6.4 三元一次方程组 课件 - 2024--2025学年冀教版七年级数学下册

6.4三元一次方程组 第六章 二元一次方程组 冀教版（2024） 1 素养目标 1.理解三元一次方程及三元一次方程组的的概念. 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想； 重点 2 知识回顾 1.什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程. 2.什么是二元一次方程组？ 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组. 3.解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的基本思路是什么？ 二元一次方程组 一元一次方程 消元 代入、 加减 新知导入 有两个未知数的问题，我们可以通过列二元一次方程组解决，那如果问题中含有更多的未知数，我们应该如何解决呢？ 下面我们开始进行本节知识的学习 探究新知 类似于二元一次方程，我们把含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作三元一次方程. 观察上面三个方程组，你能有什么发现？ 探究新知 1.各方程中含有几个未知数？ 2.含未知数的项的次数都是几？ 3.它们是不是方程组？ 含三个未知数 是方程组 含未知数的项的次数都是1 归纳总结 含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的的次数都是 1的方程组，叫作三元一次方程组. 【注意】组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数． 三元一次方程组中各方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 探究新知 1. 解二元一次方程组的方法有哪些？ (1) 代入消元法 (2) 加减消元法 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元转化 二元一次方程组 一元一次方程 转化 消元 怎样解三元一次方程组呢？ ① ② ③ 探究新知 ① ② ③ 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 小美：先①×5+②消去z，再③-①消去z，得到关于x，y的二元一次方程组；解得x，y后代入求z. 探究新知 ① ② ③ ①×5+②，再 ③ - ①，消去未知数 z，得到一个二元一次方程组 ④ ⑤ 由④＋⑤，得 7x = 35. 解得 x = 5. 将x=5代入⑤中， 得 5 - 4y = 9. 解得 y = -1. 探究新知 已知x，y的值，如何求z的值？ 将x = 5，y = -1代入①中，得 5 + (-1) + z = 5. 解得 z = 1. 所以，原方程组的解为 探究新知 解：由①，得 z = x-4. ④ 将④分别代入②，③，得 解这个二元一次方程组，得 将 x = 4代入④，得 z = 0. 所以，原方程组的解为 ① ② ③ 解方程组 练一练 解三元一次方程组： ①②③ 方程①只含 x、z，因此，可以由 ②③ 消去 y，得到一个只含 x、z 的方程，与方程 ① 组成一个二元一次方程组. 思考：对于这个方程组，消哪个元比较方便？ 练一练 解：②×3 + ③，得：11x +10 z = 35 ④； ①与④组成方程组 解得： ； 将 x =5、z = -2代入 ② 中得：y = 所以原方程组的解是： 解三元一次方程组： ①②③ 归纳总结 解三元一次方程组的基本思路： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 归纳总结 解三元一次方程组的基本方法和步骤： 7x=35. x=5. x-4y=9. x+y+z=5. 消元 消元 求解 代入 得解 代入 得解 得解 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 转化 转化 归纳总结 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值； (4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起． 探究新知 已知小明与爸爸、妈妈的年龄之和为92岁，爸爸比妈妈大2岁，小明与妈妈的年龄之和比爸爸大12岁，他们的年龄分别是多少？ 【问题1】本题中有几个等量关系？请你分别表示出来. 爸爸的年龄 + 妈妈的年龄 + 小明的年龄 = 92岁； 爸爸的年龄 - 2 = 妈妈的年龄； 小明的年龄 + 妈妈的年龄 = 爸爸的年龄+12. 探究新知 【问题2】如果设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小明的年龄是z岁，请列出方程组. 解这个方程组，得 答：爸爸的年龄为40岁，妈妈的年龄为38岁，小明的年龄是14岁. D B A B C 2 小结 三元一次方程组 概念 解法 含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组. 通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元” ，通过求一元一次方程的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解. 谢谢同学们的聆听 练习1 下列方程组是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 解析：A.第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B.只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C.方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D.是三元一次方程组，符合题意； 故选：D. 练习2 解方程组 ，较简便的方法是( ). A.先消z B.先消y C.先消x D.无法确定 解析： ，得： ， ，得： ，即 ， 将 代入①，解得： ， 将 ， 代入②，解得： ， 根据解答过程可知较简便的方法是先消y，故选：B. 练习3 下列四组数中,是方程组 的解是( ) A. B. C. D. 解析： , ①+②,得 ,③-②,得 , ∴ , 把 , 代入②, ,∴ .故选A. 练习4 一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1.如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是( ) A.325 B.217 C.433 D.541 解析：设个位、十位、百位上的数字为x，y，z 依题意得： 解得 EMBED Equation.DSMT4 原来的三位数字是217,故选：B. 练习5 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需( ) A.50元 B.100元 C.150元 D.200元 解析：设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元. 根据题意，得 两方程相加，得 ， . 则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元.故选C. 练习6 已知方程组 ，则 的值是_______. 解析：因为 ，将三个方程相加，得 ， 解得 .故答案为：2. $$