精品解析：湖南省湘西州联考2024-2025学年九年级下学期初中学业水平模拟检测数学试题

2025年湖南省初中学业水平考试模拟试卷数学（BEST湘西州联考） （本试卷共6页，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：（ ） A. B. C. 4 D. 20 2. 预计到2025年，我省高速公路总里程将达到8100千米以上．将数据8100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列半导体商标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解，，，，四种型号电子元件的信号传输速率，科研人员从这四种型号的元件中各选五个．在同等实验条件下，测量它们的信号传输速率（单位：Mbps），统计结果如表： 型号 平均数 方差 则这四种型号电子元件中信号传输速率又快又稳定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由下列条件能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 一次函数（k为常数）的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 单项式的次数为_____． 12. 计算的结果_____． 13. 湖南有“三湘四水”之称，四水指的是湖南境内四条著名的河流：湘江、资江、沅江、澧水．若从上述四条河流中随机选择一条河流开展鱼类调查，则选中资江的概率是_____． 14. 已知菱形ABCD中，AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 _________． 15. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是______．（写一个符合条件的m的值即可） 16. 如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则______cm． 17. 如图，点O在矩形的边上，以点O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，连接．以点O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E．若点A的坐标为，则点E的坐标为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从分数在60分至100分之间的学生成绩中随机抽取m名学生的成绩进行统计分析，并绘制成如下两个不完整的统计图．其中成绩划分为四个等级：，，，． 根据以上信息，回答下列问题： （1）________； （2）在扇形统计图中，“B组”所在扇形的圆心角度数为________； （3）补全条形统计图； （4）若该校有1800名学生的成绩在60分至100分之间，请你估计这1800名学生中成绩达到A等级的学生人数． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O．E，F是上的两点，连接， ________．请从“①；②．”中任选一个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 23. 某校计划购买一批九连环和七巧板作为科技节活动奖品，据调查，九连环单价比七巧板单价多2元，用240元购进七巧板的数量和用300元购进九连环的数量一样多． （1）求九连环和七巧板的单价； （2）现需购买九连环和七巧板共200套，总费用不超过1760元．问至少购买七巧板多少套？ 24. 如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． （1）求线段的长度；（精确到0.1米） （2）求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 25. 如图1，点A是半圆O上一点，直径，．点D是线段上的一个动点．点E在直径的延长线上，且．连接交线段于点M． （1）若，求证：是半圆O的切线； （2）若点D是线段的中点，求线段的长； （3）如图2，当时，线段与相交于点N，连接．设，若，求k的值． 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省初中学业水平考试模拟试卷数学（BEST湘西州联考） （本试卷共6页，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算：（ ） A. B. C. 4 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，直接根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：． 故选C． 2. 预计到2025年，我省高速公路总里程将达到8100千米以上．将数据8100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：8100000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列半导体商标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，平方差公式的运用，根据相关运算法则计算进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 为了解，，，，四种型号电子元件的信号传输速率，科研人员从这四种型号的元件中各选五个．在同等实验条件下，测量它们的信号传输速率（单位：Mbps），统计结果如表： 型号 平均数 方差 则这四种型号电子元件中信号传输速率又快又稳定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的应用，根据平均数和方差定义，结合表格信息即可求解，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由表格信息可知， ∵，，，的平均数中，较高， ∴选，， ∵的方差大于， ∴更稳定， ∴这四种型号电子元件中信号传输速率又快又稳定的是， 故选：． 6. 如图，由下列条件能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由能判定，本选项符合题意； B、由不能判定，本选项不符合题意； C、由能判定，本选项不符合题意； D、由能判定，本选项不符合题意． 故选：A． 7. 若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，即或，解得结果即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴或， 即：； 故选：A． 8. 一次函数（k为常数）的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质. 根据k，b的符号确定一次函数的图象经过的象限. 【详解】解：，图象过一三象限，，图象过第二象限， ∴直线经过一、二、三象限，不经过第四象限. 故选D. 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，先得出，再根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”直接可得答案；熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 10. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①由菱形的性质得出ADBC，得出△AEF∽△CBF，故①正确； ②根据相似三角形对应边成比例，可得CF＝2AF，故②正确； ③根据菱形的性质得到AD=CD，由三角形外角定理得到△CDF不是等腰三角形可得DF≠DC，故③错误； ④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S四边形ABCD，可得S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ADBC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵E是AD边的中点， ∴AE＝AD＝BC， ∴， ∴CF＝2AF，故①，②正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠DAC=∠DCA ∵∠DFC=∠DAC+∠ADF ∴∠DFC ≠∠DCA ∴△CDF不是等腰三角形 ∴DF≠DC，故③错误； ∵△AEF∽△CBF， ∴， ∴S△AEF＝S△ABF， ∵E是AD边的中点， ∴S△ABE＝S四边形ABCD， ∴S△ABF＝S△ABE=×S四边形ABCD= S四边形ABCD， ∴S△AEF＝S四边形ABCD， 又∵S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD−S四边形ABCD＝S四边形ABCD， ∴2S四边形CDEF＝5 S△ABF，故④正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 单项式的次数为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了单项式次数的定义．根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得：的次数为：． 故答案为：2． 12. 计算的结果_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 故答案为：2 13. 湖南有“三湘四水”之称，四水指的是湖南境内四条著名的河流：湘江、资江、沅江、澧水．若从上述四条河流中随机选择一条河流开展鱼类调查，则选中资江的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，从湘江、资江、沅江、澧水四条河流中随机选择一条河流开展鱼类调查，选中“资江”的概率是， 故答案为：． 14. 已知菱形ABCD中，AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 _________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据菱形的面积即可求解. 【详解】∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝5， ∴菱形ABCD的面积是AC×BD=×6×5=15， 故填：15 【点睛】此题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积公式. 15. 已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的值可以是______．（写一个符合条件的m的值即可） 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数增减性进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x增大而减小， ∴， ∴m的值可以是1， 故答案为：1（不唯一）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 16. 如图，在中，，D、E、F分别是的中点，若cm，则______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得：，再结合是的中位线即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为： 17. 如图，点O在矩形的边上，以点O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，连接．以点O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E．若点A的坐标为，则点E的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）；也考查了平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着证明得到，利用勾股定理得到，即可得到点E的坐标． 【详解】解：由作图作法得平分，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∴点E的坐标为，即， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，，则，，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，， 则，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值．首先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式把多项式的各部分分别展开，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得结果为，把整理可得，再整体代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 21. 某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从分数在60分至100分之间的学生成绩中随机抽取m名学生的成绩进行统计分析，并绘制成如下两个不完整的统计图．其中成绩划分为四个等级：，，，． 根据以上信息，回答下列问题： （1）________； （2）在扇形统计图中，“B组”所在扇形的圆心角度数为________； （3）补全条形统计图； （4）若该校有1800名学生的成绩在60分至100分之间，请你估计这1800名学生中成绩达到A等级的学生人数． 【答案】（1）120 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）1080人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体， （1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出m的值； （2）根据总人数和B等级的人数即可求出“B组”所在扇形的圆心角度数； （3）用1800乘以A等级所占的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为:(名)， 故答案为： 120； 【小问2详解】 解：“B组”所在扇形的圆心角度数为：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：C组人数：（人）． 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计这1800名学生中成绩达到A等级的学生人数为1080人． 22. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O．E，F是上的两点，连接， ________．请从“①；②．”中任选一个作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）选①， 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形； 选②； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ． ， ． ，， ． 在和中， ， ， ． 又， 四边形DEBF是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）选①，先根据平行四边形的性质得出，，再得出，进而得出结论；选②，先得出，再证明，得出，进而得出结论； （2）先得出四边形是菱形，再得出四边形是正方形，再根据勾股定理得出，求出，进而得出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是菱形． ， ， ， ， 菱形是正方形， ． ， ，即， ， ． 23. 某校计划购买一批九连环和七巧板作为科技节活动奖品，据调查，九连环单价比七巧板单价多2元，用240元购进七巧板的数量和用300元购进九连环的数量一样多． （1）求九连环和七巧板的单价； （2）现需购买九连环和七巧板共200套，总费用不超过1760元．问至少购买七巧板多少套？ 【答案】（1）九连环和元七巧板的单价分别为10元和8 （2）至少购买七巧板120套 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和列出一元一次不等式． （1）设七巧板的单价为x元，则九连环单价为元，正确列出分式方程并解出方程，再检验，即可解答． （2）设购买七巧板m套，则购买九连环有套，列出一元一次不等式，解不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设七巧板的单价为x元，则九连环单价为元， 依题意得：， 解得， 经检验：是方程的解． 则九连环单价为：（元）． 答：九连环和元七巧板的单价分别为10元和8． 【小问2详解】 设购买七巧板m套，则购买九连环有套． 依题意得：， 解得． 答：至少购买七巧板120套． 24. 如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． （1）求线段的长度；（精确到0.1米） （2）求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 【答案】（1）约为1.5米 （2）约为2.5米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成的形式，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系是坡度是坡角的正切值． （1）根据的坡比为，推出 ．由米，即可得（米）； （2）根据正弦的定义列式计算即可． 【小问1详解】 解：攀登梯的坡比为， ， 在中，． 米， （米） 答：线段的长度约为1.5米； 【小问2详解】 解：在中，， ， （米）． 答：滑道的长度约为2.5米． 25. 如图1，点A是半圆O上一点，直径，．点D是线段上的一个动点．点E在直径的延长线上，且．连接交线段于点M． （1）若，求证：是半圆O的切线； （2）若点D是线段的中点，求线段的长； （3）如图2，当时，线段与相交于点N，连接．设，若，求k的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是半圆O的直径， ， 在中，，， ，， ，且， ， ， ， ， ， ； 又点是半圆O的半径， 是半圆O的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得，，进而得，，进而可得结论； （2）过点D作交于点F，则，根据中位线的判定和性质得，根据30度角的直角三角形的性质得，，再证明得，设，则，根据可得关于x的方程，解方程，进而可得结论； （3）过点D作交于点G，由已知可推出，分别证明，，求得，，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作交于点F，则， 是的中点， 是的中位线， ， 在中，，， ，， ， ， ， ∴， ∵， ∴，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点D作交于点G， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故k的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 【答案】（1） （2）线段的最大值为，此时点P的坐标为 （3） 证明：， 将抛物线平移后得到拋物线的表达式为，如图所示， 令，， 设直线的表达式为， 把，两点代入， 得， 解得， 则直线的表达式为， 直线过点， ， ， 点D在抛物线上，且其横坐标为， ， 由（2）知，得直线的表达式为， ，且， 直线的表达式为， 当时， 解得（舍去），， ， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， ， 直线的表达式为， 当时，， 直线必过定点． 【解析】 【分析】（1）将点，代入中，得二元一次方程，解方程即可； （2）过点P作轴交于点N，求出，则当最大时，也最大，用待定系数法求出直线的表达式为，设，，得，利用二次函数的性质求最值，进而可得答案； （3）根据二次函数平移的性质得拋物线的表达式为，令，，利用待定系求法求出直线的表达式为，再根据直线过点得，依次求得直线、、的解析式，当时，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴交于点N， 在中，令得， 点C的坐标为， 点B的坐标为， ， ， 轴， ， ， ， 则当最大时，也最大， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， 则， 线段的最大值为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平移的性质，一次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $