精品解析：上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷

上海市风华中学2024学年第二学期高考三模数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分） 1. 设全集，若集合，则______． 2. 函数的最小正周期为_______． 3. 若复数z满足（是虚数单位），则复数_____________． 4. 设随机变量X服从正态分布，若，则___________． 5. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 6. 已知空间向量，，，若，则______． 7. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______ 8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________． 9. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________. 11. 已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 二、选择题：（本大题共有4题，13，14题每小题选对得4分，15，16题每小题选对得5分，否则得零分，共18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 15. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题 三、解答题：（本大题共5题，满分78分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤） 17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． （1）求证：平面PBC； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 19. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. （1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； （3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学2024学年第二学期高考三模数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分） 1. 设全集，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求. 【详解】由题设或，又， 所以. 故答案为： 2. 函数的最小正周期为_______． 【答案】π 【解析】 【详解】试题分析： 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为 考点：三角函数的周期 3. 若复数z满足（是虚数单位），则复数_____________． 【答案】． 【解析】 【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案. 【详解】由可得. 故答案为：. 4. 设随机变量X服从正态分布，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率. 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：. 5. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答） 【答案】45 【解析】 【详解】(x4+)10的通项为 =()r=, 令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为 ==45. 6. 已知空间向量，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， ，，， 解得， 故答案为：. 7. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______ 【答案】 【解析】 【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 由于，故， 则. 故答案为： 9. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】取，解得，根据面积得到，解得渐近线方程，再根据点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】取，则，解得，故， 即，解得或（舍），， 不妨取渐近线方程为，即，到渐近线的距离为. 故答案为： 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】，，故. 故答案为： 11. 已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值. 【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离， 故内切圆半径， 由对称性可知，关于轴对称，设，， 则，， 其中，故 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点， 即，即只有一根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由函数在上单调，则，解得，与矛盾，不成立； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即， 由函数在上单调，则，解得， 又，即； 综上所述，， 故答案为：. 二、选择题：（本大题共有4题，13，14题每小题选对得4分，15，16题每小题选对得5分，否则得零分，共18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件． 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解． 【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况， 故选项A中事件互斥不对立，A正确， 选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误， 选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误， 选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误， 故选：A． 15. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合线面垂直度的判定定理，异面直线的定义，中位线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 由线面垂直的判定定理可得得平面， 当点在线段的中点时，平面，此时，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. 16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ） A. ①和②都为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②都为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、解答题：（本大题共5题，满分78分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤） 17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． （1）求证：平面PBC； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 【答案】 （1）当时，函数为偶函数； 当时，函数为奇函数. 当,为非奇非偶函数 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可； （2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围． 【详解】（1）∵函数的定义域为， 又∵ ∴①当时，即时，可得 即当时，函数为偶函数； ②当时，即时，可得 即当时，函数为奇函数. ③当,,故不是奇函数，， 故为非奇非偶函数. （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，， 即时， 由题可得， 令，则有 ∵ ∴， 又∵，当且仅当时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ① 此时的取值不存在； ② 此时，可得的取值为 综上可得 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 19. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； （3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 【答案】（1） 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 ，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. （2） （3）X的分布列为： X 0 1 2 3 P ，数学期望为，方差为【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可. （2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率. （3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差. 【小问1详解】 根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. 【小问2详解】 由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. 【小问3详解】 由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. 21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. （1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； （3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）或或或. （3）证明：由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 【解析】 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断； （2）由平均值函数的定义可得，可求所有满足条件的整数数对； （3）所证不等式可变形为，利用换元法，令，可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $