精品解析：山东省临沂市兰山区2024-2025学年高二下学期4月期中数学多校联考试题

2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 2. 若，则（ ） A. 5 B. 12 C. 24 D. 36 3. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻不同排法有（ ） A 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种 5. 已知随机变量服从二项分布.若，，则（ ） A. 72 B. 36 C. 24 D. 18 6. 已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 7. 已知函数的极大值为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中无理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 在上单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 在处取得极大值 10. 已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取5人，记在区间的人数为X，则正确的是（ ） A B. C. D. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的对称中心 B 过可以作两条直线与图象相切 C. 在区间（）上有最大值，则m的取值范围是 D. 在上单调递减，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的二项展开式中的系数为，则__________. 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，该生近视的概率大约是__________. 14. 已知函数，，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求甲在比赛中获胜的概率； （2）求比赛需打两局的概率； （3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率. 16. 已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. （1）求； （2）求展开式中系数最大的项. 17. 有一种摸奖游戏，在一个口袋中有红球4个，黑球2个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到黑球记分.抽奖人从中一次摸1个球，摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若，则获奖. （1）若每次取出后不放回，求获奖概率； （2）若每次取出后放回，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求的极值； （3）若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 所以，解得. 故选：A. 2. 若，则（ ） A 5 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先利用组合数性质得出，再利用排列数公式计算. 【详解】因，则或，解得或， 因，则， 则. 故选：C 3. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 a 0.3 若随机变量，则等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求解，即可根据求解. 【详解】由表可得， 故， 故选：A 4. 有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻不同排法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】根据不相邻问题，利用插空法即可求解. 【详解】先排女生，共有中方法，接下来把2名男生插入到两两女生之间的位置连同头尾的4个空隙中，共有， 故总的排法有种， 故选：B 5. 已知随机变量服从二项分布.若，，则（ ） A. 72 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求. 【详解】由于，故， 则，故， 故选：D 6. 已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 7. 已知函数的极大值为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，求，验证即可. 【详解】∵， ∴ 令，得或 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 8. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中无理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式中第项为常数项，求出的值，根据二项展开式确定展开式中有理项和无理项的项数，再利用超几何分布得出在不同取值下的概率，进而可求得的值. 【详解】在的二项展开式中，第项为常数项， 即为常数项， 由题意可得，解得， 所以，展开式通项为， 由可得，即展开式中有理项的项数为，无理项的项数为， 所以，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 因此，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 在上单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 在处取得极大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 10. 已知某地区进行体育达标测试，统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取5人，记在区间的人数为X，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质计算判断AB；利用二项分布的期望以及期望的性质计算判断C；利用对立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，,故B正确， 对于C,由，，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是的对称中心 B. 过可以作两条直线与图象相切 C. 在区间（）上有最大值，则m的取值范围是 D. 在上单调递减，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解“拐点”即可求解A，根据点斜式求解切线方程，代入求解或，即可判断A，根据函数的单调性即可求解CD. 【详解】对于A, ，令，，故是的对称中心，故A正确， 对于B，设切点为，则切线方程为， 将代入可得，解得或，故过可以作两条直线与图象相切，B正确， 对于C, 令，则或，故在上单调递增，在单调递减，在单调递增，，要使在区间（）上有最大值，故，故C错误， 对于D, 在上恒成立，故，解得，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的二项展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的展开式通项为，求得的二项展开式中的系数，列式求出参数的值即可得解. 【详解】， ∵的展开式通项为， 令得；令得； ∴中的系数为. 所以，即，解得. 故答案为： 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，该生近视的概率大约是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，构造函数，求导即可求解. 【详解】由可得， 由可得，故， 因此， 记，则， 当在单调递增， 在单调递减， 故当时，取最小值， 因此的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. （1）求甲在比赛中获胜的概率； （2）求比赛需打两局的概率； （3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知这两局甲全赢或乙全赢，结合独立事件的概率公式额可求得所求事件的概率； （3）记事件甲在第一局中获胜，事件甲赢得比赛，求出值，利用条件概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若甲在比赛中获胜，则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局， 故甲在比赛中获胜概率为. 【小问2详解】 比赛需打两局，则这两局甲全赢或乙全赢，故比赛需打两局的概率为. 【小问3详解】 记事件甲在第一局中获胜，事件甲赢得比赛， 则，故. 16. 已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. （1）求； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和的公式求得，再利用赋值法求得要求式子的值. （2）求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【小问1详解】 由题意可知，故， 令，则， 令，则， 令，则， 两式相加可得 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 17. 有一种摸奖游戏，在一个口袋中有红球4个，黑球2个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到黑球记分.抽奖人从中一次摸1个球，摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若，则获奖. （1）若每次取出后不放回，求获奖的概率； （2）若每次取出后放回，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 小问1详解】 若，则顾客在3次摸球中，至少要摸到2个红球， 故 【小问2详解】 每次取出后放回，则每一次摸球中，摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为， 可取， 的分布列为 3 1 -1 -3 数学期望 18. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求的极值； （3）若函数恰有3个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据求解， （2）根据单调性即可求解极值， （3）根据函数的单调性，以及极值即可求解. 【小问1详解】 ， 由于在处取极值，故，解得， 当时，， 当和时，当，， 故满足在处取极值，因此 【小问2详解】 由（1）知：在单调递减，在和单调递增， 故 【小问3详解】 由于当时，,，时，， 时，，当时，， 结合（1）（2）可知：有3个实数根时， 故， 因此恰有3个零点时，则. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； 【小问3详解】 若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$