精品解析：福建省莆田市莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷

莆田锦江中学2024-2025学年下学期期中考试卷 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 4. 已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，代入数值，即可得到结果. 【详解】由题知，， 所以， 即该物体在时的瞬时速度为. 故选：A 5. 某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 6. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 7. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，使得，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】对于A，若，则，，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确. 故选：ACD 10. 已知随机事件，满足，，，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则， B. 函数既有极大值又有极小值 C. 若是的极大值点，则在区间单调递增 D. 当时，函数有三个零点时 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可列出关于的二元一次方程组，由此解出来判断A；对于B，判断导函数的判别式，发现其恒大于，所以函数既有极大值又有极小值；对于C，要分的正负讨论，发现时在内存在先单调递减的区间，故C错误；对于D，若函数有三个零点，则极大值大于，极小值小于，结合A得到的等量关系，由此解出的取值范围. 【详解】对于A，由题意可得，令，得， 所以，解得，故A正确； 对于B，，判别式，由A知，所以， 故，即导函数有两个不同的实根，所以函数既有极大值又有极小值，故B正确； 对于C，，若是的极大值点， 当时，导函数开口向上，左侧导数为正，右侧为负，故在单调递增， 当时，导函数开口向下，左侧导数先负后正，即存在先单调递减的区间，故C错误； 对于D，，令，得或，由A知， 因为，所以极大值为，极小值为， 若函数有三个零点，则极大值，极小值， 由A可知，， 所以，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，从而求得. 【详解】因为空间向量， 所以， 由于， 所以，解得. 故答案为： 13. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，分别求甲击中目标，乙没有击中目标和甲没有击中目标，乙击中目标的概率，再求和即可. 【详解】因为两人击中目标的概率分别为0.8和0.4， 所以，甲击中目标，乙没有击中目标的概率为； 甲没有击中目标，乙击中目标的概率为， 所以，恰有1人击中目标的概率是 故答案为： 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求曲线在点点处的切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 【答案】（1） （2）极大值点为；极大值0，无极小值与极小值点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数求出函数的极值点和极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而 所以所求切线方程为：. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为1，极大值，无极小值与极小值点． 16. 流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. （1）若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； （2）若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件与对立事件的概率公式即可得解； （2）利用全概率公式求即可得解. 【小问1详解】 从该地区小学生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 从该地区初中生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为， 所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为. 【小问2详解】 设“抽到小学生”，“抽到初中生”，“抽到高中生”，“该生感染甲型流感”， 则， ， 所以 . 所以该生感染甲型流感的概率为. 17. 如图，在直四棱柱中，的中点分别为. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，通过计算，得证； （2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以 易知二面角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接， 在中，由分别为的中点，得， 又，则， 即四边形为平行四边形，，而平面平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证. （2）由线面平行的判定证得平面，结合体积公式求出点到平面的距离即可. （3）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为， 得，解得， 而平面平面，则平面， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 取的中点，连接，由，得，由平面平面， 平面平面平面，得平面，即， 则，由平面平面，得， 又平面平面，则，而平面， 因此平面，又平面，则， 而的面积为，，则，， 由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，设平面的法向量为， 则，取，得， ，由平面与平面的夹角为， 得，解得，即为的中点， 所以. 19. 设函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； （3）已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 因为， 要证曲线在曲线的上方，即证恒成立， 即证，令，则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，所以恒成立，又恒成立，， 所以恒成立，即曲线在曲线的上方. （3） 因为， 又因为导函数在上存在零点，所以在上有解， 则有，即， 又当时，，则在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递增， 所以， 设，，则， 令，，则， 所以在区间上单调递减，又，则在区间恒成立， 所以在区间上单调递减， 又，所以， 则根据不等式的传递性可得，当时， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得恒成立，结合条件，即可证明结果； （3）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证． 【小问1详解】 函数的定义域是，， 又，则，令，解得：，令，解得：， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2024-2025学年下学期期中考试卷 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，使得，则 10. 已知随机事件，满足，，，则（ ） A. 事件与事件相互独立 B. C. D. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则， B. 函数既有极大值又有极小值 C. 若是的极大值点，则在区间单调递增 D. 当时，函数有三个零点时 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是_________. 14. 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求曲线在点点处的切线方程； （2）求函数的极值点和极值． 16. 流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为. （1）若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； （2）若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率. 17. 如图，在直四棱柱中，的中点分别为. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长. 19. 设函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）在（1）的条件下，证明曲线在曲线的上方； （3）已知导函数在区间上存在零点,证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $