湖南省衡阳市大部分学校2024-2025学年九年级下学期5月联考数学试题

2025年春季 湖南省初中学业水平考试 成龙大联考（三）》 数 学 2025年5月 数 考生注意：1.本斌卷共三大题，满分120分，考试时量120分钟。 2.请将答案全部填入答题卡相应位置，直接在本试卷上作答无效。 姓 名 如 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只 载 有一项是符合题目要求的， 即 1.-2026的倒数是 制 A.-2026 B.2026 D. 1 班 级 长 c26 2026 2. 2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减 尔 少208万人，140967万用科学记数法可表示为 A.0.140967×1010B.1.40967×10°C.1.40967×105D.1.40967×10 座位号 3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是 毂 A.2 cm,3 cm,5 cm B.3 cm,3 cm,6 cm 如 0 C.5 cm,8 cm,2 cm D.2 cm,5 cm,6 cm 长 4. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是 学 校 将 摞 A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.球 5. 平面直角坐标系中，点A(a+3,2a-4)在第四象限，则a的取值范围在数轴上表 示为 成龙大联考（三）数学第1页（共6页） CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描A 6.已知正比例函数1的图象和反比例函数2的图象相交于点A(2,-4)和点B.下 列说法正确的是 A反比例函数的解析式为为=8 B.y2随x值的增大而增大 C.点B的坐标是（-2,4) D.在x轴上不存在点C,使△BOC∽△BCA 7.为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生 时间/小时 7 8 9 10 一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这 人数 0 3 些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是 A.9,8 B.11,8 C.10,9 D.11,8.5 8.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球 的单价多20元.体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得 的篮球数量是足球数量的1.5倍.设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方 程正确的是 A. 00_400+20 B.400-900 +20 x1.5x x1.5x c9-9+20 D.0 +20 9.如图，在△ABC中，LACB=90,分别以点A和点C为圆心，大于2AC的长为半 径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线PQ交AB、AC于点D、E,连接CD.下列 说法错误的是 A.直线PQ是AC的垂直平分线 B.CD=7AB C.DE-IBC D.SADE:S四边形BcE=1:4 10.如图，已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0)，对称轴为直 线x=1,则下列结论正确的有 ①2a+b=0; ②函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a; ③若关于x的方程am+bx+c=a-1无实数根，则0<a< 5: ④代数式(a-b)(b-c)(c-a)<0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 成龙大联考（三） 数学第2页（共6页)》 CS扫描全能王 亿人■在用的扫描Apn 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知关于x的方程2x+m-8=0的解是x=5,则m的值为 12. 代数式】一有意义时，￥应满足的条件是一 3-x 13.如图所示，已知直线a∥6，∠1=110°，∠2=62°，则∠3的度数为 14.如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长a=10mm,要拧开此螺帽，扳手张开 的开口b长度为 mm 15. 如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD=6cm,LBAC=60°，则这个 圆锥的侧面积为 cm2(结果保留π). 第13题图 第14题图 第15题图 16.如图，直线l1:y=x+1和直线：y=mx+5相交于P(2,a),则关于x的不等式 mx+5≥x+1的解集为 17.如图，矩形ABCD中，O为AC的中点.对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、 AD于点E、F,若BE=3,AF=5,则△EOC的面积是 18. 如图，点A、B的坐标分别为A(2,0)、B(0,2),点C为坐标平面内一点， BC=1,点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为 第16题图 第17题图 第18题图 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(6分)先化简，再求值：4(x-1)2-(2x+3)(2x-3),其中x=2 成龙大联考（三） 数学第3页（共6页） CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 20.(6分)如图，AC是口ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC. (1)求证：口ABCD是菱形； (2)若AB=2,AC=25,求口ABCD的面积 21.(8分)张家界大峡谷玻璃桥是一闻名的旅游景点.某校初三年级在一次研学活动 中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度，如图，在桥面正下方的谷底选一观 测点A,观测到桥面B、C的仰角分别为30°、60°，测得BC长为165米，求观测 点A到桥面BC的距离.（结果保留整数，参考数据：√3≈1.73） 22.(8分)为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买 一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品 牌足球和1个B品牌足球共需180元. (1)求A、B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A、B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品 牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个， 求少与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求 出最低总费用 成龙大联考（三）数学第4页（共6贞） CS扫描全能王 1亿人■在用的日描A 23.(9分)中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座， 就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息 进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图， 扇形统计图 条形统计图 ↑人数划人 非常 404 40 了解 不了 了解 很少 30 解 20 基本 10 了解50% 0 非常基本了解不了了解程度 了解了解很少解 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ,扇 形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 (2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理 健康知识“不了解”的总人数为 人； (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中 随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好 抽到2名女生的概率 24.(9分)如图，⊙0为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC,延长AO交BC于点D, 过点C作AB的垂线，交AD于点E,交AB于点F,交⊙O于点G,交过点A且与 BC平行的直线于点H,连结AG. (1)判断AH与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若LBAC=56°，求∠H和∠BAG的大小； (3)若GF=1,tan∠ABC=2,求OD的长. 成龙大联考（三） 数学第5页（共6页） CS扫描全能王 1亿人在用的扫描Ap 25.(10分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转 一个角度a得到△DEC,点A、B的对应点分别为D、E (1)若点E恰好落在边AC上，如图1，连接AD,求∠ADE的大小； (2)若a=60°，F为AC的中点，如图2，连接BF、DF、BE,求证：四边形 BEDF是平行四边形； (3)若a=90°，如图3.连接AD、BE,且BE与AC、AD分别交于点G、H,求 证：HD2=HG·HB. 游 ... 图3 好 斌 图 游 26.(10分)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0)、点B(5,0),交y轴于点C 可 (1)求b,c的值； 締 (2)点P(0,y)(0<<5)是抛物线上的动点， 字 ①当取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E,再过点P作PF∥x轴，交抛物线于 烟 点F,连接EF,问：是否存在点P,使△PEF为等腰直角三角形？若存在， 啦 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 裤 的 成龙大联考（三）数学第6页（共6页）》 CS扫描全能王 31亿人■在用的日描A日书 成龙大联考 （三）数学答案　第１　页 （共６页） ２０２５年春季湖南省初中学业水平考试成龙大联考 （三） 数 学 答 案 一、选择题：本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｄ 二、填空题：本题共８小题，每小题３分，共２４分． １１．－２　　１２．ｘ＜３　　１３．４８°　　１４． 槡１０３　　１５．２４π　　１６．ｘ≤２　　１７．５ １８．槡２＋ １ ２ 三、解答题：本题共８小题，共６６分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １９．解：化简得－８ｘ＋１３，当ｘ＝２－１＝１２时，原式＝９． ２０．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ．∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ． 又∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＢ＝ＢＣ． ∴ＡＢＣＤ为菱形． （２）解：连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ． ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ＝ １ ２ＢＤ． ∵ＡＢ＝２，ＡＣ 槡＝２３， ∴ＡＯ 槡＝３． 在Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定理得ＢＯ＝１， ∴ＢＤ＝２．∴ＳＡＢＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ 槡＝２３． ２１．解：过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于点Ｄ，如图， 根据题意得∠Ｂ＝∠ＢＡＭ＝３０°，∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＭ＝６０°， ∵∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＭ－∠ＢＡＭ＝６０°－３０°＝３０°， ∴∠Ｂ＝∠ＢＡＣ，∴ＣＡ＝ＣＢ＝１６５米， 成龙大联考 （三）数学答案　第２　页 （共６页） 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠ＤＣＡ＝６０°， ∴ｓｉｎ∠ＡＣＤ＝ＡＤＡＣ，即ｓｉｎ６０°＝ ＡＤ １６５， ∴ＡＤ＝１６５×槡３２≈１４３（米）． 答：观测点Ａ到桥面ＢＣ的距离是１４３米． ２２．解：（１）设Ａ、Ｂ两种品牌足球的单价分别为ａ元、ｂ元． 根据题意，得 ４ａ＋３ｂ＝４４０ ２ａ＋ｂ{ ＝１８０，解得 ａ＝５０ｂ{ ＝８０． ∴Ａ品牌足球单价为５０元，Ｂ品牌足球单价为８０元． （２）根据题意可知，Ｂ品牌足球（６０－ｘ）个，依题意， ６０－ｘ≥２ｘ，解得：ｘ≤２０． ∴ｙ＝５０ｘ＋８０（６０－ｘ）＝－３０ｘ＋４８００． ∵－３０＜０，∴ｙ随ｘ的增大而减小． ∴当ｘ＝２０时，ｙ最小，此时ｙ＝－３０×２０＋４８００＝４２００． 综上，ｙ＝－３０ｘ＋４８００，ｙ取得最小值４２００元，此时Ａ品牌足球购买了 ２０个，Ｂ品牌足球购买了４０个． ２３．解：（１）接受问卷调查的学生共有４０÷５０％＝８０（人）， ｍ＝８０－２０－４０－４＝１６（人）， 扇形统计图中 “非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为： ３６０°×２０８０＝９０°； 故答案为：８０，１６，９０°． （２）根据题意得：８００×４８０＝４０（人）． 答：估计出该校学生中对心理健康知识 “不了解”的总人数为４０人； 故答案为：４０． （３）由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有１２种，恰好抽到２名女生的结果有２种， ∴恰好抽到２名女生的概率为２１２＝ １ ６． 成龙大联考 （三）数学答案　第３　页 （共６页） ２４．解：（１）ＡＨ与⊙Ｏ相切，理由如下： ∵⊙Ｏ为等腰△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ＝ＡＣ，延长ＡＯ交ＢＣ于点Ｄ， ∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＣＤ， ∵ＡＨ∥ＢＣ，∴ＡＨ⊥ＡＤ， ∵ＡＯ为⊙Ｏ的半径，∴ＡＨ是⊙Ｏ的切线，即ＡＨ与⊙Ｏ相切． （２）∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＣ＝５６°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝２８°， ∴∠ＡＢＣ＝９０°－∠ＢＡＤ＝９０°－２８°＝６２°， ∵ＣＦ⊥ＡＢ，∴∠ＢＣＦ＝９０°－∠ＡＢＣ＝９０°－６２°＝２８°， ∵ＡＨ∥ＢＣ，∴∠Ｈ＝∠ＢＣＦ＝２８°，∴∠ＢＡＧ＝∠ＢＣＦ＝２８°． （３）设ＢＤ＝ａ，则ＢＤ＝ＣＤ＝ａ，ＢＣ＝２ＢＤ＝２ａ， 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ＡＤＢＤ＝２，∴ＡＤ＝２ａ， ∵∠ＡＧＣ＝∠ＡＢＣ，∴ｔａｎ∠ＡＧＣ＝ｔａｎ∠ＡＢＣ＝２， 在Ｒｔ△ＡＧＦ中，ＧＦ＝１，ｔａｎ∠ＡＧＣ＝ＡＦＧＦ＝２， ∴ＡＦ＝２ＧＦ＝２， 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理得：ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２ 槡＝５ａ， ∴ＡＣ＝ＡＢ 槡＝５ａ，ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ 槡＝５ａ－２， 在Ｒｔ△ＢＣＦ中，由勾股定理得： ＣＦ２＝ＢＣ２－ＢＦ２＝（２ａ）２－（槡５ａ－２） ２＝－ａ２ 槡＋４５ａ－４， 在Ｒｔ△ＡＣＦ中，由勾股定理得： ＣＦ２＝ＡＣ２－ＡＦ２＝（槡５ａ） ２－２２＝５ａ２－４， ∴－ａ２ 槡＋４５ａ－４＝５ａ ２－４， 整理得：６ａ２ 槡－４５ａ＝０， 解得：ａ１＝ 槡 ２５ ３，ａ２＝０（不合题意，舍去）， ∴ＡＤ＝２ａ＝ 槡４５３， 设ＯＤ为ｘ，连接ＯＢ，如右图所示． 则ＯＡ＝ＯＢ＝ＡＤ－ＯＤ＝ 槡４５３ －ｘ， 成龙大联考 （三）数学答案　第４　页 （共６页） 在Ｒｔ△ＯＢＤ中，由勾股定理得：ＯＢ２＝ＯＤ２＋ＢＤ２， 即 槡４５ ３ －( )ｘ ２ ＝ｘ２＋ 槡２５( )３ ２ ， 解得：ｘ＝槡５２，故ＯＤ的长为 槡５ ２． ２５．（１）解：∵将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转一个角度α得到△ＤＥＣ， 点Ａ、Ｂ的对应点分别为Ｄ、Ｅ． ∴ＣＡ＝ＣＤ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝３０°，∠ＣＤＥ＝∠ＣＡＢ＝９０°－３０°＝６０°， ∴∠ＡＤＣ＝１２（１８０°－３０°）＝７５°， ∴∠ＡＤＥ＝１５°． （２）证明：∵Ｆ为ＡＣ的中点，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝３０°， 将△ＡＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转一个角度６０°得到△ＤＥＣ， ∴ＢＦ＝１２ＡＣ＝ＡＢ＝ＤＥ＝ＡＦ＝ＣＦ， ∵∠ＢＣＥ＝６０°，ＥＣ＝ＢＣ， ∴△ＢＣＥ是等边三角形， ∴ＢＥ＝ＢＣ＝ＣＥ， 由旋转可知，ＡＣ＝ＤＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝６０°， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＤ＝６０°， ∵ＡＢ＝ＣＦ， ∴△ＡＢＣ≌△ＣＦＤ（ＳＡＳ）， ∴ＤＦ＝ＢＣ，∴ＢＥ＝ＤＦ， ∵ＢＦ＝ＤＥ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （３）证明：由旋转可知，ＣＥ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝９０°， ∴∠ＣＢＥ＝４５°，∴∠ＡＢＨ＝４５°， ∵ＣＡ＝ＣＤ，∠ＡＣＤ＝９０°， ∴∠ＧＡＨ＝４５°，∴∠ＧＡＨ＝∠ＡＢＨ， ∵∠ＡＨＧ＝∠ＢＨＡ，∴△ＨＡＧ∽△ＨＢＡ， ∴ＨＡＨＧ＝ ＨＢ ＨＡ，∴ＨＡ ２＝ＨＧ·ＨＢ， 过点Ａ作ＡＰ∥ＢＣ交ＢＥ于点Ｐ，连接ＡＥ、ＰＤ， ∵∠ＣＥＤ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＥ＝９０°， 成龙大联考 （三）数学答案　第５　页 （共６页） ∴ＢＣ∥ＥＤ，∴ＡＰ∥ＥＤ，∴∠ＢＡＰ＝９０°， ∵∠ＡＢＰ＝４５°， ∴ＡＰ＝ＡＢ＝ＥＤ，∴四边形ＡＰＤＥ是平行四边形， ∴Ｈ是ＡＤ的中点，∴ＨＤ＝ＨＡ，∴ＨＤ２＝ＨＧ·ＨＢ． ２６．解：（１）将Ａ －１，( )０、Ｂ５，( )０代入抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中， 可得： １－ｂ＋ｃ＝０ ２５＋５ｂ＋ｃ{ ＝０，解得： ｂ＝－４ｃ{ ＝－５， 即：ｂ＝－４，ｃ＝－５． （２）①由 （１）可知：ｙ＝ｘ２－４ｘ－５， 当ｘ＝０时，ｙ＝－５，即Ｃ０，( )－５， 设ＢＣ的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 将Ｂ５，( )０，Ｃ０，( )－５代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ中， 可得 ５ｋ＋ｂ＝０ ｂ{ ＝－５ ，解得： ｋ＝１ ｂ{ ＝－５， ∴ＢＣ的解析式为：ｙ＝ｘ－５， 过点Ｐ作ＰＥ⊥ｘ轴，交ＢＣ于点Ｅ，交ｘ轴于点Ｑ， ∵Ｐｘ０，ｙ( )０ ０＜ｘ０( )＜５，则ｙ０＝ｘ ２ ０－４ｘ０－５， ∴点Ｅ的横坐标也为ｘ０，则纵坐标为ｙＥ＝ｘ０－５， ∴ＰＥ＝ｙＥ－ｙ０＝ ｘ０( )－５ － ｘ ２ ０－４ｘ０( )－５ ＝－ｘ ２ ０＋５ｘ０， △ＰＢＣ的面积＝Ｓ△ＰＥＣ＋Ｓ△ＰＥＢ ＝１２ＰＥ· ｘ０－ｘ( )Ｃ ＋ １ ２ＰＥ· ｘＢ－ｘ( )０ ＝１２ＰＥ· ｘＢ－ｘ( )Ｃ ＝５２ －ｘ ２ ０＋５ｘ( )０ ＝－５２ ｘ０－( )５２ ２ ＋１２５８， ∵－５２＜０， ∴当ｘ０＝ ５ ２时，△ＰＢＣ的面积有最大值，最大值为 １２５ ８． ②存在，当点Ｐ的坐标为 槡７－ ３３ ２ ， 槡３－３ ３３( )２ 或 ４，( )－５时， 成龙大联考 （三）数学答案　第６　页 （共６页） △ＰＥＦ为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知ＰＥ＝－ｘ２０＋５ｘ０， 由题意可知抛物线的对称轴为直线ｘ对 ＝－ －４ ２×１＝２， ∵ＰＦ∥ｘ轴， ∴∠ＥＰＦ＝９０°， ｘ０＋ｘＦ ２ ＝ｘ对 ＝２，则ｘＦ＝４－ｘ０， 当点Ｐ在对称轴左侧时，即０＜ｘ０＜２时， ＰＦ＝ｘＦ－ｘ０＝４－２ｘ０， 当ＰＥ＝ＰＦ时，△ＰＥＦ为等腰直角三角形， 即：－ｘ２０＋５ｘ０＝４－２ｘ０， 整理得：ｘ２０－７ｘ０＋４＝０， 解得：ｘ０＝ 槡 ７－ ３３ ２ ．（ｘ０＝ 槡７＋ ３３ ２ ＞２，不符合题意，舍去） 此时ｙ０＝ｘ ２ ０－４ｘ０－５＝ 槡 ３－３ ３３ ２ ，即点Ｐ 槡７－ ３３ ２ ， 槡３－３ ３３( )２ ； 当点Ｐ在对称轴右侧时，即２＜ｘ０＜５时， ＰＦ＝ｘ０－ｘＦ＝２ｘ０－４， 当ＰＥ＝ＰＦ时，△ＰＥＦ为等腰直角三角形， 即：－ｘ２０＋５ｘ０＝２ｘ０－４，整理得：ｘ ２ ０－３ｘ０－４＝０， 解得：ｘ０＝４（ｘ０＝－１＜２，不符合题意，舍去） 此时：ｙ０＝４ ２－４×４－５＝－５，即点Ｐ４，( )－５； 综上所述，当点 Ｐ的坐标为 槡７－ ３３ ２ ， 槡３－３ ３３( )２ 或 ４，( )－５时， △ＰＥＦ为等腰直角三角形．