精品解析：　辽宁省锦州市太和区2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试卷

2024～2025学年度八年级（下）期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷总分100分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ） A. 2，3，4 B. 3，7，7 C. 2，2，6 D. 5，6，7 2. 下列图形中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，．可以判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 如图，将沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，将绕A点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设______． 12. 不等式的非负整数解是_______． 13. 若等边的边长为，那么的面积为______． 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 15. 如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共3个题，第16题每小题4分，第17题4分，共20分） 16. 解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 四、解答题（本大题5分） 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． （2）将绕点旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． 五、解答题（本大题共2个题，每题6分，共12分） 19. 如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 20. 如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求的度数． 六、解答题（本大题共3个题，每题6分，共18分） 21 春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； （2）请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 22. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图,在四边形ABCD中, , .连接AC、BD, .过点B作 ,分别交AC、AD于点E、F.点G为BD中点,连接CG.  (1)求证:  (2)根据题中所给条件,猜想:CE与CG的数量关系, 并请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度八年级（下）期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷总分100分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ） A. 2，3，4 B. 3，7，7 C. 2，2，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了构成等腰三角形的条件，解题关键是熟记等腰三角形的性质及三边关系． 【详解】解：A．2，3，4不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误； B．3，7，7符合构成等腰三角形的条件，符合题意，选项正确； C．2，2，6不符合构成三角形的条件，不符合题意，选项错误； D．5，6，7不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误， 故选：B 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 下列各式中，是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有C符合题意． 故选：C． 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的 性质逐项判断解题． 【详解】解：A. 不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A错误； B. 不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故B错误； C. 不等式的两边都加，不等号的方向不变，故C正确； D. 不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，故D错误； 故选：C． 5. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 6. 如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：移项，得， 合并，得， 系数化为1，得 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：D． 8. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练在掌握不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．根据不等式组无解，结合大大小小找不到（无解），即可判断与的大小关系． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴的取值范围是， 故选：B． 9. 如图，将沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可． 【详解】解：∵将沿直角边所在的直线向右平移得到， ∴，，， ∴，则， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法得到，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，已知中，，将绕A点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】绕点逆时针旋转得到 ． ． ， ． ，故①②正确； 在中， ． ． 与不垂直．故③不正确； 在中， ． ，故④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明：“已知：在中，，求证：．”则第一步应先假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键．根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解． 【详解】解：假设结论：不成立， 假设； 故答案：． 12. 不等式非负整数解是_______． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的非负整数解，首先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出非负整数即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式的非负整数解是，． 故答案为：， ． 13. 若等边的边长为，那么的面积为______． 【答案】． 【解析】 【分析】过顶点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出BC上的高，再利用三角形面积公式求解可得答案． 【详解】解：如图，过顶点A作AD⊥BC于D， 在等边中，AB=BC=2，BD=， ， △ABC=． 故答案为：． 【点睛】题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题． 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 15. 如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解． 【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 三、解答题（本大题共3个题，第16题每小题4分，第17题4分，共20分） 16. 解下列不等式（或不等式组），并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），数轴表示见解析 （2），数轴表示见解析 （3），数轴表示见解析 （4），数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键： （1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可，再将解集表示在数轴上； （3）先求出每个不等式解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； （4）先求出每个不等式解，再得出不等式组的解，最后将解集表示在数轴上； 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 不等式的两边同除以，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： 小问2详解】 解：， 不等式的两边同乘以6，得， 移项，得， 合并同类项，得． 把不等式的解集表示在数轴上如下： 【小问3详解】 解：， 由①得，，，解得， 由②得，，，， 解得， 所以不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来如下： 【小问4详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 17. 商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 【答案】小时 【解析】 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题，认真审题，找出题中的不等关系并正确列出不等式是解题的关键． 设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省，依据题意列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省， 依据题意可得： ， 解得：， 答：节能灯使用小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省． 四、解答题（本大题5分） 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． （2）将绕点旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）把的三个顶点分别向右平移6个单位长度，得到，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）把三个顶点分别绕点旋转，得到，顺次连接得到，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．点的坐标为． 【小问2详解】 如图，即为所求．点的坐标为． 【点睛】此题考查了坐标和图形、平移和旋转的作图，熟练掌握平移和旋转的作图是解题的关键． 五、解答题（本大题共2个题，每题6分，共12分） 19. 如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据推出，即可根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 20. 如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质． （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明． 【小问1详解】 证明：是角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共3个题，每题6分，共18分） 21. 春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． （1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； （2）请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】（1），；， （2）当，甲合算 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； ，． 【小问2详解】 解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 22. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 23. 如图,在四边形ABCD中, , .连接AC、BD, .过点B作 ,分别交AC、AD于点E、F.点G为BD中点,连接CG.  (1)求证:  (2)根据题中所给条件,猜想:CE与CG的数量关系, 并请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据AB⊥AD，BE⊥AC，可推导得出∠ABE=∠DAC，再根据∠DCA=∠AEB=90°，AB=AD，即可得△ABE≌△DAC； (2)结论:CE=CG，连接AG、EG，证明△CAG≌△EBG，从而得到CG=EG，∠ACG=∠BEG， 继而可得∠ACG=∠CEG=∠GEB，再根据BE⊥AC，从而得∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，得到∠CGE=90°，得到CE=CG. 试题解析：（1）∵AB⊥AD，∴∠BAE+∠DAC=90°，  又∵BE⊥AC，∴∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DAC， ∵AC⊥DC，∴∠DCA=∠AEB=90°， 又∵AB=AD，∴△ABE≌△DAC； (2)结论:CE=CG，理由如下： 连接AG、EG， 由（1）知BE=AC，∠DAC=∠ABE， ∵∠BAD=90°，AB=AD，G为BD的中点，∴AG=BG，∠DAG=∠BAG=∠ABD=45°， ∵∠DAC=∠ABE，∴∠CAG=∠EBG， 又∵BE=AC，AG=BG，∴△CAG≌△EBG， ∴CG=EG，∠ACG=∠BEG， ∴∠ACG=∠CEG，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB，  又∵BE⊥AC，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°， ∴∠CGE=90°，∴CE=CG. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质，准确添加辅助线是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$