第四章诊断卷 三角形(2)-【一战成名新中考】2025山东中考数学·三轮复习·抢分练小卷

抢分练小卷·山东数学　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 章 诊 断 卷 第四章诊断卷　 三角形(2) 限时:45 分钟 用时:　 　 　 　 分钟 满分:100 分 得分:　 　 　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 每小题只有一个选项符合题目要求. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图,测量成绩 时先用皮尺从后脚印的点 A 处垂直拉至起跳线 l 的点 B 处,然后记录 AB 的长度,这样做的理由 是 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 A. 两点之间,线段最短 B. 过两点有且只有一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点可以作无数条直线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　2. 如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在 AB,AC,BC 边上,DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式中错误的 是 (　 C　 ) A. AE EC =BF FC 　 B. AD BF = AB BC C. EF AB =DE BC 　 D. CE CF =EA BF 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放,点 E 在 AB 上,BC∥EF,则∠1 的度数是 (　 　 ) A. 60° 　 　 B. 65° 　 　 C. 70° 　 　 D. 75° 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 6,BC = 8. 若点 D,F 分别是 AB,AC 的中点,连接 DF,则 △ADF 的周长是 (　 B　 ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 如图,已知 D,E 分别为△ABC 的边 BC,AC 的中 点,连接 AD,DE,AF 为△ADE 的中线. 若四边形 ABDF 的面积为 20,则△ABC 的面积为 (　 B　 ) A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 6. 如图,在△ABC 外任取一点 O,连接 AO,BO,CO, 并取它们的中点 D,E,F,得△DEF,则下列说法 错误的是 (　 A　 ) A. 点 O 为位似中心且相似比为 2 ∶1 B. △ABC 与△DEF 是位似图形 C. △ABC 与△DEF 是相似图形 D. △ABC 与△DEF 的面积之比为 4 ∶1 第 6 题图 　 　 第 8 题图 7. 若等腰三角形的一个角为 50°,则顶角的度数是 (　 D　 ) A. 65°或 50° B. 80° C. 50° D. 50°或 80° 8. 如图,在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC,垂足为 D, 点 E 是 AD 上一点,DE = BD, ∠ABC = 70°,则 ∠ACE 的度数为 (　 C　 ) A. 18° B. 27° C. 25° D. 36° 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 是斜边 AB 的中点,DE 平分∠ADC,BC = 4,∠A = 30°,则 DE 的长是 (　 B　 ) A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 第 9 题图 　 第 10 题图 10. 如图,点 D 在△ABC 的边 AB 上,点 E 在△ABC 内部,∠AED = ∠BEC = 90°,AE = DE,BE = CE. 下列结论:①AB = CD;②∠ABE+∠BCD = 45°; ③∠BED= ∠BCD;④AB⊥CD. 其中正确的有 (　 D　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 抢分练小卷·山东数学　 章 诊 断 卷 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 若一个角的余角是 38°, 则这个角的补角 为　 128°　 . 12. 如图,∠1 = ∠2,AD = AB,要使△ADE≌△ABC, 则可添加的一个条件是 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠 在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 7 m,顶 端距离地面 24 m. 如果保持梯子底端位置不 动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 20 m, 则小巷的宽度为　 22　 m. 14. 定义:在△ABC 中,∠C = 30°,我们把∠A 的对 边与∠C 的对边的比叫作 ∠A 的邻弦,记作 thiA,即 thiA = ∠A 的对边 ∠C 的对边 = BC AB . 如图,若∠A = 45°,则 thiA 的值为　 2 　 . 第 14 题图 　 第 15 题图 15. 易错 ∙∙ 如图,△ABC 中,AB = 4,BC = 5,AC = 6,点 D,E 分别是 AC,AB 边上的动点,折叠△ADE 得 到△A′DE,且点 A′落在 BC 边上,若△A′DC 恰 好与△ABC 相似,则 AD 的长为　 　 　 　 . 16. 如图, △ABC 为等边三角形,边长为 6,AD⊥ BC,垂足为点 D,点 E 和点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点,连接 CE,EF,则 CE+EF 的 最小值为　 3 3 　 . 第 16 题图 三、解答题:本题共 2 小题,共 36 分. 解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 16 分) 【实践课题】测量樟树的高度 【实践工具】测角仪和皮尺 【实践活动】如图,BC 为水平地面,樟树 AB 垂 直于地面,斜坡 CD 的坡度 i = 3 ∶ 4,在斜坡 CD 上的点 E 处测樟树顶端 A 的仰角∠AEF = 48°, 测得 BC= 8 米,CE= 5 米. 【问题解决】求樟树 AB 的高度(结果精确到 0. 1 米;参考数据:sin48°≈0. 74,cos48°≈0. 67, tan48°≈1. 11) . 第 17 题图 18. (本小题满分 20 分) 如图, 在锐角 △ABC 中, 点 D, E 分别在边 AB,AC 上,AF⊥BC 于点 F,AG⊥DE 于点 G, ∠BAF= ∠EAG. (1)求证:△ABC∽△AED; (2)若 AB= 5,AG= 2,EG= 1,求 AF 的长. 第 18 题图 (1)证明:略;(2)解:AF=2 5 . 详解见《分层作业本》P. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 DM. 如解图,过点 D 作 DF⊥MN 于点 F. ∵ ND⊥MD, ∴ DF= 1 2 MN, ∵ 点 E 是 CD 的中点, ∴ DE = CE, 在 △DEF 和 △CEM 中, ∠DFE= ∠CME, ∠DEF= ∠CEM, DE=CE, { ∴ △DEF ≌ △CEM( AAS), ∴ EF= ME = 1. ∵ DM = DN, ∴ NF= MF, ∴ NE=NF+EF=MF+EF= 2+1 = 3. 17. 解:由题意知 DE=AB= 20 米,EF=BC= 40 米, ∴ DF=DE+EF= 20+40 = 60(米) . 在 Rt△DFG 中,tan∠GDF= tan30° = FG DF , ∴ FG=DF·tan30° = 60× 3 3 = 20 3 ≈34. 6(米), 在 Rt△EFH 中,tan∠HEF= tan50° = FH EF , ∴ FH=EF·tan50°≈40×1. 19 = 47. 6(米), ∴ GH=FH-FG= 47. 6-34. 6 = 13(米), 答:信号发射塔 GH 的高约为 13 米. 18. 解:(1)SAS;　 【解法提示】∵ △ABC 和△CDE 都是等边 三角形,∴ AC = BC,CE = CD, ∠ACB = ∠DCE = 60°, ∵ ∠BCE= ∠ACB-∠ECA = 60° - ∠ECA,∠ACD = ∠DCE- ∠ECA = 60° - ∠ECA, ∴ ∠ACD = ∠BCE, 在 △ACD 和 △BCE 中, AC=BC, ∠ACD= ∠BCE, CD=CE, { ∴ △ACD≌△BCE(SAS) . (2)线段 BE 与 AD 之间仍存在(1)中的结论,理由如下: ∵ ∠ACB = ∠DCE = α, ∠ACD = α + ∠BCD, ∠BCE = α+∠BCD, ∴ ∠ACD= ∠BCE, 在△CBE 和△CAD 中, BC=AC, ∠BCE= ∠ACD, CE=CD, { ∴ △CBE≌△CAD(SAS),∴ BE=AD; (3)α,理由如下: ∵ △CAD≌△CBE,∴ ∠CAD= ∠CBE, ∵ ∠BAM+∠CAD+∠ABC= 180°-α, ∴ ∠BAM+∠CBE+∠ABC= 180°-α, 即∠BAM+∠ABM= 180°-α, ∴ ∠AMB= 180°-(180°-α)= α. 第四章诊断卷　 三角形(2) 1. C　 2. C　 3. D 4. B　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB = 6,BC = 8,由 勾股定理,得 AC = 　 AB2 +BC2 = 　 62 +82 = 10,∵ 点 D,F 分别是 AB,AC 的中点,∴ DF 是△ABC 的中位线,AD = 1 2 AB= 3,AF= 1 2 AC = 5,∴ DF = 1 2 BC = 4,∴ △ADF 的周 长=AD+AF+DF= 3+5+4 = 12. 5. B　 【解析】∵ AF 是△ADE 的中线,∴ 1 2 S△ADE = S△ADF,同 理可得 1 2 S△ADC = S△ADE,S△ACD = S△ABD = 1 2 S△ABC,∴ S△ADF = 1 8 S△ABC,∵ 四边形 ABDF 的面积为 20,∴ S△ABD +S△ADF = 20,∴ 1 2 S△ABC+ 1 8 S△ABC = 20,∴ S△ABC = 32. 6. A 7. D　 【解析】分两种情况:①等腰三角形的顶角为 50°;② 当等腰三角形的一个底角为 50°时,则它的顶角为 180°- 2×50° = 80°. 综上所述,它的顶角是 50°或 80°. 8. C　 【解析】 ∵ AB = AC,∠ABC = 70°,∴ ∠ABC = ∠ACD = 70°,∵ AD⊥BC,∴ BD = CD,∵ DE = BD,∴ BD = CD = DE, ∴ ∠EBD = ∠BED = ∠DCE = ∠DEC = 45°, ∴ ∠ACE = ∠ACD-∠DCE= 70°-45° = 25°. 9. B　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,点 D 是 AB 的中点,∴ CD 是中 线,∴ AD=CD= 1 2 AB,∴ △ADC 是等腰三角形,又∵ DE 平分 ∠ADC,∴ DE⊥AC, ∴ ∠AED = 90°, ∵ ∠A = 30°, ∴ DE = 1 2 AD= 1 4 AB,BC= 1 2 AB,∵ BC = 4,∴ AB = 8,∴ DE = 1 4 AB =2. 10. D　 【解析】①∵ ∠AED = ∠BEC = 90°,∴ ∠AED+∠DEB = ∠BEC+∠DEB,即∠AEB = ∠DEC,又∵ AE = DE,BE = CE,∴ △AEB≌△DEC( SAS),∴ AB = CD,故①正确;由 ①知∠ABE= ∠DCE,∵ ∠BEC= 90°,BE=CE,∴ ∠DCB+ ∠DCE= ∠BCE= 45°,∴ ∠ABE+∠BCD= 45°,故②正确; 如解图, 设 BE 与 CD 交于点 O, ∵ ∠ABE = ∠DCE, ∠DOB= ∠EOC,∴ ∠BDO = ∠BEC = 90°,∴ CD⊥AB,故 ④正确;由④知∠ADC = 90°,∵ ∠AED = 90°,AE =DE,∴ ∠EAD= ∠ADE = 45°,∴ ∠EDC = ∠ADC- ∠ADE = 45°, ∴ ∠EDC= ∠EBC = 45°,又∵ ∠DOE = ∠BOC,∴ ∠BED = ∠BCD,故③正确. 综上,正确的有 4 个. 第 10 题解图 11. 128°　 12. AE=AC(答案不唯一) 13. 22　 【解析】∵ AB = 24 m,BC = 7 m,DE = 20 m,∠ABC = ∠EDC= 90°,∴ AC= 　 AB2 +BC2 = 　 242 +72 = 25(m),∵ 梯子长度不变,∴ EC = AC = 25 m,∴ CD = 　 EC2 -DE2 = 　 252 -202 = 15(m),∴ BD=BC+CD= 7+15 = 22(m) . 14. 2 　 【解析】如解图,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H,设 BH = x,∵ ∠A = 45°, ∴ △ABH 是等腰直角三角形, ∴ AB = 2BH= 2 x,∵ ∠C= 30°,∴ BC = 2BH = 2x,∴ thiA = BC AB = 2x 2 x = 2 . 第 14 题解图 15. 12 5 或 8 3 　 【解析】设 AD= x,则 CD=AC-AD= 6-x,∵ 折叠 △ADE 得到△A′DE,∴ A′D = AD = x,当△A′DC∽△BAC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 901 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 时,A′D ∶BA = DC ∶ AC, ∴ x ∶ 4 = ( 6 - x) ∶ 6, ∴ x = 12 5 ;当 △A′DC∽△ABC 时,A′D ∶AB=DC ∶BC,∴ x ∶4 = (6-x) ∶5, ∴ x= 8 3 ,∴ AD 的长是 12 5 或 8 3 . 16. 3 3 　 【解析】如解图①,连接 CF,则有 CE+EF≥CF,∴ CE+EF 的最小值为 CF 的长,如解图②,过点 C 作 CF⊥ AB 交 AD 于点 E,则此时 CF 的值最小,∵ △ABC 为等边 三角形,边长为 6, ∴ BF = 1 2 AB = 1 2 × 6 = 3, ∴ CF = BC2 -BF2 = 62 -32 = 3 3 , ∴ CE + EF 的最小值为 3 3 . 第 16 题解图 17. 解:如解图,过点 E 作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G, 则四边形 EFBG 是矩形, ∴ EF=GB,EG=FB, 在 Rt△EGC 中,i= EG CG = 3 4 ,CE= 5 米, ∴ EG= 3 米,CG= 4 米, ∴ BG=BC+CG= 12(米),BF=EG= 3 米, ∴ EF=BG= 12 米, 在 Rt△AEF 中,AF=EF·tan∠AEF≈12×1. 11=13. 32(米), ∴ AB=AF+BF= 13. 32+3≈16. 3(米) . 答:樟树 AB 的高度约为 16. 3 米. 第 17 题解图 18. (1)证明:∵ AF⊥BC 于点 F,AG⊥DE 于点 G, ∴ ∠AGE= ∠AFB= 90°, ∴ ∠BAF+∠B= ∠EAG+∠AEG= 90°. ∵ ∠BAF= ∠EAG, ∴ ∠B= ∠AEG, 又∵ ∠BAC= ∠EAD, ∴ △ABC∽△AED; (2)解:∵ ∠AGE= 90°,AG= 2,EG= 1, ∴ AE= AG2 +EG2 = 22 +12 = 5 . ∵ ∠BAF= ∠EAG,∠AFB= ∠AGE, ∴ △AFB∽△AGE, ∴ AF AG =AB AE , ∴ AF= AB AE ·AG= 5 5 ×2 = 2 5 . 第五章诊断卷　 四边形(1) 1. A 第 2 题解图 2. C　 【解析】如解图,延长 a,b 交于点 C, ∵ a⊥b,∴ ∠ACB= 90°,∴ 正多边形的一 个外角为 180°-90° 2 = 45°,∴ n= 360° 45° = 8. 3. D　 【解析】 ∵ AC + BD = 16, ∴ 1 2 AC + 1 2 BD= 8,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC,BD 相交于 点 O,∴ AD=BC = 6,OA =OC = 1 2 AC,OD = OB = 1 2 BD,∴ OA+OD= 1 2 AC+ 1 2 BD= 8,∵ AD= 6,∴ OA+OD+AD = 8+6 = 14,∴ △AOD 的周长为 14. 4. D　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠ACD = 45°, ∠ADC= 90°,∵ △ADE 为等边三角形, ∴ ∠ADE = 60°, ∴ ∠CDE= ∠ADC - ∠ADE = 90° - 60° = 30°, ∴ ∠EFC = ∠ACD+∠CDE= 45°+30° = 75°. 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,OB= 4. 5,∴ BD = 2OB = 9,AO = CO,又∵ S菱形 ABCD = 1 2 AC·BD = 36,∴ AC = 8, ∵ AH⊥BC,AO=CO= 4,∴ 在 Rt△AHC 中,OH= 1 2 AC= 4. 6. A　 【解析】如解图,连接 AP,过点 A 作 AH⊥PD 于点 H, ∵ 四边形 PDEF 是矩形,∴ ED=AH=FP,S矩形PDEF =PD·ED, ∴ S矩形PDEF = PD·AH, ∵ S△ADP = 1 2 PD·AH, ∴ S矩形PDEF = 2S△ADP,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = AB = 1,∠BAD = 90°,∴ S△APD = 1 2 AD·AB = 1 2 ×1×1 = 1 2 ,∴ S矩形PDEF = 2× 1 2 =1. 第 6 题解图 　 　 第 7 题解图 7. D　 【解析】如解图,连接 AC,BD 交于点 O,BD 与 EF 交于 点 M,∵ E,F,G,H 分别为 CD,AD,AB,BC 的中点,∴ EF􀱀 1 2 AC,GH􀱀 1 2 AC,EH􀱀 1 2 DB,FG􀱀 1 2 BD,∴ EF􀱀GH,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形,∵ AC =BD,∴ EF =EH,∴ 平 行四边形 EFGH 是菱形,∵ AC⊥BD,∴ ∠AOD= 90°,∵ EF ∥AC,∴ ∠FMO= 90°,∵ EH∥DB,∴ ∠FEH = 90°,∴ 菱形 EFGH 是正方形. 8. B　 【解析】如解图,设 AD 与 y 轴交于点 E,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD=AB,∵ AD= 8,∠A= 60°,∴ △ABD 是 等边三角形, ∴ ∠ADB = 60°,BD = AD = 8, ∵ O 是菱形 ABCD 的对角线 BD 的中点,∴ OD = 1 2 BD = 4,∵ AD∥x 轴,∴ ∠DEO= 90°,∴ ∠EOD= 30°,∴ DE = 1 2 OD = 2,OE 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 011