甘肃省环县第一中学2024-2025学年高三下学期模拟考试数学试题

参考答案 一、单项选择题（共8题，共40分） 1. 【答案】C 2. 【答案】C 3. 【答案】C 【解析】抛物线 ： 的焦点为 和准线 ：，作图如下： 由 ，可得 ，过 作 于 ，设 与 轴交于 ，则 ， 结合图形可发现三角形 与三角形 相似，则有对应线段成比例． 因为 ， 所以 ，，． 4. 【答案】A 【解析】因为 是第三象限角，且 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 5. 【答案】C 【解析】因为等比数列 的公比 ， 所以 ，， 所以 ，又 ，所以 ． 6. 【答案】B 7. 【答案】C 【解析】由题意设 ，， 则 ，． 因为 ， 所以 ， 解得 ，， 所以 ， 设 ， 则 两式作差可得 ， 所以 ， 又 ，即 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ， 所以椭圆的离心率 为 ． 8. 【答案】D 【解析】依题意，当 时， 恒成立， 令 ，，则 ， 又 ， 所以 在 上单调递减， 所以 ，即 ． 故选：D． 二、多项选择题（共3题，共18分） 9. 【答案】A；B；C 【解析】函数 的最小正周期为 ，故A选项正确． 由 ，解得 ，所以函数 在区间 上单调递增，故B选项正确． 由于 ，所以直线 是图象 的一条对称轴，故C选项正确． 向右平移 得到 ，故D选项错误． 10. 【答案】A；B；C 【解析】如图所示，该几何体可补形为正方体，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系． 由正方体的性质易得 ，故A正确． 该几何体的外接球与正方体的外接球相同，其外接球半径为 ，故外接球的表面积为 ，故B正确． 由题意可得 ，，，，， 所以 ，． 设平面 的法向量为 ． 由 得 令 ，得 ，，则 ． 当 为 的中点时，， 则 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ，故C正确． 设 ， 则 ， 故当 时， 取得最小值， 且最小值为 ，故D错误． 11. 【答案】B；C；D 三、填空题（共3题，共15分） 12. 【答案】 ； 13. 【答案】 【解析】因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻， 所以由捆绑法，可得 ． 14. 【答案】②④ 四、解答题（共5题，共77分） 15. 【答案】 (1) 由正弦定理，得 ， 则 ， 因为 ， 则 ， 又 ， 所以 ． (2) 由（）知：，又 ， 所以 ， 又 ， 根据正弦定理，得 ， 又 ， 则 ， 所以 ，． 16. 【答案】 (1) 列联表为 (2) 根据上述列联表可以求得 ，所以有 的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系． 17. 【答案】 (1) 因为底面 是菱形， 所以 ， 又因为 ，， 所以 ， 又因为 ，，， 四点共面，且 ， 所以 ． (2) 取 中点 ，连接 ， , 因为 ， 所以 ， 又因为 ，且 ， 所以 , 所以 ． 在菱形 中， 因为 ，， 是 中点， 所以 ， 如图，建立空间直角坐直角坐标系，已知 ，则 ，，，，，， 又 ，点 是棱 的中点， 所以点 是棱 中点， 所以 ，，，， 设平面 的法向量为 ， 则有 ， 所以 ， 不妨令 ，则平面 的一个法向量为 ， 因为 ， 所以 是平面 的一个法向量， 因为 ， 所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． 18. 【答案】 (1) ． (2) ，，设 ，由 ，结合图形可得 ，此时直线 可设为：，由 （负舍） 19. 【答案】 (1) 当 时，，，， 设 图象上任意一点 ， 切线 斜率为 ， 过点 的切线方程为 ， 令 ，解得 ， 令 ，解得 ， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 ， 所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关． (2) 由题意，函数 的定义域为 ， 因为 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立， 即当 ， 恒成立， 所以 ， 因为当 ，，当且仅当 时取等号， 所以当 时，， 所以 ， 所以 的取值范围为 ． (3) 时，零点个数为 ；，零点个数为 ； 时，零点个数为 ． 【解析】 (3) 时， 零点个数为 ；， 零点个数为 ； 时， 零点个数为 ，显然 不是 的零点， 所以 ， 令 ， 且 ， 则 ， ，， 所以 在 单调递减，在 ， 单调递增， 所以在 时， 有极小值 ；在 时，， 所以 如图： 所以 时，零点个数为 ；，零点个数为 ； 时，零点个数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 环县第一中学2024-2025学年度第二学期高三模拟考试 高三 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 设集合 ，，，则 A． B． C． D． 已知复数 ，则复数 的共轭复数 A． B． C． D． 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且 则 A． B． C． D． 已知 是第三象限角，且 ，则 A． B． C． D． 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 A． B． C． D． 如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则 A． B． C． D． 已知椭圆 ，点 ， 在椭圆上，直线 过原点 ，过点 且垂直于 的直线交椭圆于点 ，过 点且垂直于 轴的直线交椭圆于点 ，直线 交 于点 ，若 ，则椭圆 的离心率 为 A． B． C． D． 若函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 记函数 的图象为 ，则下列结论正确的是 A．函数 的最小正周期为 B．函数 在区间 上单调递增 C．直线 是图象 的一条对称轴 D．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到图象 如图，四边形 是边长为 的正方形，，，且 ， 为线段 上的动点，则下列结论中正确的是 A． B．该几何体外接球的表面积为 C．若 为 的中点，则 D． 的最小值为 关于函数 ，则下列结论正确的是 A．存在正实数 ，使得 恒成立 B．函数 有且只有 个零点 C． 是 的极小值点 D．对任意两个正实数 ，，且 ，若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 若 展开式的二项式系数之和为 ，则 ，其展开式中的含 项的系数为 ．（用数字作答） 在市数学竞赛中，A，B，C三间学校分别有 名、 名、 名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种． 写出下列命题中所有真命题的序号 ． ①两个随机变量线性相关性越强，相关系数 越接近 ； ②回归直线一定经过样本点的中心 ； ③线性回归方程 ，则当样本数据中 时，必有相应的 ； ④回归分析中，相关指数 的值越大说明残差平方和越小． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （13分） 的内角 ，， 的对边为 ，，，． (1) 求 ； (2) 若 ，，求 ，． （15分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 名学生某次考试的成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩 分（含 分 )以上为优秀，物理成绩 分（含 分）以上为优秀. (1) 根据上表完成下面的 列联表： (2) 根据题（）中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？ 附：①独立性检验临界值表：②独立性检验统计量 值的计算公式： ，其中 ． （15分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ．点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ． (1) 求证：； (2) 若 ，且平面 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值． （17分）已知椭圆 ，， 是其左右焦点，直线 过点 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 在 轴上方，点 在线段 上． (1) 若 是上顶点，，求 的值； (2) 若 ，求点 的坐标；当原点 到直线 的距离为 时，写出此时直线 的方程． （17分）设函数 ，． (1) 设 是 图象的一条切线，求证：当 时， 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； (2) 若函数 在定义域上单调递减，求 的取值范围； (3) 当 时，直接写出函数 零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$