精品解析：江苏省无锡市青山高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

无锡市青山高级中学 2025年春学期高一数学期中考试试卷 命题：费飞 审卷：黄煜 2025年4月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的位置关系判断即可. 【详解】如果，且，那么或. 故选：B 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 3. 已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 4. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 5. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 6. 若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，根据圆锥的侧面展开图的面积为，求得母线长，再根据圆心角为，求得底面半径即可. 【详解】解：设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h， 则，得. 由，得. 因为， 所以圆锥的体积为. 故选：C 7. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】用射影定理即可化简求值. 【详解】如图所示，过点A作于点D， 则， 同理可证， 因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 故选：D 8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得再利用向量减法运算法则以及向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为该坐标系中和， 所以 则， 所以 = 即该坐标系中和两点间的距离为： 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部是 C. D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出，根据复数的几何意义可判断ACD，根据复数的概念可判断B. 【详解】∵， ∴在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确； 的虚部是，故B不正确； ，故C不正确； 设，，，由得， 则点在以为圆心，以1为半径的圆上， 则到的距离的最大值为，即的最大值为，故D正确． 故选：AD 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，，则符合条件的有两个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的形状等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若为锐角三角形，则， ， 在上单调递减，所以，A选项正确. B选项，若， 则可能，此时三角形是直角三角形，所以B选项错误. C选项，若，则，由正弦定理得，所以C选项正确. D选项，若，，， 由余弦定理得， 所以符合条件的只有个，D选项错误. 故选：AC 11. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在等边中，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是球的直径，求出球的表面积和正方体的表面积，即可得解. 【详解】正方体的体对角线就是球的直径，设正方体棱长为，则正方体的体对角线长为， 则正方体的外接球的半径为，则球的表面积为：， 而正方体的表面积为：，所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为. 故答案为： 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于：涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四、解答题（本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 16. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及夹角公式求解即可； （2）根据投影向量的定义求解即可； （3）根据平面向量平行的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 由，， 得， 所以； 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量的坐标为 ； 【小问3详解】 ， 因为， 所以，解得. 17. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示结合两角和的正弦展开式和诱导公式以及特殊角的余弦值计算可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理边化角， 即， ，， 又，，， 【小问2详解】 ，， ， ，， 的周长为． 19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）略 （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市青山高级中学 2025年春学期高一数学期中考试试卷 命题：费飞 审卷：黄煜 2025年4月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 或 C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 3. 已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ） A. B. C. D. 6 4. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部是 C. D. 若复数满足，则的最大值为 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，，，则符合条件的有两个 11. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在等边中，，则______． 13. 已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 16. 已知，. （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若，求k的值. 17. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $