精品解析：云南省保山市腾冲市民族完全中学2025届高三五月份全真模拟测试数学试题

腾冲市民族完全中学2025届高三五月份全真模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 8. 记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 10. 平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，轴上存在4个不同的点在曲线上 11. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，其中，，则的最小值为______. 13. 在等比数列中，，则______. 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下： 改造前：； 改造后：. （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 （2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值. （其中） 19. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市民族完全中学2025届高三五月份全真模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解. 【详解】, , , 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若，，，则与的位置关系不能确定； 若，因为，所以，又，所以成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下表和的性质及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 5. 已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 6. 如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可求解. 【详解】设，则， 又，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：D 7. 某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ） A. 32个 B. 28个 C. 27个 D. 24个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得. 【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类： ①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种， ④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种， ⑦“222”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个. 故选：B. 8. 记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由得出或，再由对恒成立，得出，分类讨论的值即可求解． 【详解】或， 因为对恒成立，所以， ①； ②； 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 10. 平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，轴上存在4个不同的点在曲线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设关于轴的对称点为，通过分析得到，由此可判断；对于B，当时，通过检验是否成立可判断；对于C，当时，结合题设得及，令，得，利用函数单调性求得即可判断C；对于D，当时，设曲线在轴上的点为，由题设得，通过分类讨论结合曲线的对称性求得的值，可判断D. 【详解】对于A，因为，可知为线段的中点， 又动点满足，设动点关于轴对称的点为， 则，，可得，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，将原点代入，得，故B错误； 对于C，当时，，可得． 因为，即，解得，， 令，则，由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，且，，可得， 所以，故C正确； 对于D，当时，设曲线在轴上的点为，由题意得， 因为曲线图象关于轴对称，不妨考虑的情形， 当时，方程化为，解得， 当时，方程化为，解得， 故时，轴上有2个点，所以轴上存在4个不同的点在曲线上，故D正确． 故选：ACD． 11. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：由，得，故B错误； 对于C：因为， 所以，故C正确； 对于D：由于随机变量、均服从正态分布，且对称轴均为直线， ，所以在正态分布曲线上，的峰值较高， 正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，其中，，则的最小值为______. 【答案】20 【解析】 【分析】由题意得，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由知，由知，故， 所以，所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 故答案为：20. 13. 在等比数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先倒序相加，再利用等比数列的性质分组通分运算可求解. 【详解】设， 则. ，所以. 故答案为：-26. 14. 在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积. 【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且， 则，，，于是， 以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 令，由，，得，，， 则，化简得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，，， 因此点在底面上的射影在上，且，又， 显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由等面积法得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边； （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 在中，由， 可得，所以，即， 因，则． 【小问2详解】 由（1）知，则，即：， 所以①，②， 在中，由余弦定理得， 即③， 由①②③得：，解得； 【小问3详解】 如图，因平分，由（1）知， 故， 在中，设，则， 在中，，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 故有（*）． 在中，由正弦定理，得，则， 得，代入（*）式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”． 于是．即的面积的最小值为． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可， （2）对函数二次求导后可得在区间上递增，再由可分析得在上单减，在上单增，从而可求出函数的最值 【小问1详解】 由，得， ，， 函数曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当，， 在区间上递增， 又， 所以，当，， 所以在上单减， 当，，所以在上单增. 所以， 因为， ， 所以， 令，则，， 所以在上递增， 因为， 所以在上递增， 所以，所以 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形. 因为，所以四边形为菱形， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明，得到 ，在结合面面垂直、线面垂直的性质即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面， 因为，取中点为，连，所以. 因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以. 设平面的法向量为， 由得， 取，得，则， 设平面的法向量为，由得， 取，得，则， 所以. 设平面与平面的夹角为，则. 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下： 改造前：； 改造后：. （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 （2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值. （其中） 【答案】（1）列联表为： 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 技术改造前后的连续正常运行时间有差异 （2）的分布列为 均值为万元【解析】 【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案； （2）首先判断一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与生产周期内生产维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率的分布列，计算分布列的期望，得答案. 【小问1详解】 列联表为： 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异. ， 依据小概率值的独立性检验分析判断不成立， 即技术改造前后的连续正常运行时间有差异； 【小问2详解】 由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天， 一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为， 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则， 一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元， 一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元， 设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为， 所以，的分布列为 一个生产周期内生产维护费的均值为万元. 19. 设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； （3）若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】（1） （2）或 （3） 设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【小问1详解】 ， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $