精品解析：宁夏吴忠市吴忠中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

吴忠中学2024-2025学年第二学期期中考试 高 一 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：杜苏 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的公式即可得到答案. 【详解】根据题意，， 所以， 故选：C. 2. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. AB与CD相交 D. EF与CD异面 【答案】D 【解析】 【分析】首先还原正方体，再根据选项判断线线的位置关系. 【详解】由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 故选：D 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 4. 在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先由平面向量的线性运算分解向量，进而结合平面向量基本定理得到和的取值，计算得到结果. 【详解】如图，由题意可得 ， 因为， 所以由平面向量基本定理可得：， 所以. 故选：B. 5. 已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积. 【详解】如图，正三棱锥中，为正三棱锥的高， 则，取的中点，连接，， 则在上，且， 又，，所以， 所以，则， 所以， 故三棱锥的表面积为. 故选：B 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的外接圆直径为（ ） A. B. 60 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式求出，再利用余弦定理求出b，利用正弦定理即可求出外接圆直径. 【详解】在中， ， 所以,解得：. 由余弦定理得：, 解得：b=5. 设的外接圆半径为R,由正弦定理得：, 所以，直径为. 故选：C 7. 宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设数据结合圆台和圆柱的体积公式依次计算求解花口盏和盏托的体积即可得解. 【详解】花口盏体积：， 盏托体积：， 所以组合体的体积. 故选：D． 8. 已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，设，，，，则，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题知，以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，，且，，则， 则，，， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故的最大值为. 故选：B 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题为真命题的是（   ） A. 复数的虚部为; B. 若为虚数单位，则; C. 在复数集中，方程有两个解，依次为; D. 已知是虚数单位，若，则实数; 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数方程的根可判断C；根据复数的乘法和复数相等的条件求出的值可判断D. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，若为虚数单位，则，故B正确； 对于C，， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为， 故C正确； 对于D，已知是虚数单位，若，则， 有，解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标运算，即可求出，从而判断出选项A正确；对于选项B，三点共线转化成共线，再利用向量共线的坐标运算可求出，从而判断出选项的正误；对于选项C，利用投影向量的定义，直接求出在方向上的投影向量，从而求出模长，判断出结果的正误；对于选项D，利用数量积的定义和条件，得到，求出，再去掉共线反向时的取值，得出的范围，从而判断出选项的正误. 【详解】选项A，因为，，所以，又向量与垂直，所以，得到，所以选项A正确； 选项B，因为，，所以，又因为三点共线，所以，得到，所以选项B错误； 选项C，因为在方向上的投影向量为，模长为，所以选项C正确； 选项D，因为，，由，得到，即， 又由，得到，此时，与共线反向， 故，与的夹角为，所以与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是， 选项D错误. 故选：AC. 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦函数的性质即可求解判断A；利用余弦定理推理判断B；利用向量线性运算判断C；利用三角形心的向量表示判断D. 【详解】对于A,由，,可得或者，故或者,故为等腰三角形或者直角三角形，故A错误， 对于B，由可得,,故为锐角，但无法确定，所以无法确定三角形为锐角三角形，故B错误， 对于C , 由，得，即， 则，的面积是面积的，C错误； 对于D，由，得是的重心，由， 得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，D正确； 故选：ABC 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及模长的坐标运算、单位向量的性质求得，进而求向量的夹角. 【详解】由题设， 而，则， 所以，则， 又. 故答案为： 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】在中，由，得，又， 则由正弦定理，可得，又， 所以，所以为锐角，所以. 故答案为： 14. 已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作平面，得到球心在上，过球心作，则球的半径为，求得，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】取三角形的中心，连接，过点作平面， 因为为边长为的等边三角形，所以球心在上,不妨设为三棱锥外接球球心， 过球心作，交于点，则球的半径为， 因为在三棱锥中，底面，且是边长为的等边三角形，, 所以， 因为，所以，所以， 所以球的半径， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若向量，的夹角为，求和的值； 【答案】（1）或. （2）-75， 【解析】 【分析】（1）利用共线向量定理，结合坐标计算模，列式求解. （2）利用数量积的定义、数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由，，设， 因此，解得， 所以向量的坐标为或. 【小问2详解】 依题意：，， 由向量，的夹角为，得， 所以， . 16. 已知，，. （1）若求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值域. 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标公式及三角恒等变换，即可求解； （2）根据向量的数量积的运算及三角恒等变换，先化简的解析式，再根据三角函数的性质即可求解； （3）根据三角函数的性质，化归转化，即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 所以 【小问2详解】 因为，， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 从而， 令， 解得， 即的单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，， 因为在时单调递增，在时单调递减， 又当时，，当时，，当时，， 所以， 所以， 即的值域为. 17. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． （1）若，求b； （2）若的周长为，求的面积S． 【答案】（1）选①或②，都有 （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，由正弦定理，结合两角和差的余弦公式可得角, 再由正弦定理可得b的值；若选②，由余弦定理可得角，再由正弦定理可得b的值. （2）由题意可得的值，利用余弦定理可求出的值，从而可求三角形的面积. 【小问1详解】 若选① ，则， 所以，即， 由，，得，， 可得，所以． 若选② ，则， 所以，由，得， 故中，由正弦定理，可得． 【小问2详解】 中，， 所以， 即， 因为周长为，所以， 代入得， 所以面积． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰洪淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设. （1）将用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】（1）. （2）时，的值最大. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求解； （2）由余弦定理及三角恒等变换化简为：，再利用三角函数的图象与性质求最值． 【小问1详解】 在中， 由正弦定理可知，则， 由正弦定理可得， 则． 【小问2详解】 ， 在中，由余弦定理可知 当时，即时，取最大值， 即当时，取最大值. 【点睛】关键点点睛：第二问中，在中，由余弦定理可知由三角恒等变换求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学2024-2025学年第二学期期中考试 高 一 数 学 试 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：杜苏 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（ ） A. AB与HG相交 B. AB与EF平行 C. AB与CD相交 D. EF与CD异面 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的外接圆直径为（ ） A. B. 60 C. D. 7. 宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题为真命题的是（   ） A. 复数的虚部为; B. 若为虚数单位，则; C. 在复数集中，方程有两个解，依次为; D. 已知是虚数单位，若，则实数; 10. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量与的夹角为______. 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，则______. 14. 已知三棱锥，底面，且是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球表面积是___________． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知向量，满足，． （1）若，求向量的坐标； （2）若向量，的夹角为，求和的值； 16. 已知，，. （1）若求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值域. 17. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②．两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． （1）若，求b； （2）若的周长为，求的面积S． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰洪淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设. （1）将用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $