精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二4月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教Ａ版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是（ ）． A. 14米/秒 B. 17米/秒 C. 19米/秒 D. 21米/秒 2. 甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ） A. 81种 B. 54种 C. 36种 D. 12种 3. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 4. 若，则S的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 8 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于排列组合数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的判断正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 是极小值，是极大值 C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行的第1014个数最大 C. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D. 第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切于点，求的值. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 19. 已知函数． （1）若函数是单调函数，求实数的取值范围； （2）证明：对任意的都成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高二4月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教Ａ版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是（ ）． A. 14米/秒 B. 17米/秒 C. 19米/秒 D. 21米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的意义求函数一点处的导数值确定质点在秒时的瞬时速度. 【详解】由题意，则米/秒． 故选：A 2. 甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ） A. 81种 B. 54种 C. 36种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理分析求解即可. 【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙､丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有种， 故选：B． 3. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 4. 若，则S的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算，找出规律可求的个位数字． 【详解】，，，，，从开始一直到的个位数字都是0． 所以要求S的个位数字，则只要将前面五个数加起来，即． 所以S的个位数字就是4. 故选：C． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 6. 下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性与导数的正负关系，一一判断各选项情况，即可得答案. 【详解】根据函数增，导数为正；函数减，导数为负； 故在同一个区间内，增函数与导函数的函数值不可能同为负， 减函数与导函数的函数值不可能同为正， 在C选项中，两种情况都出现了，故C错误； 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，即可求解. 【详解】令，得到， 令，得到， 则， 故选：C. 8. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于排列组合数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确； ，而，故C选项错误； ， 故D选项正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查了排列数、组合数的性质以及计算公式，属于基础题. 10. 下列关于函数的判断正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 是极小值，是极大值 C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】求出导函数，根据导函数的正负，判断原函数增减性，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，当时，，是的单调递增区间，故A错误； 对于B，由A知，在，上是减函数，在上是增函数，是的极小值，是的极大值，故B正确； 对于C，D，当时，恒成立，且在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，又当时，，无最小值，故C错误，D正确． 故选：BD. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ） A. B. 第2024行的第1014个数最大 C. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D. 第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用组合数运算公式判断A；，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大，如果是偶数，则第个数字最大，即可判断B；根据规律确定数字，即可判断C；第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，即可判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，故A正确； 对于B：由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故B错误； 对于C：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36； 第9行第7个数字是84，故C错误； 对于D：依题意：第34行第14个数字是， 第34行第15个数字是，所以， 即第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数求导计算即可. 【详解】， ． 故答案为：. 13. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 【答案】35 【解析】 【分析】利用插空法将4盏熄灭的路灯插入7个符合题意的空隙中，计算即可得出结论. 【详解】根据题意可先将8盏没有熄灭的路灯排成一排， 因为两端的灯不能熄灭，所以有7个符合题意的空隙， 在7个空隙中选择4个插入4盏熄灭的路灯， 即共有种. 故答案为：35 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可； （2）写出展开式后代入求解即可. 【小问1详解】 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为， 因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列， 所以，即， 化简得：，因为，所以， 解得或. 时，展开式只有3项，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，通项公式为， 令，得，则. 所以展开式中含的项为. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切于点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设，结合导数的几何意义有，列方程求得，即可得. 【小问1详解】 ，则，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 直线过原点，则， 由点在曲线上，得， ， 又，所以. ，整理得，， ，则. 17. 已知函数. （1）求的极值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为任意，不等式恒成立，设，求得，得出函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以函数在区间单调递减，单调递增， 当时，取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：由不等式恒成立，即恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 设，可得， 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，同时也时最小值，， 所以，即，所以实数的取值范围为. 18. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解； （2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解； （3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解. 【小问1详解】 若选到0，则0不能排在首位，有种方法， 若没有选到0，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问2详解】 个位是偶数的数是偶数， 若个位是0，则有种方法， 若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问3详解】 中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数， 则个四位数， 综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数. 19. 已知函数． （1）若函数是单调函数，求实数的取值范围； （2）证明：对任意的都成立． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，，然后求出导函数的最小值，令最小值大于等于0即可； （2）由（1）得当时，，即，所以， 取可得：，然后累加法即可得出结论. 【小问1详解】 由题意，， 设，， 所以，， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，又， 所以的值域为， 因为是单调函数，所以，当且仅当时，解得， 故实数的取值范围是． 【小问2详解】 证明：由（1）可得当时，在上单调递增， 所以当时，，即，所以， 取可得：， 所以，故， 依次取得： ，，，…，， 以上各式相加得： ． 所以对任意的都成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $