2025年四川省德阳市绵竹市中考第二次诊断考试数学试题

九年级数学试卷第 1页（共 6页） 九年级数学试卷第 2页（共 6页） 绵竹市 2025 年九年级第二次诊断考试 数 学 试 卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分） 1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是 A. B. C. D. 2. 下列各数中最小的数是 A. ﹣2 B. 3 C. 0 D. ﹣1 3. 下列计算不正确的是 A. 2 3 6  B. 2 22 3 2 3   C. 2 2 3 2 5 2  D. 1 2 22  4．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别 代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 5．下列事件是必然事件的是 A．明天我市有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．你的年龄比你亲生父亲年龄小 D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月 6．学校食堂有 10元、11元、12元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份）， 某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是 A．10.9元 B．9.9元 C．11元 D．11.2元 7．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请 你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有 x只，树有 y棵，由题意可列方程组 A． 3 5 5 1 y x y x      B． 3 5 5 1 y x y x      C． 1 5 3 5 5 x y y x        D． 5 3 1 5 x y x y        8．已知△ABC的三边 a，b， c满足 0a a c bc ab    ，则△ABC的形状为 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AF = DE = 6 m，斜面坡度 i = 1 : 1 . 5是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF的比，斜面坡度 i = 1 : 3是指 DE与 CE的比．根据图中数据，求出斜坡 AB的长为 A．13 B． C． D． 11 9题图 10题图 10．如图，Rt ABC△ 中， 90ACB  ，AB =2， 3AC  ， O 是△ABC的外接圆，D为圆上一 点，连接CD且CD CB ，过点C作 O 的切线与 AD的延长线交于点 E，则CE的长为 A. 3 2 B. 3 3 C. 1 D. 3 2 11．如图，在 ABCD 中，AB =2， 3AD  ， 60ABC  ，在 AB和 AD上分别截取  AE AE AB ，AF， 使 AE=AF，分别以 E， F 为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧在 DAB 内交于点G，作 射线 AG交 BC于点H，连接DH ，分别以D，H为圆心，以大于 1 2 DH 的长为半径作弧，两弧相 交于点M 和 N，作直线MN交CD于点K，则CK 的长为 A． 3 4 B． 2 3 C． 3 5 D． 1 2 九年级数学试卷第 3页（共 6页） 九年级数学试卷第 4页（共 6页） 12．二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图像与 x轴交于点  1,0A  ，与 y轴的交点为 B，对称轴为直 线 1x  ．下列四个结论：①3 0a b  ；②过点  0,c a 平行于 x轴的直线与抛物线有唯一的公共 点；③若 0a  ，关于 x的不等式    21 1 0a x b x    的解集为 1 1x   ；④若 0a  ，点  1,P t y ，  21,Q t y 在该抛物线上，当实数 3 2 t  时， 1 2y y ．其中正确的结论是 A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④ 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．若 m+2n﹣3＝0，则 3m•9n＝__________． 14．国产动画片《哪吒之魔童闹海》火遍全球，目前票房收入达 155.6亿元，将数据 155.6亿元用科学 记数法表示为 元． 15. 关于 x的分式方程 2 3 1 1 x a x x      的解是非负数，则 a的取值范围是__________． 16．随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人， 其最快移动速度  m/sv 是载重后总质量  kgm 的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质 量 20kgm  时，它的最快移动速度 1.5m/sv  ，当其载重后总质量 30kgm  时，它的最快移动速度 v是 m/s． 17．如图，将扇形 AOB沿 OB方向平移，使点 O移到 OB的中点O处，得扇形 A O B  ，若 90O  ， 4OA  ，则阴影部分的面积为__________． 18．如图，点 E，F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE DF ．连接 CF交 BD于点 G， 连接 BE交 AG于点 H．若正方形 ABCD的边长为 2a，则线段 DH长度的最小值是__________． 16题图 17题图 18题图 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分） 19.（1）（7分）计算：   1 0 3 18 3 1 3tan30 3 2 2              ． （2）（7分）先化简，再求值： 23 4 41 1 1 x x x x        ，其中 3x  ． 20．（10分）人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统 等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用 x 表示，数据分组为 A：50 60x  、B：60 70x  、C：70 80x  、D：80 90x  、E：90 100x  ， 并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题： （1）随机抽查的学生共有________人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为________°； （2）该校约有 7000名学生，请估算等级为 C的学生约有多少人？ （3）在本次调查中，等级为 E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机 抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 九年级数学试卷第 5页（共 6页） 九年级数学试卷第 6页（共 6页） 21．（12分）如图，一次函数 1y k x b  的图像与反比例函数 2 ky x  的图像交于 A(－4,1)， B(m,4) 两 点．（ 1k ， 2k ，b为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式 21 kk x b x   的解集； 22．（12分）如图，在△ABC中，AB=BC，过点 A作 BC的平行线与∠ABC的平分线交于点 D， 连接 CD． （1）求证：四边形 ABCD是菱形； （2）连接 BD与 AC交于点 O，过点 D作DE BC 交 BC的延长线于点 E，连接 EO，若 2 5EO  ， 5DC  ，求 CE的长． 23．（13分）为适应市场需求，成都博物馆设计了一套全新的“花与器”文创商品，经调查，A、B两种 图案的冰箱贴倍受消费者喜爱．已知 A种冰箱贴的单价比 B种冰箱贴的单价贵 10元，用 300元 购进 A种冰箱贴的数量与用 200元购进 B种冰箱贴的数量相同． （1）求 A种冰箱贴、B种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）若某公司购买 A、B两种冰箱贴共 200个，且 A种的数量至少比 B种的数量多 27个，当购买 A、B两种冰箱贴各多少时总费用最少？并求出最少费用． 24．（14分）已知：如图，在Rt ABC△ 中，∠B=90°，E为 AB上一点， AD是 BAC 的角平分线， DE DC ，以DB长为半径作 D ． （1）求证： AC是 D 的切线； （2）求证： AB BE AC  ； （3）若 8BE  ，且 : 3:5BD DC  ，求 AD的长． 25．（15分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴交于点 A(1,0)，B(3,0) 两点，与 y轴交于 点C (0,3) ， （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点 P为抛物线上位于直线 BC下方的一动点，当 PBC△ 面积最大时，求点 P的坐标； （3）若点Q为线段OC上的一动点，问： 3 2 AQ CQ 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值； 若不存在，请说明理由． 九年级数学试卷第 1页（共 6页） 九年级数学试卷第 2页（共 6页） 九年级二诊参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1~6 : CABDCA 7~12 : DCBACB 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. 27 14. 101.556 10 15. 5a  且 3a  16. 1 17. 4 2 3 3   18.  5 1 a 三．解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分） 19.（1）（7分）解：   1 0 3 18 3 1 3tan30 3 2 2               32 1 2 3 2 33        ……………………5分 2 1 2 3 2 3       = 5 ． ……………………………7分 （2） （2）（7分）解： 23 4 41 1 1 x x x x         2 2 1 1 2 x x x x       ……………………4分 1 2x   ； ……………………5分 当 3x  时， 原式 1 1 3 2    ． ……………………7分 20.（10分）（1）300人 ………………2分 54° ……………4分 （2）C等级人数为  300 30 60 90 45 75     （人）， 757000 1750 300   （人）， 答：估计等级为 C的学生约有 1750人； ………………6分 （3）根据题意，列表如下： 女 女 女 男 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 女 女，女 女，女 男，女 男 女，男 女，男 女，男 ………………8分 从表格中可以看出，共有 12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有 6种结果， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为 6 1 12 2  ． ………………10分 21.（12分）（1）解：将点  4 1A  ，代入 2ky x  得 21 4 k   ， ………………2分 ∴ 2 4k   ， ∴反比例函数的解析式为 4y x   ； ………………4分 将点  4B m， 代入 4y x   得 44 m   ， ∴ 1m   ， 将点  4 1A  ，、  1 4B  ， 分别代入 1y k x b  得 ………6分 1 1 1 4 4 k b k b        ， 解得 1 1 5 k b    ， ∴一次函数的解析式为 5y x  ； ………………8分 （2）根据图像可知，当 4 1x    或 0x  时，直线在反比例函数图像的上方，满足 21 kk x b x   ， ∴不等式 21 kk x b x   的解集为 4 1x    或 0x  ； ………………12分 九年级数学试卷第 3页（共 6页） 九年级数学试卷第 4页（共 6页） 22.（12分）（1）证明： AD BC∥ ，  ADB DBC  ，  BD平分 ABC ，  DBA DBC   ，  DBA ADB  ，  AB AD ，  AB BC ，  AD BC ，且 AD BC∥ ， 四边形 ABCD是平行四边形， 又 AB BC ， 四边形 ABCD是菱形； ………………6分 （2）解：四边形 ABCD是菱形，  5DC BC  ，  DE BC ，菱形 ABCD中OB OD ，  1 2 5 2 OE BD= = ，  4 5BD  ， 设CE x ，则 5BE BC CE x    ， 在Rt CDE△ 中， 2 2 2DE CD CE  ， 在Rt BDE△ 中， 2 2 2DE BD BE  ，  2 2 2 2CD CE BD BE   ，     2 22 25 4 5 5x x    ， 解得 3x  ， CE的长为 3． ………………12分 23.（13分）（1）解：设 A种冰箱贴的单价是 a元，B种冰箱贴的单价是  10a  元．…………1分 根据题意，得 300 200 10a a   ， ………………3分 解得 30a  ， ………………4分 经检验， 30a  是所列分式方程的解，………………5分 30 10 20  （元）， ∴A种冰箱贴的单价是 30元，B种冰箱贴的单价是 20元．………………6分 （2）解：设购买 A种冰箱贴 x个，则购买 B种冰箱贴 (200 )x 个．……………7分 根据题意，得 (200 ) 27x x   ， 解得 227 2 x  ； ………………8分 设购买两种冰箱贴的总费用为 W元，则 30 20(200 ) 10 4000W x x x     ，…………10分 10 0 ， ∴W随 x的增大而增大， ………………11分 ∵ 227 2 x  ， ∴当 114x  时，W的值最小， 10 114 4000 5140W   最小 ，此时 200 114 86  （个），………12分 ∴当购买 A种冰箱贴 114个、B种冰箱贴 86个时总费用最少，最少费用是 5140元．……………13分 24.（14分）（1）证明：如图，过点 D作DF AC 于 F； AB 为 D 的切线， 90B  ， AB BC  ， AD 平分 BAC ，DF AC ， BD DF  ， AC 与 D 相切；………………………………4分 （2）证明：在Rt BDE△ 和Rt FDC 中， BD DF DE DC    ， Rt RtBDE FDC ≌  （HL）， BE FC  ， AB 为 D 的切线， AC与 D 相切， AB AF  ， 九年级数学试卷第 5页（共 6页） 九年级数学试卷第 6页（共 6页） AB EB AF FC    ， 即 AB EB AC  ； ………………………………8分 （3）解：由（2）可知， BD DF ， 8FC BE  ， : 3:5BD DC  ， : 3:5DF DC  ， 设 3DF x ， 5DC x ， 2 2DC DF FC   ，    2 25 3 8x x   ， 解得： 2x  ，  10DC  ， 6BD DF  ， : 6 :8DF CF  3: 4 ， 16BC BD CD   ， 90CFD ABC    ， DCF ACB  ， CDF CAB ∽  ， : :DF CF AB CB  ，  :16 3: 4AB  ， 12AB  ， 2 2AD AB BD   2 212 6  6 5 ． ………………………………14分 25.（15分）（1）解：由题意，设抛物线解析式为   1 3y a x x   ，其中 0a  ， ∵点C的坐标为  0 3C ， ， 将  0 3C ， 代入   1 3y a x x   ，解得： 1a  ， ∴    21 3 4 3y x x x x      ， ∴抛物线的解析式为 2 4 3y x x   ， …………………………2分 ∵对称轴为直线 4 2 2 x -= - = ， ∴将 2x  代入 2 4 3y x x   ，得： 1y   ， ∴顶点D的坐标为  2, 1D  ； ………………………4分 （2）解：∵  3 0B ， ，  0 3C ， ， ∴直线 BC的解析式为： 3y x   ， ∵点 P在抛物线上，且位于直线 BC下方， ∴设  2, 4 3P p p p  ，其中，0 3p  ， 如图所示，作 PM y∥ 轴，交 BC于点M ， ∴  , 3M p p  ， ∴ 2 3M PPM y y p p     ， ∵ PBC PMB PMCS S S    ，   1 2PMB B P S PM x x   ，   1 2PMC P C S PM x x   ， ∴      1 1 1 2 2 2PBC B P P C B C S PM x x PM x x PM x x         ， ∴    21 1 3 2 3 2PBC B C S pPM x x p      ， 整理可得： 2 8 3 2 3 27 2PBC S p         ，其中0 3p  ， ∵ 3 0 2   ， ∴当 3 2 p  时， PBCS 取得最大值， 将 3 2 p  代入 2 4 3y x x   ，得： 3 4 y   ， ∴此时点 P的坐标为 3 3, 2 4 P      ； …………………………9分 （3）解：存在最小值，理由如下： 如右图所示，将直线CQ绕着Q点逆时针旋转30， 并过点C作其垂线，垂足为 N， 分别连接 AQ，QN，CN ， 九年级数学试卷第 7页（共 6页） 九年级数学试卷第 8页（共 6页） 则 30CQN  ， 90CNQ  ， ∴在Rt CNQ△ 中， 3cos cos30 2 NQCQN CQ      ， ∴随着Q点的运动，总有 3 2 NQ CQ ， ∴ 3 2 AQ CQ AQ NQ   ， 要使得 3 2 AQ CQ 取得最小值， 即要使得 AQ NQ 取得最小值， 如下图，当A、Q、N三点共线时，满足 AQ NQ 取得最小值， 此时， 90CNQ AOQ    ， 30CQN AQO    ， ∵ 1OA  ， ∴ 2AQ  ， 3OQ  ， ∴ 3 3CQ OC OQ    ， ∴   3 3 3 3cos30 3 3 2 2NQ CQ        ， ∴ 3 3 3 3 3 1 2 2 2AQ NQ     ， ∴ 3 2 AQ CQ 存在最小值，最小值为 3 3 1 2  ． ……………………………………15分