湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

湖南省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 化简：（   ）．

A.  B.  C.  D.

2. 若复数，则（   ）

A. 2 B.  C. 10 D.

3. 已知平面向量，，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，则（    ）

A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4

5. 若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展.现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长

是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（   ）

A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 给出下列命题，其中是真命题的有（    ）

A. 在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的立体图形是棱锥

C. 存在每个面都是直角三角形的四面体

D. 半圆面绕其直径所在的直线旋转一周形成球

10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ）

A. 若，则 B. 若，则是实数

C. 若，则是纯虚数 D. 若，则

11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（    ）

A.

B. 当时，

C. 面积的最大值为

D. 游览路线最长为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______.

13. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______．

14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数，（，为虚数单位）．

（1）若为纯虚数，求实数的值；

（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．

16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.

（1）求所得几何体的体积；

（2）求所得几何体的表面积.

17. 在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记.