18-21题限时练(七)-【一战成名新中考】2025山东中考数学·三轮复习·抢分练小卷

抢分练小卷·山东数学　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 18 ~ 21 题 题 组 限 时 练 18~ 21 题限时练(七) 限时:30 分钟 用时:　 　 　 　 分钟 满分:38 分 得分:　 　 　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　三、解答题:本题共 4 小题,共 38 分. 解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 9 分) 在学习完解直角三角形后,数学老师让每位同 学利用周末完成一项数学实践活动,并写出实 践报告,下面是大刚同学的实践报告. 活动 项目 测小亮、小莹家的距离 测量 工具 测角仪、皮尺 项目 背景 傍河而居成为生活在城市人们的理 想选择. 如图,小亮和小莹家分别居 住在河岸一侧的 A,B 处,河岸另一侧 居住的大刚完成测量和计算. 测量 过程 【步骤一】大刚在河对岸点 C 处,点 C 与点 A 连线垂直两岸,沿着河岸向前 走到点 D,用皮尺测得 CD= 150 m. 【步骤二】大刚在点 D 用测角仪测得 对岸点 B 与垂直两岸方向的夹角 ∠α= 45°,测得对岸点 A 与垂直两岸 方向的夹角∠β= 37°. 第 18 题图 解决 问题 根据以上数据计算:小亮、小莹家的 距离 AB. (参考数据:sin37°≈0. 6,cos37°≈0. 8,tan37°≈ 0. 75) 解:如解图,连接 AC,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. 根据题意可得 AC⊥CD,AB∥CD,∴CA⊥AB, ∴四边形 ACDE 为矩形,∴AE=CD=150 m, 在 Rt△ADE 中,tanβ=AE DE , ∴150 DE ≈0. 75,解得 DE=200. 在 Rt△BDE 中,tanα=BE DE ,∴BE=DE=200 m, 19. (本小题满分 9 分) 某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知 识的掌握情况,从两个年级中各随机抽取 10 名 学生进行测试,并对测试成绩(百分制)进行收 集、整理和分析. 数据收集: 七年级:59,90,92,85,80,67,88,85,97,79; 八年级:57,95,80,96,83,69,92,78,66,83. 数据整理: 年级 成绩 x /分 50<x ≤60 60<x ≤70 70<x ≤80 80<x ≤90 90<x ≤100 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析: 平均数 中位数 众数 七年级 82. 2 a 85 八年级 79. 9 81. 5 b 请根据如表信息,回答下列问题: (1)补全表中数据:a= 　 85　 ,b= 　 83　 ; (2)萌萌同学参加了测试,她说:“这次测试我 得了 83 分, 在我们年级属于中游略偏 上!”,你推测萌萌同学可能是 　 八 　 (填 “七”或“八”)年级的学生; (3)假如该校七年级 800 名学生均参加了本次 测试,请你估计该校七年级学生本次测试 成绩在 80 分以上(不包括 80 分)的人数; (4)为了丰富同学们的中国传统文化知识,请 你提出一条合理化建议. 解:(1)85,83;(2)八; (3)该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以上的人 数为 800×4 +2 10 = 480, ∴估计该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以上 的人数为 480; (4)多阅读中国传统文化知识相关的书籍(答案不 唯一) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 抢分练小卷·山东数学　 18 ~ 21 题 题 组 限 时 练 20. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y =mx+n 与反比例函数 y= k x 的图象在第一象限内交于 A(a,4)和 B(4,2)两点,直线 AB 与 x 轴相交于 点 C,连接 OA. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)过点 B 作 BD 平行于 x 轴,交 OA 于点 D,在 x 轴上是否存在点 P,使以点 O,B,D,P 为 顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 第 20 题图 解:(1)∵反比例函数 y= k x 的图象过点 B(4,2), ∴ k=4×2= 8, ∴反比例函数的表达式为 y= 8 x , 把 A(a,4)代入 y= 8 x 得 a= 8 4 = 2,∴A(2,4), ∵一次函数 y=mx+n 的图象过点 A,B, ∴ 4m+n=2, 2m+n=4,{ 解得 m=-1, n=6,{ ∴一次函数的表达式为 y=-x+6; (2)存在, ∵A(2,4),∴直线 OA 的解析式为 y=2x, ∵过点 B(4,2)作 BD 平行于 x 轴,交 OA 于点 D, ∴D(1,2),∴BD=4-1= 3, 当四边形 ODBP 是平行四边形时, ∴DB=OP=3,∴点 P(3,0); 当四边形 OBDP 是平行四边形, ∴DB=OP=3,∴点 P(-3,0) . 综上所述,点 P 的坐标为(3,0)或(-3,0) . 21. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,AB 是☉O 的直径,∠A = 30°,BC = 4,弦 CD⊥AB 于点 F, 点 E 是 AB 延长线上一点, 且 AF = EF, 连 接 DE. (1)求证:DE 是☉O 的切线; (2)取 CB 的中点M,连接 DM,求图中阴影部分 的面积. 第 21 题图 (1)证明:如解图,连接 OD, ∵弦 CD⊥AB 于点 F,AB 是☉O 的直径, ∴BC ( =BD ( ,CF=DF,∠AFC=∠EFD=90°, ∵AF=EF,∴△ACF≌△EDF(SAS), ∴∠E=∠A=30°, ∴∠DOE=2∠A=60°, ∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE, 又∵OD 是☉O 的半径,∴DE 是☉O 的切线; (2)解:∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∵∠A=30°,BC=4,∴AB=2BC=8, ∴AC= AB2-BC2 =4 3, 如解图,连接 OM, ∵点 M 是 CB 的中点,∴BM=CM= 1 2 BC=2, ∵AO=BO,∴OM 是△ABC 的中位线, ∴OM∥AC,OM= 1 2 AC=2 3, ∴∠OMB=∠ACB=90°,∠BOM=∠A=30°, 由(1)可知∠BOD=60°,∴∠DOM=90°, ∴S阴影 =S△BOM+S扇形BOD-S△DOM = 1 2 ×2×2 3 + 60π×42 360 - 1 2 ×2 3 ×4= 8π 3 -2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 答:估计七、八年级获得“法治先锋” 称号的学生人数 为 384. 20. 解:甲组:由题意得△CDE∽△ABE,∴ CD AB =DE BE , ∵ CD= 2 m,DE= 1. 8 m,BE= 39 m, ∴ 2 AB = 1. 8 39 ,解得 AB≈43. 3, 答:该塔的高度 AB 大约是 43. 3 m; 乙组:由题意得 CE=BD= 32 m,BE=CD= 1. 7 m, 在 Rt△ACE 中,AE=CE·tan53°≈32×1. 3 = 41. 6(m), ∴ AB=AE+BE≈41. 6+1. 7 = 43. 3(m), 答:该塔的高度 AB 大约是 43. 3 m. 21. (1)证明:如解图,连接 AO,并延长 AO 交☉O 于点 D,则 AD 为☉O 的直径,连接 CD,则∠ACD= 90°, ∴ ∠CAD+∠ADC= 90°, ∵ ∠ABC= ∠ADC,∠PAC= ∠PBA,∴ ∠PAC= ∠ADC, ∴ ∠CAD+∠PAC= 90°, ∴ ∠OAP= 90°,即 OA⊥AP, ∵ OA 是☉O 的半径,∴ AP 是☉O 的切线; 第 21 题解图 (2)解:如解图,过点 O 作 OF⊥BP 于点 E,交☉O 于点 F,连接 OC, ∴ EF= 2 m, ∵ OF=OC= 5 m,∴ OE=OF-EF= 5-2 = 3(m), ∴ EC= OC2 -OE2 = 4(m),∴ BC= 2OC= 8(m), ∵ PC= 32 m,∴ PB=CP+CB= 40(m), ∵ ∠PAC= ∠PBA,∠CPA= ∠APB,∴ △CAP∽△ABP, ∴ AP PB =CP AP ,∴ AP2 =PB·CP= 1 280, ∴ AP= 16 5 m(负值已舍去), ∴ 水槽 AP 的长度为 16 5 m. 18~ 21 题限时练(六) 18. 解:(1)60;(2)B; (3)2 000× 60+100 30÷15% = 1 600(人), 答:估计该校“每天完成书面作业的时间不超过 90 分 钟”的初中学生有 1 600 人. 19. 解:(1)设该商场节后每千克红豆粽子的进价为 x 元, 根据题意,得 120 x -2 = 120 x+2 , 解得 x= 10 或 x= -12(舍去), 经检验,x= 10 是原分式方程的根,且符合题意, 答:该商场节后每千克红豆粽子的进价是 10 元; (2) 设该商场节前购进 m 千克红豆粽子,总利润为 w 元, 由(1)知节后每千克红豆粽子的进价是 10 元,则节前每 千克红豆粽子的进价是 12 元, 根据题意,得 12m+10(400-m)≤4 600, 解得 m≤300, w= (20-12)m+(16-10)(400-m)= 2m+2 400, ∵ 2>0, ∴ w 随着 m 的增大而增大, ∴ 当 m= 300 时,w 取得最大值,最大值为 2×300+2 400 = 3 000, 答:该商场节前购进 300 千克红豆粽子时获得的利润最 大,最大利润是 3 000 元. 20. 解:(1)x≠-1; (2)①2,0; ②画出函数图象如解图; 第 20 题解图 (3)( -1,1); (4)当直线 y=kx+1 过点(1,0)时,则 k+1= 0,解得 k= -1, 当直线 y=kx+1 过点(4, 3 5 )时,则 4k+1= 3 5 ,解得 k=- 1 10 , ∴ 当 1≤x≤4 时,关于 x 的方程 kx+ 1 = x-1 x+1 有实数解,k 的取值范围是-1≤k≤- 1 10 . 21. 解:(1)如解图,连接 OD, 第 21 题解图 ∵ EF 与半圆 O 相切于点 D,∴ OD⊥DF, 由题意知,AD 平分∠BAC,即∠BAD= ∠CAD, ∵ OA=OD,∴ ∠BAD= ∠ADO, ∴ ∠CAD= ∠ADO,∴ AC∥OD, 又 OD⊥DF,∴ DF⊥AC,∴ ∠AFD= 90°; (2)由(1)知,∠AFD= 90°,∠BAD= ∠CAD, 在 Rt△ADF 中,∠ADF= 60°,AF= 3, ∴ ∠DAF= 30°,∴ AD= 2DF, ∴ DF=AF·tan30° = 3 ,∴ AD= 2 3 , ∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ADB= ∠AFD= 90°, ∴ △ADF∽△ABD,∴ DF BD = AF AD , ∴ 3 BD = 3 2 3 ,解得 BD= 2. 18~ 21 题限时练(七) 18. 解:如解图,连接 AC,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. 根据题意可得 AC⊥CD,AB∥CD,∴ CA⊥AB, ∴ 四边形 ACDE 为矩形,∴ AE=CD= 150 m, 在 Rt△ADE 中,tanβ= AE DE ,∴ 150 DE ≈0. 75,解得 DE= 200. 在 Rt△BDE 中,tanα= BE DE ,∴ BE=DE= 200 m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 921 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 ∴ AB=AE+EB= 150+200 = 350(m) . 答:小亮、小莹家的距离 AB 约为 350 m. 第 18 题解图 19. 解:(1)85,83;(2)八; (3)该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以上的人数 有 800× 4+2 10 = 480, ∴ 估计该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以上的人 数为 480; (4)多阅读中国传统文化知识相关的书籍(答案不唯 一) . 20. 解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象过点 B(4,2), ∴ k= 4×2 = 8, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 8 x , 把 A(a,4)代入 y= 8 x 得 a= 8 4 = 2,∴ A(2,4), ∵ 一次函数 y=mx+n 的图象过点 A,B, ∴ 4m+n= 2, 2m+n= 4,{ 解得 m= -1, n= 6,{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -x+6; (2)存在, ∵ A(2,4),∴ 直线 OA 的解析式为 y= 2x, ∵ 过点 B(4,2)作 BD 平行于 x 轴,交 OA 于点 D, ∴ D(1,2),∴ BD= 4-1 = 3, 当四边形 ODBP 是平行四边形时, ∴ DB=OP= 3,∴ 点 P(3,0); 当四边形 OBDP 是平行四边形, ∴ DB=OP= 3,∴ 点 P( -3,0) . 综上所述,点 P 的坐标为(3,0)或( -3,0) . 21. (1)证明:如解图,连接 OD, ∵ 弦 CD⊥AB 于点 F,AB 是☉O 的直径, ∴ BC ( =BD ( ,CF=DF,∠AFC= ∠EFD= 90°, ∵ AF=EF,∴ △ACF≌△EDF(SAS), ∴ ∠E= ∠A= 30°, ∴ ∠DOE= 2∠A= 60°,∴ ∠ODE= 90°,∴ OD⊥DE, 又∵ OD 是☉O 的半径,∴ DE 是☉O 的切线; 第 21 题解图 (2)解:∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∵ ∠A= 30°,BC= 4,∴ AB= 2BC= 8, ∴ AC= AB2 -BC2 = 4 3 , 如解图,连接 OM, ∵ 点 M 是 CB 的中点,∴ BM=CM= 1 2 BC= 2, ∵ AO=BO,∴ OM 是△ABC 的中位线, ∴ OM∥AC,OM= 1 2 AC= 2 3 , ∴ ∠OMB= ∠ACB= 90°,∠BOM= ∠A= 30°, 由(1)知∠BOD= 60°,∴ ∠DOM= 90°, ∴ S阴影 = S△BOM +S扇形 BOD -S△DOM = 1 2 × 2 × 2 3 + 60π×42 360 - 1 2 ×2 3 ×4 = 8π 3 -2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031