AB于 F，连接 OE． ∵DB＝DE，AE＝EB＝6， ∴EF= 1 2 BE＝3，OE⊥AB，…………………………5 分 在 Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3， ∴DF= √52 − 32 =4，…………………………6 分 ∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°， ∴∠AOE＝∠DEF， ∴sin∠DEF＝sin∠AOE= 𝐴𝐸 𝐴𝑂 = 4 5 ，…………………………7 分 ∵AE＝6， ∴AO= 15 2 ． ∴⊙O的半径为 15 2 ．………………………8 分 19. （3+3+4+2=12 分） 解：（1）③根据题意连线如下：………………………3 分(点 2 分，平滑曲线 1 分) ④二次；………………6 分 ⑤解：把 （4，196）和 （8，144）代入 s＝at2+bt+256． 可得{ 196 = 16𝑎 + 4𝑏 + 256， 144 = 64𝑎 + 8𝑏 + 256， ………………7 分 ∴{ 𝑎 = 1 4 ， 𝑏 = −16， ………………9 分 ∴函数解析式为𝑠 = 1 4 𝑡2 − 16𝑡 + 256．……………10 （2）32，1……………………………12（各 1 分） （分析：由题意，当 s＝0 时，0 = 1 4 𝑡2 − 16𝑡 + 256， ∴t＝32．∴最后 2 秒钟，即当 t＝30 时，s＝1；又当 t＝32 时，s＝0， ∴1﹣0＝1（米）．） 20. (3+4+3+2=12 分) 解：（1） ………………………………3 分（中垂线 1 分，连 CD 得 1 分，结论 1 分） （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 30°，…………………………………4 分 ∵EA绕点 E顺时针旋转 60°得到线段 ED， ∴∠AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠DAE＝∠CAB， ∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE，…………………………………5 分 ∴△ACD≌△ABE（SAS），…………………………………6 分 ∴∠ACD＝∠ABE＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝90°， ∴：四边形 ABCD为单直邻等四边形；…………………………………7 分 （3）解：如图 1， 连接 DM，作 DG⊥CM于 G， ∵四边形 ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°， ∴BC＝AB= √3， ∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°， ∴CD＝BCtan30°= √3 × √3 3 = 1，BD＝2CD＝2，∠BDC＝60°， ∴AD＝BD＝2， ∵DE⊥AE，∠DAE＝30°， ∴DE= 1 2 AD＝1，∠ADE＝60°， ∴∠CDE＝∠ADB， ∵ 𝐶𝐷 𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 𝐴𝐷 = 1， ∴△CDE∽△BDA，…………………………………8 分 ∴∠DCE＝∠ABD， 𝐶𝐸 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 𝐵𝐷 ， ∴点 D、M、B、C共圆， 𝐶𝐸 √3 = 1 2 ， …………………………………9 分 ∴∠DMB＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC＝30°，CE= √3 2 ， ∴BM＝AM= √3 2 ，CG＝EG= 1 2 𝐶𝐸 = √3 4 ， ∴DM= √𝐵𝐷2 − 𝐵𝑀2 = √22 − ( √3 2 )2 = √13 2 ， ∴GM= √3 2 𝐷𝑀 = √39 4 ， ∴CM＝CG+MG= √3+√39 4 ；…………………………………10 分 （4）2 或 6．…………………………………12 分 点D为所求作 D C M B A 20. (3+4+3+2=12 分) 解：（1） ………………………………3 分（中垂线 1 分，连 CD 得 1 分，结论 1 分） （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 30°，…………………………………4 分 ∵EA绕点 E顺时针旋转 60°得到线段 ED， ∴∠AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠DAE＝∠CAB， ∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE， ∴∠DAC＝∠BAE，…………………………………5 分 ∴△ACD≌△ABE（SAS），…………………………………6 分 ∴∠ACD＝∠ABE＝30°， ∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝90°， ∴：四边形 ABCD为单直邻等四边形；…………………………………7 分 （3）解：如图 1， 连接 DM，作 DG⊥CM于 G， ∵四边形 ABCD为单直邻等四边形，∠BCD＝90°， ∴BC＝AB= √3， ∵∠BCD＝90°，∠CBD＝30°， ∴CD＝BCtan30°= √3 × √3 3 = 1，BD＝2CD＝2，∠BDC＝60°， ∴AD＝BD＝2， ∵DE⊥AE，∠DAE＝30°， ∴DE= 1 2 AD＝1，∠ADE＝60°， ∴∠CDE＝∠ADB， ∵ 𝐶𝐷 𝐷𝐸 = 𝐵𝐷 𝐴𝐷 = 1， ∴△CDE∽△BDA，…………………………………8 分 ∴∠DCE＝∠ABD， 𝐶𝐸 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 𝐵𝐷 ， ∴点 D、M、B、C共圆， 𝐶𝐸 √3 = 1 2 ， …………………………………9 分 ∴∠DMB＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DMC＝∠DBC＝30°，CE= √3 2 ， ∴BM＝AM= √3 2 ，CG＝EG= 1 2 𝐶𝐸 = √3 4 ， ∴DM= √𝐵𝐷2 − 𝐵𝑀2 = √22 − ( √3 2 )2 = √13 2 ， ∴GM= √3 2 𝐷𝑀 = √39 4 ， ∴CM＝CG+MG= √3+√39 4 ；…………………………………10 分 （4）2 或 6．…………………………………12 分 点D为所求作 D C M B A