第三章诊断卷 函数(2)-【一战成名新中考】2025山东中考数学·三轮复习·抢分练小卷

抢分练小卷·山东数学　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 章 诊 断 卷 第三章诊断卷　 函数(2) 限时:45 分钟 用时:　 　 　 　 分钟 满分:100 分 得分:　 　 　 　 分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 每小题只有一个选项符合题目要求. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 已知点 P(m+2,2m-4)在 x 轴上,则点 P 的坐标 是 (　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (4,0) B. (0,4) C. ( -4,0) D. (0,-4) 2. 在正比例函数 y= -3x 的图象上的点是 (　 B　 ) A. ( 1 3 ,1) B. ( - 1 3 ,1) C. ( - 1 3 ,-1) D. (0,1) 3. 若反比例函数 y= 2 -m x 的图象在第一、三象限,则 m 的值可以是 (　 A　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在平面直角坐标系中,若直线 y = x+2 是由直线 y= x-2 沿 x 轴向左平移 m(m>0)个单位长度得 到的,则 m 的值为 (　 D　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若点 A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例 函数 y= 5 x 的图象上,则 x1,x2,x3 的大小关系是 (　 B　 ) A. x1 <x2 <x3 B. x1 <x3 <x2 C. x3 <x2 <x1 D. x2 <x1 <x3 6. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,菱形 AOBC 的 顶点 A 在 x 轴负半轴上,顶点 B 在直线 y = 3 4 x 上,若点 B 的横坐标是 8,则点 C 的坐标为 (　 B　 ) 第 6 题图 A. ( -1,6) B. ( -2,6) C. ( -3,6) D. ( -4,6) 7. 在物理学中,功率表示做功的快慢,功与做功时 间的比叫作功率, 即所做的功一定时, 功率 P(kW)与做功所用的时间 t(s)成反比例函数关 系,图象如图所示,下列说法不正确的是 (　 C　 ) 第 7 题图 A. P 与 t 的函数关系式为 P= 60 t B. 当 t= 5 s 时,P= 12 kW C. 当 t>5 s 时,P>12 kW D. P 随 t 的增大而减小 8. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y = x 与反 比例函数 y= 4 x (x>0)交于点 A,将直线 y = x 沿 y 轴向上平移 b 个单位长度,交 x 轴于点 C,若 BC= 2OA,则 b 的值为 (　 D　 ) 第 8 题图 A. 1. 5 B. 2 C. 2. 5 D. 3 9. 定义:在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P 的横坐 标与纵坐标的和为零,则称点 P 为“零和点” . 已 知二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)的图象上有 2 个 “零和点”,且都在第二象限,则二次函数 y = ax2 -(1+b)x+c 的图象不经过 (　 C　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 抢分练小卷·山东数学　 章 诊 断 卷 10. 如图,在 Rt △ABC 中,∠C = 90°,AB = 5,BC = 5 ,点 D 在折线 A-C-B 上运动,过点 D 作 AB 的垂线,垂足为 E. 设 AE= x,S△ ADE = y,则 y 关于 x 的函数图象大致是 (　 A　 ) 第 10 题图 　 　 　 第 13 题图 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 函数 y=x -1 x 的自变量 x 的取值范围是　 x>0　 . 12. 在弹性限度内,弹簧的长度 y(cm)是所挂物体 质量 x(kg)的一次函数. 一根弹簧不挂物体时 长 12. 5 cm,当所挂物体的质量为 2 kg 时,弹簧 长 13. 5 cm,当所挂物体的质量为 5 kg 时,弹簧 的长度为　 15　 cm. 13. 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象,由图 象可知不等式 ax2 +bx+c<0 的解集是 　 . 14. 在平面直角坐标系中,若将抛物线 y = x2 -3 向 上平移 m(m>0)个单位长度后的抛物线与 x 轴 只有一个交点,则 m 的值为　 　 3　 . 15. 如图,Rt△AOB 的直角顶点在坐标原点 O 上, 点 A 在反比例函数 y= 4 x (x>0)的图象上,点 B 在反比例函数 y= - 1 x (x<0)的图象上,则 tanA 的值为　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 第 16 题图 16. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴是直 线 x = - 1,并与 x 轴交于 A,B 两点,若 OA = 3OB,则下列结论中:①abc>0;②(a+c) 2 -b2 = 0;③3a+ 2c< 0;④若 m 为任意实数,则 am2 + b(m+1)≥a,正确的有　 ②③④　 (填序号) . 三、解答题:本题共 2 小题,共 36 分. 解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 16 分) 党的二十大报告提出:“加快建设高质量教育 体系,发展素质教育” . 为扎实做好育人工作, 某校深入开展“阳光体育”活动. 该校计划购买 乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间” 和学生社团活动. 已知一副羽毛球拍比一副乒 乓球拍多 30 元,且用 1 000 元购买乒乓球拍的 数量和用 2 000 元购买羽毛球拍的数量相等. (1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格; (2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共 100 副,且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数 量的 2 倍,要想花费的资金总额最少,则最 多购买乒乓球拍多少副? 资金总额最少为 多少元? 解:(1)每副乒乓球拍的价格是 30 元,每副羽毛球拍 的价格是 60 元; (2)要想花费的资金总额最少,则最多购买乒乓球拍 66 副,资金总额最少为 4 020 元. 详解见《分层作业本》P. 18. (本小题满分 20 分) 已知二次函数 y = ax2 +bx+ 3( a≠0) 的图象过 点(1,0) . (1)若该函数图象的对称轴为直线 x = -1,求该 函数的表达式; (2)在(1)的条件下,当 n≤x≤n+4 时,函数 y 有最小值-5,求 n 的值; (3)已知 a>0,二次函数的图象经过点(x1,y1 ), (x2,y2),x1 +x2 = 4,且 x1 <x2,试比较 y1 与 y2 的大小. 解:(1)该函数的表达式为 y=-x2-2x+3; (2)n 的值为-4 或-2; (3)当 a=1 时,y1 =y2; 当 a>1 时,y1<y2; 当 0<a<1 时,y1>y2 . 详解见《分层作业本》PX. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 ∴ 抛物线的解析式为 y = 1 2 ( x- 3 2 ) 2 - 25 8 ,即 y = 1 2 x2 - 3 2 x-2; (2)如解图,过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G,交 BC 于点 F, 过点 A 作 AK⊥x 轴交 BC 的延长线于点 K, 第 18 题解图 ∴ AK∥DG,∴ △DFE∽△AKE,∴ DF AK =DE AE , ∴ S1 S2 = S△BDE S△ABE =DE AE =DF AK , 令 y= 1 2 x2 - 3 2 x-2 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 4, ∴ A( -1,0),B(4,0), 设直线 BC 的解析式为 y= kx+b, ∴ 4k+b= 0, b= -2,{ 解得 k= 1 2 , b= -2, { ∴ 直线 BC 的解析式为 y= 1 2 x-2, ∵ A( -1,0),∴ xK = -1, ∴ yK = - 1 2 -2 = - 5 2 ,∴ AK= 5 2 , 设 D(m, 1 2 m2 - 3 2 m-2),则 F(m, 1 2 m-2), ∴ DF= 1 2 m-2-( 1 2 m2 - 3 2 m-2)= - 1 2 m2 +2m. ∴ S1 S2 = - 1 2 m2 +2m 5 2 = - 1 5 m2 + 4 5 m= - 1 5 (m-2) 2 + 4 5 . ∴ 当 m= 2 时, S1 S2 有最大值,最大值是 4 5 , 此时 D(2,-3); (3)存在. ∵ 直线 l 过点 O,l∥BC,∴ 直线 l 的解析式为 y= 1 2 x, 设 P(n, 1 2 n),∵ P,Q 在 y 轴右侧,∴ n>0,且 xQ>0. ①当 AB 为边时,PQ∥AB,PQ=AB= 5, 若点 Q 在点 P 左侧时,Q(n-5, 1 2 n), ∴ 1 2 n= 1 2 (n-5) 2 - 3 2 (n-5) -2, 解得 n= 13 +7 或 n= - 13 +7(舍去), ∴ P( 13 +7, 13 +7 2 ); 若点 Q 在点 P 右侧时,Q(n+5, 1 2 n), ∴ 1 2 n= 1 2 (n+5) 2 - 3 2 (n+5) -2, 解得 n= - 3 -3(舍去)或 n= 3 -3(舍去); ②当 AB 为对角线时, ∵ AB 与 PQ 互相平分,AB 的中点坐标为( 3 2 ,0), ∴ Q(3-n,- 1 2 n), ∴ - 1 2 n= 1 2 (3-n) 2 - 3 2 (3-n) -2, 解得 n= 5 +1(舍去)或 n= - 5 +1(舍去), 综上所述,点 P 的坐标为( 13 +7, 13 +7 2 ) . 第三章诊断卷　 函数(2) 1. A　 2. B　 3. A 4. D　 【解析】∵ 直线 y= x-2 沿 x 轴向左平移 m(m>0)个单 位长度,∴ y= (x+m) -2 = x+m-2,∴ m-2 = 2,解得 m= 4. 5. B　 【解析】∵ k = 5> 0,∴ 反比例函数 y = 5 x 的图象在第 一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,∵ 点 A(x1 ,-1),B(x2 ,1),C(x3 ,5)都在反比例函数 y= 5 x 的图 象上,∴ 点 A(x1 ,-1)在第三象限,B(x2 ,1),C(x3 ,5)在第 一象限,且 1<5,∴ x1 <0,x2 >x3 >0,∴ x1 <x3 <x2 . 6. B　 【解析】当 x= 8 时,y = 3 4 ×8 = 6,∴ 点 B 的坐标为(8, 6),∴ OB= 　 (8-0) 2 +(6-0) 2 = 10. ∵ 四边形 AOBC 是菱 形,且 AO 在 x 轴上,∴ BC =OB = 10,且 BC∥x 轴,∴ 点 C 的坐标为( -2,6) . 7. C　 【解析】设功率 P(kW)与做功的时间 t(s)的函数解析 式为 P= k t (k≠0,t>0),把(15,4)代入解析式,得 4 = k 15 , 解得 k= 60,∴ 功率 P( kW)与做功的时间 t( s)的函数解 析式为 P= 60 t ( t>0),故 A 正确,不符合题意;当 t= 5 s 时, P = 60 5 = 12 kW,故 B 正确,不符合题意;由题图可知,当 t> 5 s 时,P<12 kW,故 C 错误,符合题意;∵ 60>0,∴ 在第一 象限内,P 随 t 的增大而减小,故 D 正确,不符合题意. 8. D　 【解析】如解图,分别过点 A,B 作 AD⊥x 轴于点 D,BE ⊥x 轴于点 E,则∠ADO = ∠BEC = 90°,∵ 直线 y = x 与反 比例函数 y = 4 x ( x> 0)的图象交于点 A,∴ y= x, y= 4 x ,{ 解得 x= 2, y= 2{ 或 x= -2, y= -2{ (舍去),∴ A(2,2),∴ AD = 2,由平移知 BC∥OA, ∴ ∠AOD = ∠BCE, ∴ △AOD∽ △BCE, ∴ AD BE = OA BC ,∴ 2 BE = 1 2 ,∴ BE= 4,∴ 点 B 的纵坐标为 4,把 y = 4 代 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 601 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 入 y= 4 x ,得 4 = 4 x ,解得 x = 1,∴ B(1,4),∵ 将直线 y = x 沿 y 轴向上平移 b 个单位长度得到直线 y= x+b,∴ 把点 B 的坐标代入得 1+b= 4,解得 b= 3. 第 8 题解图 9. C　 【解析】由题意得点 P 在直线 y = -x 上,∵ 二次函数 y =ax2 +bx+c(a>0)的图象上有 2 个“零和点”,且都在第二 象限,∴ 二次函数 y = ax2 +bx+c(a>0)的图象的对称轴在 y 轴的左侧,与 y 轴的交点在正半轴,∴ - b 2a <0,c>0,∵ a> 0,∴ b>0,∴ b+1>0,∴ 二次函数 y=ax2 -(1+b)x+c 的图象 的对称轴为直线 x= - -(1+b) 2a = 1 +b 2a >0,∵ a>0,c>0,∴ 二 次函数 y = ax2 -(1+b) x+c 的图象经过第一、二、四象限, ∴ 二次函数 y=ax2 -(1+b)x+c 的图象不经过第三象限. 10. A　 【解析】由题意得,AC = AB2 -BC2 = 2 5 ,当点 D 与 点 C 重 合 时, 易 得 DE = 2 5 × 5 5 = 2, 此 时 AE = (2 5 ) 2 -22 = 4. 当 0<x≤4 时,易得△AED∽△ACB,∴ DE BC =AE AC ,∴ DE 5 = x 2 5 ,∴ DE= 1 2 x,∴ y = 1 2 AE·DE = 1 2 x · 1 2 x= 1 4 x2 ,∵ 1 4 >0,∴ 当 0<x≤4 时,y 关于 x 的函数 图象为开口向上的抛物线的一部分;当 4 < x < 5 时, △BDE∽△BAC,∴ DE AC =BE BC ,∴ DE 2 5 = 5 -x 　 5 ,∴ DE= 10-2x, ∴ y= 1 2 AE·DE= 1 2 x·(10-2x) = -x2 +5x,∵ -1<0,∴ 当 4<x<5 时,y 关于 x 的函数图象为开口向下的抛物线 的一部分. 只有选项 A 符合. 11. x>0 12. 15　 【解析】设 y 与 x 的函数关系式为 y = kx + 12. 5, ∵ x= 2 时,y= 13. 5,∴ 13. 5 = 2k+12. 5,解得 k = 0. 5,∴ y = 0. 5x+12. 5,∴ 当 x= 5 时,y= 0. 5×5+12. 5 = 15. 13. x<-1 或 x>5 14. 3　 【解析】抛物线 y = x2 -3 向上平移 m(m>0)个单位长 度后的抛物线解析式为 y= x2 -3+m,∵ 抛物线 y = x2 -3+ m 与 x 轴只有一个交点,即方程 x2 -3+m= 0 有两个相等 的实数根,∴ Δ= 02 -4( -3+m)= 0,解得 m= 3. 第 15 题解图 15. 1 2 　 【解析】如解图,过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C,过点 A 作 AD⊥x 轴 于点 D. ∵ 点 A 在反比例函数 y = 4 x (x>0)的图象上,点 B 在反比例 函数 y= - 1 x (x<0)的图象上,∴ S△BCO = 1 2 ×1 = 1 2 ,S△AOD = 1 2 × 4 = 2, ∵ ∠BOA = 90°, ∴ ∠BOC + ∠AOD = 90°, ∵ ∠AOD+∠OAD = 90°,∴ ∠BOC = ∠OAD,又∵ ∠BCO = ∠ADO= 90°,∴ △BCO∽△ODA,∴ S△BCO S△AOD = ( OB OA ) 2 ,∴ 1 2 2 = ( OB OA ) 2 ,即 1 4 = ( OB OA ) 2 ,∴ tanA= OB OA = 1 2 . 16. ②③④　 【解析】①观察图象可知 a>0,- b 2a <0,c<0,∴ b >0,∴ abc<0,故①错误,不符合题意;②∵ 抛物线的对称 轴为直线 x= -1,OA= 3OB,∴ OA= 3,OB= 1,∴ 点 A( -3, 0),点 B(1,0),∴ 当 x = 1 时,y = 0,即 a+b+c = 0,∴ (a+ c) 2 -b2 = (a+c+b) (a+c-b) = 0,故②正确,符合题意;③ 抛物线的对称轴为直线 x= -1,即- b 2a = -1,∴ b = 2a,∵ a +b+c= 0,∴ 3a+c= 0,∴ c= -3a,∴ 3a+2c= -3a,∵ a>0,∴ -3a<0,∴ 3a+ 2c< 0,故③正确,符合题意;④当 x = - 1 时,函数有最小值 y = a-b+c,∴ am2 +bm+c≥a-b+c,即 am2 +bm+b≥a,∴ 若 m 为任意实数,则 am2 +b(m+1) ≥ a,故④正确,符合题意. 综上所述,正确的有②③④. 17. 解:(1)设每副乒乓球拍的价格是 x 元,则每副羽毛球拍 的价格是(x+30)元. 根据题意,得 1 000 x = 2 000 x+30 ,解得 x= 30, 经检验,x= 30 是所列分式方程的根,且符合题意, ∴ 30+30 = 60(元) . 答:每副乒乓球拍的价格是 30 元,每副羽毛球拍的价格 是 60 元; (2)设购买乒乓球拍 a 副,则购买羽毛球拍(100-a)副. 根据题意,得 a≤2(100-a),解得 a≤ 200 3 , 设花费的资金总额为 W 元,则 W = 30a+ 60( 100 -a) = -30a+6 000, ∵ -30<0,∴ W 随 a 的增大而减小, ∵ a≤ 200 3 ,且 a 为正整数, ∴ 当 a = 66 时,W 取最小值,W最小 = - 30 × 66 + 6 000 = 4 020. 答:要想花费的资金总额最少,最多购买乒乓球拍66 副, 资金总额最少为 4 020 元. 18. 解:(1)由已知得 0 =a+b+3, - b 2a = -1,{ ∴ a= -1, b= -2,{ ∴ 该函数的表达式为 y= -x2 -2x+3; (2) n+n+4 2 =n+2, ①当 n+2≤-1,即 n≤-3 时, 当 n≤x≤n+4 时,y 在 x=n 处取得最小值, ∴ -n2 -2n+3 = -5, 解得 n= -4 或 n= 2(不合题意,舍去); ②当 n+2>-1,即 n>-3 时, 当 n≤x≤n+4 时,y 在 x=n+4 处取得最小值, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 701 参考答案与重难题解析·山东数学　 抢 分 练 小 卷 ∴ -(n+4) 2 -2(n+4) +3 = -5, 解得 n= -2 或 n= -8(不合题意,舍去) . 综上所述,n 的值为-4 或-2; (3)∵ 二次函数 y=ax2 +bx+3(a>0)的图象过点(1,0), ∴ 0 =a+b+3,∴ b= -a-3, ∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x= a+3 2a , ∵ x1 +x2 = 4,x1 <x2 , ∴ 2-x1 = x2 -2, ∴ 当 a+3 2a = 2,即 a= 1 时,y1 = y2 ; 当 a+3 2a <2,即 a>1 时,y1 <y2 ; 当 a+3 2a >2,即 0<a<1 时,y1 >y2 . 第四章诊断卷　 三角形(1) 1. A　 2. C 3. B　 【解析】∵ DE⊥AB,∴ ∠DHJ= 90°,∴ ∠AJG= ∠DJH = ∠D= 45°,∴ ∠AGF= ∠A+∠AJG= 30°+45° = 75°. 4. D 5. A　 【解析】∵ AD 为中线,∴ BD = CD,∵ △ABD 的周长为 AB+AD+BD,△ACD 的周长为 AC+AD+CD,∴ △ABD 与 △ACD 的周长之差为 AB+AD+BD-AC-AD-CD =AB-AC = 17-12 = 5. 6. B　 【解析】∵ 图形甲与图形乙是位似图形,O 是位似中 心,相似比为 2 ∶3,∴ AB A′B′ = 2 3 ,∵ AB= 6,∴ A′B′= 9. 7. C　 【解析】∵ AF⊥BF,点 D 是 AB 的中点,AB = 8,∴ DF = 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4,∵ EF= 2,∴ DE =DF+EF = 4+2 = 6,∵ 点 D,E 分别是 AB,BC 的中点,∴ DE 是△ABC 的中位线, ∴ AC= 2DE= 2×6 = 12. 8. C　 【解析】∵ DF 垂直平分 AC,∴ FA=FC,DF⊥AC,∴ ∠A= ∠FCA,∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A+∠B = 90°,∠FCA+∠FCB = 90°,∴ ∠B= ∠FCB,∴ FC =BF,在 Rt△FDC 中,E 为 CF 中 点,DE=2,∴ FC=2DE=4,∴ BF=4. 9. D　 【解析】∵ ∠CAD = 30°,CD = 3,∠D = 90°,∴ AC = 2CD = 6,AD= 3CD= 3 3 ,∴ 在 Rt△ADC 中,斜边 AC 上的高 是 AD·CD AC = 3 3 ×3 6 = 3 3 2 ,∵ AC = 6,∠B = 90°,∠BAC = 45°,∴ AB=BC = 2 2 AC = 3 2 ,∴ 在 Rt△ABC 中,斜边 AC 上的高是 BC·AB AC = 3 2 ×3 2 6 = 3,∵ 3 < 3, 3 < 3 2 　 3 ,点 P 是四边形 ABCD 边上的一个动点,点 P 到 AC 的距离为 　 3 ,∴ 点 P 的位置在 AB,BC,AD,CD 上都可以,即满足条 件的点 P 有 4 处. 第 10 题解图 10. B　 【解析】如解图,过 点 D 作 DG∥AB 交 BC 于点 G,作 DP⊥BC 于 点 P, ∵ △ABC 是等边 三角 形, ∴ AB = BC = AC, ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC= 60°,∵ DG∥AB,∴ ∠CDG = ∠BAC = 60°,∠CGD = ∠CBA = 60°, ∴ △CDG 是等边三角形, ∴ CD = CG = DG,设 AB=BC= AC = 5a,∵ AD ∶CD = 3 ∶ 2,∴ CD = 2a,∴ CG= 2a,∴ CP=PG= a,∴ BP =BC-CP = 5a-a = 4a,∵ BD =DE,DP⊥BE,∴ PE=PB= 4a,BE =PE+PB = 8a,∴ GE = PE+PG= 4a+a= 5a,∵ DG∥AB,∴ △EDG∽△EFB,∴ ED EF =EG EB = 5a 8a = 5 8 ,∴ ED FD = 5 3 ,∴ BD FD = 5 3 . 11. 9 　 【解析】 ∵ DF∥BC, ∴ ∠DEB = ∠EBC, ∠FEC = ∠ECB,∵ BE,CE 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线, ∴ ∠DBE= ∠EBC,∠FCE = ∠ECB,∴ ∠DBE = ∠DEB, ∠FEC= ∠FCE,∴ BD=DE,EF=FC,∴ △ADF 的周长为 AD+DF+AF=AD+DE+EF+AF =AD+BD+FC+AF = AB+AC = 5+4 = 9. 12. 3 5 　 【解析】当 AB 为腰时,底边长为 7 cm,3+3<7,不能 组成三角形;当 AB 为底边时,腰长为 5 cm,能组成三角 形,此时,“优美比”k= 3 5 . 13. 1 4 　 【解析】∵ ∠B = ∠FAC,∠C 为公共角,∴ △FAC∽ △ABC,∴ AC BC = FC AC ,即 AC2 = FC·BC,∵ BE = 7,EF = 5, FC= 4,∴ BC=BE+EF+FC = 7+5+4 = 16,∴ AC2 = 4×16 = 64,解得 AC = 8,∵ BD = AC,∴ BD = 8,∵ ∠BDE = ∠C, ∠B 为公共角, ∴ △EBD∽ △ABC, ∴ S△BDE S△ABC = ( BD BC ) 2 = ( 8 16 ) 2 = 1 4 . 14. 96 　 【解析】 由题图可得, a2 + b2 = c2 , ∵ b - a = 4, ∴ a2 +b2 = 202 , b-a= 4,{ 且 a,b 均大于 0,解得 a= 12, b= 16,{ ∴ 每个直角 三角形的面积为 1 2 ab= 1 2 ×12×16 = 96. 15. 5 　 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵ ∠C = 90°,∴ tanA= BC AC = 1 2 ,即 5 AC = 1 2 ,解得 AC = 2 5 ,∴ AB = 　 AC2 +BC2 = (2 　 5 ) 2 +( 5 ) 2 = 5. ∵ tanA = DE AE = 1 2 , tan∠ABD= DE BE = 1 3 ,∴ 可设 DE = x,则 AE = 2x,BE = 3x. ∵ AE+BE=AB,∴ 2x+3x= 5,解得 x = 1,∴ DE = 1,AE = 2, ∴ AD= 　 DE2 +AE2 = 　 5 ,∴ CD=AC-AD= 2 5 - 5 = 5 . 第 15 题解图 　 　 第 16 题解图 16. 3　 【解析】 ∵ CD⊥AB,DN⊥MD,BM⊥AC,∴ ∠BDC = ∠NDM= ∠AMB = 90°, ∴ ∠BDN = ∠CDM, ∴ ∠ABM = 90° - ∠A = ∠ACD, 在 △DBN 和 △DCM 中, ∠BDN= ∠CDM, BD=CD, ∠DBN= ∠DCM, { ∴ △DBN ≌ △DCM ( ASA), ∴ DN = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 801