精品解析：山东省山东省枣庄市第八中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学试题 2025．04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果. 【详解】因为， 则. 故选: B 2. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及导数的运算法则，即可结合选项求解. 【详解】对于A，，A错误， 对于B, ,B正确， 对于C，，C错误， 对于D, ，D错误， 故选：B 4. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设不放回摸球，第一次摸到红球为事件A，情况数为.设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为，则所求概率为. 【详解】设不放回摸2个球，第一次摸到红球为事件A，情况数为， 设第二次摸红球为事件B，则第一次摸红球第二次也摸红球的情况数为， 则所求概率为. 故选：B 5. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 是区间上的增函数 B. 是区间上的减函数 C. 1是的极大值点 D. 4是的极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数图象与函数单调性的关系可得函数的单调性，即可得函数的极值点. 【详解】由图可知：当时，， 当时，， 故在、上单调递减，在、上单调递增， 故A错误，B错误，C错误，D正确. 故选：D. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求出展开式中含的项，即可得出其系数. 【详解】根据二项展开式可得含有的项为， 所以的系数为. 故选：D 7. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件 为 “至少两次结果为正面”，事件 为 “第三次结果为正面”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论. 【详解】由题意，，， 则. 故选：C 8. 函数结构是值得关注的对象 为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型 结合上述材料，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对，两边取对数，得，令，分析单调性，可求得最小值. 【详解】因为，两边取对数，可得，即， 令，则， 当时，， 为减函数， 当时，， 为增函数， ∴， ∴，，的最小值为， 故选：C. 【点睛】 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的性质及 原则、密度函数解析式一一分析选项即可. 【详解】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由 原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 10. 从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ） A. B. C. 时，为定值 D. 数列的最大项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】还原情境，求出和，逐项判断即可求解. 【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为， 若要行走次时恰好第一次回到点，则第1、2次均不到点A, 所以，故A选项正确； 若要行走次时恰好第二次回到点，则第2次必须回到点A，概率为，故B选项错误； 若要行走次时恰好为第一次回到点，则次均未到达点A，所以， 所以为定值，故C选项正确； 当时，； 当时，设第次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A， 由于第1次和第 次的行走不用限制，所以此时概率为， 所以， 令，解得， 所以， 所以和为最大值，故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解题意还原情境求出和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 【答案】16 【解析】 【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法， 其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种， 所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种. 故答案为：16 12. 若事件，互斥，，，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的性质，结合条件概率的计算公式可得，即可求解，即可由条件概率公式求解.. 【详解】由于事件，互斥， ,故， 故， ， 故答案为： 13. 已知函数，若任意实数 ，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将不等式同构变形，转化为，利用函数的不等式解抽象不等式，再利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】， ， 设，，函数单调递增， 即，则， 即， 设， ，， 当， ，单调递增，当， ，单调递减， 所以当 时，函数取得最大值， 所以，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对不等式进行同构变形，，从而转化为利用导数分析函数性质问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）0 （2） （3）有理项为，， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得，令，即可得各项系数之和； （2）根据组合数的性质当时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解； （3）结合展开式的通项公式运算求解，令，运算求解. 【小问1详解】 依题意，由组合数的性质得， 令，得展开式中各项系数之和为. 【小问2详解】 因为二项式的展开式的通项为， 因为， 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 由（2）可得：二项式的展开式的通项为， 令，得， 当时，； 当 时，； 当时，. 综上所述：二项式展开式中的有理项为，， 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的极大值与极小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）的极大值为10，极小值为； 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间； （2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果. 【小问1详解】 由可得其定义域为， 且； 当时，恒成立，此时的单调递增区间为； 当时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当 时，，若或，； 若，； 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为； 综上可得时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，，此时； 由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 所以可得函数在时取得极大值，即， 在时取得极小值，即； 所以函数的极大值为，极小值为. 16. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题? （3）现在 道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这 试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】（1）、 （2）小明应该使用软件来解决这道试题 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件．利用全概率公式求出、的值，比较大小后可得出结论； （3）分析可知选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答，由二项分布可知，，且，则，，结合二项分布的方差和期望公式求解即可. 【小问1详解】 记、软件能正确解答数学问题的概率分别为和， 由题中数据可得，. 【小问2详解】 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，，， ，， 由全概率公式可得， ， 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题. 【小问3详解】 因为，， 故选择几何试题用软件解答，函数试题用软件解答， 用、分别表示这道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，． 则，， 所以，， ，， 因为、相互独立，则， . 17. 已知函数 . （1）当 时， 恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证： ； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设两条切线在上的两个切点横坐标分别为， 有 ，即 ， 此时，切线为：， 相减得 ， 所以， 设， ，所以在上单调递减. 故当时， ，所以； 当时， ，所以，则 . （ii） 【解析】 【分析】（1）分离参数，设，利用导数研究单调性，求解函数的最值即可求解； （2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，利用导数的几何意义求出两切线方程，联立可得，构造函数，利用导数求解函数最值即可证明； （ii）结合导数的几何意义将问题转化为 有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，由得 ，从而 有两个不等实根，设 ，利用导数研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由于 ，则， 设，则， ，且 在上单减， 令 得，令 得， 所以在单调递增，单调递减， 所以，则. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意得：存在实数 ，使在 处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 则 ， 又因为 ，所以 ， 题目转化为 有两个不等实根，且互为倒数， 不妨设两根为， 则由得， 化简得， 所以 ， 所以 ，（也可写为）. 代入中得： 有两个不等实根， 即 ， 设， 由于 在上单调递减且 ， 所以在单调递增，单调递减， 而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大， 无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大， ， 所以 ，即. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： （1）、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2025．04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 是区间上的增函数 B. 是区间上的减函数 C. 1是的极大值点 D. 4是的极小值点 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 40 7. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件 为 “至少两次结果为正面”，事件 为 “第三次结果为正面”，则 （ ） A. B. C. D. 8. 函数结构是值得关注的对象 为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型 结合上述材料，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 10. 从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ） A. B. C. 时，为定值 D. 数列的最大项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种 12. 若事件，互斥，，，，则_____． 13. 已知函数，若任意实数 ，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的极大值与极小值. 16. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 （1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题? （3）现在道类似试题，其中几何、函数试题各 道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 17. 已知函数 . （1）当 时， 恒成立，求实数的取值范围； （2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证： ； （ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $