江西省上饶市2024-2025学年高二下学期弋横铅联考数学试卷

高二数学联考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 设等差数列前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 2. 已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 数列中，，且对任意都有，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 没有最大值 10. 朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）（参考公式：） A. 是等差数列 B. C. 函数单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15180 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线 D. 的面积大于 三、填空题 12. 在等比数列中，，，则_________． 13. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________. 14. 若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则__________，设，数列的前项和为，则__________. 四、解答题：本大题共5道大题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 17. 2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． （2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若有极值，求实数的取值范围； （3）设，若，求的最大值. 19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 高二数学联考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本大题共5道大题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2） 【16题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【17题答案】 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） 2 3 0.52 0.48 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）2 【19题答案】 【答案】（1），； （2），证明如下： 记， 因为，所以在上单调递增， 又，所以时有， 所以. （3）证明如下： 由（2）知，，即， 所以， 即. 令，则， 所以在上单调递减，所以，故， 所以， 则，即. 综上，时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二联考试卷答案参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 e 9 10 答案 C D D A B B B A ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1.C由题意可知S 9(4+a4）=94,=72, 则a=8, 2 则42+44+，=4+4+4g=3红=24.故选：C. 2.D g(x)=e'f (x),g'(x)=e'f (x)+e'f"(x)=e*(f+f)), 因为f'(x)+f(x)>0,而e>0恒成立，所以g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增， 又0<1=ne<n3,所以g(0)<8(1)<g(n3), 因为a=f(0)=e'f(0)=g(0),b=3f(ln3)=e3f(n3)=gln3),c=ef1)=g1), 所以a<c<b,即b>c>a.故选：D. 3.D由任意mneN都有aw=aa,所以令m=1,则aa=4a,且a-分，所以a}是 一个等比数列，且公比为子，则+。 1+1++-1=2*+21++259=2540-2=25-2 44+1 ”ak+9 所以k=5,故选：D. 4.A对任意5都有f)-之4恒成立，不妨设5>5， ￥-龙 则不等式变形为f(x)-4x≥f(x2)-4x2, 设函数8(x)=f(x)-4，该函数在定义域的任意子区间内不是常函数， 则8(，)>8(x3),8(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g'(x)=x+-4≥0在(0，+)上恒成立， :x+1≥4，当x>0时恒成立， a411 ≥京-(2列+4，当x>0时恒成立， a≥4，故选：A 5.Bf(x)=h(e+e)的定义域为R, 且f(-x)=hn(e+e)=f(), 所以f为偶函数，fm=c-e etex 当x>0时，e>e,所以f"(x)>0,f(x)单调递增； 当x<0时，e<ex,所以f'(x)<0,f(x)单调递减： f(3x-1)-f(x+1)≤0，即f(3x-1)≤f(x+1), 所以3x-1≤x+1,即(3x-1)2≤(x+1)2,解得0≤x≤1， 所以不等式f(3x-1)-f(x+1)≤0的解集为[0,1]故选：B. 6.B令fw=l血x-x+1,所以f()=1-1=1-x 当x∈(0,1)时，f"(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈1，+o)时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)≤fI)=0,所以f(x)≤0， 当且仅当x=1时取等号，则当x-号时，了母 10 =h0_0+1<0, 99 即h号行所以asb: 因为nx-x+1≤0，故e-1≥x,当且仅当x=1时等号成立， 锁e是：分故b<6 8 综上可知a<b<c,故选：B. 7.B解：令x=1,则aea>0,.a>0. 不等式aex-lnx>0恒成立-axer>xlnx ①当x∈(0，l)时，lnx<0,Axeax>xlnx恒成立； ②当xe(L,+o)时，令g(x)=xlnx(x≥1)， g'(x)=1+hx>0,g(x)在1，+w)单调递增， 即eax meax>xnx等价于g(e)>g(x), 一er>x在[1，+o)恒成立. 即x>nx,a>血在[L,+o)恒成立. 令=hx(≥），则n)=1-nx=0,可得x=e, ∴.h(x)在(1，e)递增，在(e,+m)递减， .mh(e)=1,az 1 e e a的取值范围为[侵故适：B。 8.A设切点为M(,为)，y=xe-a,y=(x+1)e, .点M处的切线斜率k=(+l)eo, 则过点P的切线方程为y=(,+l)eo(x-,)+e-a, 又切线过点(1,0)，所以0=(6+1)e(1-)+e0-a,化简得a=（-x++1)eo, :过点(1,0)可以作三条直线与曲线C:y=xe-a相切， ∴.方程a=（-x+,+1)eo有三个不等实根. 令f(x)=(-x2+x+1)e,求导得到f(x)=（-x2-x+2)e*=(-x-2)(x-1)e*, 令f'(x)=0,解得=-2,2=1， 则当x∈(-o,-2)时，f'(x)<0,f(x)在(-m,-2)上单调递减，且x→-m时，f(x)<0, 当xe(-2,1)时，f()>0,f在(-2，)上单调递增，且f(-2)=3,f0=c, 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,f(x)在(1，+o)上单调递减，且x→+m时，f(x)<0, 如图所示， -2 1 x)=e'(-x2+x+1) 故f(-2)<a<0,即<a<0.故选：A 9.ABD因为-1<0，所以} 8他g} 或 或 43026-1 Pa026>1a2026<1 若 a2025<1 06>1”又a>≥0,4aa>L，又a<L,凸saa6>1,所以0<4a<1<45符合 Cl2025 题意， 若 a25>1 1a06<1又4≥0，则4o≤工，又4，则aas<1,与a4as1不盾，不 2025 符合题意， 所以S没有最大值，所以A、D正确， 因为前2025项均小于1，从2026项起均大于1，所以T,无最大值，故C错误； 又由o252027=a26>1,所以B正确.故选：ABD. 10.ACD依题意，每层的果子数分别为1x0+D,2×(2+D3x3+D4x(4+D5x5+) 2’2’2 2 ”2 则数列{a,}的通项a,=n+少 2 对于A,1≥2时，4-a1=0+._,D=n,a-40u≥2neN为等差数列，A 2 2 正确； 对于B,4,=7+)=28,B错误： 2 对于C,&=10++22+D+33+D+++0 2 2 2 2 2+3+中i士t23t+w号0+2*大 2 名m+1a+2,则-n+2, 6 亿3，f(2)=2+2单调递增，C正确 3 1 对于D,=石×44x45×46=15180,D正确.故选：ACD 11.ACD A项，由题意，由y=e-e+l→e=y+e-1.x=ln(y+e-l), y=e-e+1的反函数为y=h(x+e-1),两者关于y=x对称，故A正确， B项， Sy-c-c+l-e-x-e-1, y=x 令h(x)=e*-x-e+l,h'(x)=e-1, 当x>0时，H(x)>0；当x<0时，(x)<0; h(x)在(-w,0)上单调递减；(0，+o)上单调递增， 注意到h(-2)>0,h(-1)=1+2-e<0,1)=0, e .h(x)在(-2，-1)内有一个零点（-2<<-1)， 另一个零点为1，.A(1,1),B(,%), ·AB=√2(1-x)>2V2,故B错误 c项，设4.66)的中点为c() 设y=e-e+1上存在一点D(,片)， 则关于点C的对称点为E(-:+1,乃-乃+1) ,函数y=e-e+l与y=lh(x+e-1)互为反函数， .E(-x+1,%-片+1)在y=n(x+e-1)上， .D,E关于中点C对称， 即在封闭图形中，总存在与任意一点P关于中点C对称的点P'，, 使得直线PP平分封闭图形， 对T内任意一点P,均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线，C正确； 对于D,如图，只需考察曲线y=e-e+l上P到y=x距离的最大值即可， 找出过P与曲线相切且与AB平行的点即可， 令f(x)=e-e+1,令f'(x)=e=1→x=0,此时(0,2-e), 6到y=x的距离d=e-2 s>28=24a=2e-2k-=e-20-x)小2e-28e-2(2<%<- ,故D正确.故选：ACD. 12.2√3 在等比数列{a}中，44+2a,4,+a,4=aG+2a,4+G=12,则(a+a)}-12, 设(a2+a)2=12, 设等比数列{a,}的公比为q(q≠0)，则a。=qa4=qa, 所以4，a4,4同号，又a4=1, 所以a+4=2W3.故答案为：23 .f (x)=ax +cosx,f'(x)=2ax-sinx, g(x)=f'(x)=2ax-sinx, .g'()=2a-cos*=2 a-2 cos* ①当a≥时，g()≥0恒成立，即f(✉)在R上单调递增。 所以当x>0时，则f'(x)>f'(0)=0,当x<0时，则f'(x)<'(0)=0, 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，O)上单调递减， 故f(x)在x=0处取得极小值，符合题意： ②当a≤时，8()≤0恒成立，即/()在R上单调递减， 当x>0时，则f'(x)<'(0)=0,若x<0时，则f'(x)>f'(0)=0, 故函数f(x)在(0，+o)上单调递减，在(-0，O)上单调递增， 故f(x)在x=0处取得极大值，不符合题意： 回当-子a方时，长e0列使得cos飞=a,即g(6)=0, 1 但当x∈(0，)时，cosx>a即g'(x)<0,f'(x)在(0，)上单调递减， 故f'(x)<f'(O)=0,即f(x)在(0，x)单调递减，不符合题意. 综上所述：α的取值范围是 14. 3 -2530 ①由题干可知4=4=1，又因为数列{a}是“1阶对等递进数列”， 所以4+1=4H,即4=4，同理可得43=4=3,4=4,4=4=1，， 所以数列{a,}是以4为周期的周期数列，即4+4=4，所以凸3=4=3； ②因为a4+4+40=44+4+凸=2，所以4+4=-1， 又b4=(-1)+a4=(-1)a=b,所以数列么，}也是以4为周期的周期数列， 所以S24=506x(6+b+b+b4)=506×(-4+4-4+a4)=506×(-1-3-1)=-2530 故答案为：3；-2530. 15.(1)因为√S是1-Sn与Sn的等差中项，所以2WS+=1-Sn+SH, 所以S=1+S-2=(VS-1, 因为数列{a}的各项均为正数，所以Sn>0, 所以√Sn=√Sm-1,所以√S-√S=1, 所以数列{√S}是公差为1，首项为√S=√瓦=1的等差数列： (2)因为数列{√Sn}是公差为1，首项为√S=1的等差数列， 所以VSn=1+(n-1)x1=n, 所以Sn=m,当n=1时，4=1， 当n22时，an=Sn-Sn-1=-(n-1)2=21-1, 所以a.=2n-1, 所以b=(-1)”(Sn+a), Tm=-S-4+S2+4-S3-43+S4+4+…+Sm+4m =(S2-S)+(S4-S3)++(S2m-S21)-(a-4+-am) =42+4++2n-(4-43+-42m) =-(q+43++am-1）)+2(4+a4++4m) =-na++2xna+aa】 2 2 =-n1+4n-3) n(3+4n-) +2x 2 =-n(2n-1)+n(4n+2)=2m2+3n 16.1)由题意可知：f)的定义域为(0，+∞)，且f()=2am+(a-2-1_2x+(- 当a≤0时，f'(x)<0,可知f(x)在(0，+w)上单调递减： 当a>0时，由f)>0得>1：由f')<0得0<r< 可知)(Q日)上单调莲减，在合+m上单调递： 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递减： 当a>0时，f(x)在 (2)解法一：（分离参数法）由已知得ax+(a-2)x-lhr≥0在(0，+o)上恒成立， 等价于a≥2+在0，+网上恒成立， x2+x 构建g(x)= 2x+ln x+x ,x>0, 则g()= /2+(x+)-(2x+h(2x+9 (2.x+1)(1-x-lnx (x+ （x2+ 构建h(x)=1-x-nx,x>0,可知h(x)在(0，+o)上单调递减，且hI)=0, 当0<x<1时，h(x)>0,即g(x)>0; 当x>1时，h(x)<0,即g'(x)<0; 可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+n)上单调递减，则g(x)ax=g0)=1, 可得a≥1，即实数a的取值范围为[1，+n): 解法二：（分类讨论法）由题意可知：f)≥0在(0，+0)上恒成立， 由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减： 且f(1)=2a-2<0,不合题意： 当a>0时，可知f(y)a=f月》=1-1hm≥0， 1 a 构建m(a=1-+na,a>0,可知m(a)在(0，+o）上单调递增，且m)=0, d 若fx)≥0，则m(a)20,可得a≥1， 故实数a的取值范围为[1，+o) 17.(1)(1)根据两次交手记录，郑软文共胜2局，负3局，因此P的估计值为？0,4. 5 (ⅱ)由题知，X可取值为2、3， P(X=2)=0.42+0.6=0.52,P(X=3)=1-P(X=2)=0.48, 所以X的分布列为 X 2 0.52 0.48 (2)三局两胜制郑钦文最终获胜概率？=p+Cp(1-p)=-2p3+3p2=p(3-2p), 五局三胜制中郑饮文最终获胜的概率 乃=p+Cp3(1-p)+C4p(1-p)=p(6p2-15p+10 所以p3(6p2-15p+10)>p2(3-2p),化简得3p2(2p-1)1-p}>0, 因为p>0,1-p>0,所以2p-1>0,即p>0.5,所以0.5<p<1, 所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率卫的取值范围是(0.5,1). 18.(1)当a=-1时，因为f(x)=x2-x+lnx,x>0, f"(y)=2x-1+1-2x2-x+1 所 248>0 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又∫()=0， 所以当x∈(0,1)时，f(x)<f(I)=0:当x∈(L,+∞)时，f(x)>f(1)=0, 故f(x)<0的解集为(0,1) (2)因为f(x)=x2-x-anx有极值， 所以∫)=2x-1-0-2-X-4在(0，+四)上有变号零点， 即2x2-x-a=0在(0，+o)上有变号零点， 因为y=2x2-x-a的对称轴为x=>0,所以只需△=1+8>0， 所以a一专 (3)由f(x)>(a-3)x,得x2+(2-a)x-ar>0, 设g(x)=x2+(2-a)x-anx,a∈N,x>0, 则g'()=2x+(2-m）-.2x+(2-ar-a_x+12x-@) 令g()=0,得x=-1(舍去)，或x= 2’ 当=号时，8四0（创单调递说。当=台-…时g(0(单调港瑞， =a-+1-mg） 2 4 2 因为g(x)>0,所以g()mn= (1 >0,即- +1-lng>0, a 4 4 令=-1-h230, 2 因为y=-+1与y=-n。在(0，+)上都单调递减， 所以()-年+1-n在(Q+)上单调透减， 又2)-0ap)} 3_1- ,81 24 “16 k0, 所以h(x)在(0，+∞)存在唯一的零点∈(2,3)， 当x∈(0，)时，h(x)>h()=0, 所以由-异+1-h号0可得0<a<5, 2 又a∈N,∈(2,3)，所以a的最大值为2. 19因为6=产0 2 所以∫'(0)=1，f"(0)=-1,∫"(0)=2 所以f(x)=ln(1+x)的泰勒公式为：n(1+x)=x- x2,x2 231 231 所以h1.1=01-001+001≈0.095 2 3 2>0, (2)记g(x)=ln(1+x)-x+ 因为g到1+二0，所以心在0切上单消递游， x+11 又g(0)=0,所以x>0时有g(四)=n0+x)x+>80)上0了 所以n(1+x)>x- 2 1 (3)由(2)知， 片号安+w士文eN 所以a2-h+(a3-h2+4(4a+-b经安)月 a-小容改 令h()=hI+-xx>0,则r()=1-1=-x<0, x+1 x+1 所以h(x)在(0，+o)上单调递减，所以h(x)<h(0)=0,故lh(1+x)<x, 所以+)-h(+h←经 则a2-h-3-h2#+aan水若即ha-2法 Y时资网法