广东省东莞市三校（大岭山中学、莞美中学、众美中学）2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2024-2025学年第二学期高一期中三校联考试卷 数学 考试范围：必修第二册第六章､第七章､第八章前五节；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解. 【详解】由题意可知：， 由，可得. 故选：B. 2. 已知向量．若与平行，则实数λ值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示计算得解. 【详解】由，得，而，与平行， 因此，解得， 所以实数λ的值为. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形， 所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体， 故C错误； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误； 故选：B. 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：C. 5. 如图，四边形斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D 6. 已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的定义，由可得，再以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，设，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】∵，，， ∴， 即，即， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， ∴，，，， 设， ∴， ∴， 设，∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，， 则的取值范围是. 故选：A. 7. 在中，分别是三内角的对边，若满足条件的三角形的解有两个，则的长度范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的解有两个，可得，然后求出的范围． 【详解】因为满足条件，的三角形的解有两个， 所以，所以， 所以的取值范围为． 故选：C． 8．如图，在平面四边形ABDC中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即. 所以，同时. 在中，，根据余弦定可得：，即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到. 设，则.解得，即. 当且仅当取得最值. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答 【详解】对于A，，则有两解，A是； 对于B，，且，则为锐角，只有一解，B不是； 对于C，，则为锐角，只有一解，C不是； 对于D，，则有两解，D是. 故选：AD 10．如果一个几何体仅有5个面，则这个几何体可能是（    ） A．三棱台 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】ABC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据多面体的概念判断即可． 【详解】因为四棱柱有6个面，所以D项不正确，三棱台，四棱锥和三棱柱都有5个面， 故选：ABC． 11. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形的面积不改变 C. 棱始终与平行 D. 当时，是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形的面积是改变的可判断B；由可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D. 【详解】将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行， 根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误； 由，故C正确； 由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变， 由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解. 【详解】设复数，则，且. ， 当时，取到最大值16， 所以. 故答案为：4. 13. 已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为12，则这个球的体积为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】正方体内接在求体内，正方体的体对角线是球体的直径，根据正方体的表面积求解出棱长，进而求解出正方体的体对角线长，根据球体体积公式求解出球体体积. 【详解】设正方体的棱长为a， ∵正方体的表面积为12， ∴， 则，即， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即， 即， 则球的体积； 故答案为：. 14．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据直棱柱的体积公式，可得答案. 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（满分13分） 已知复数． （1）求； （2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法求，进而求模长； （2）将代入方程，根据复数相等列式求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 小问2详解】 由（1）可得：， 将代入方程得：， 则，解得：． 16.（满分15分） 已知， （1）当k为何值时，与平行： （2）若，求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出与坐标，根据共线向量坐标的关系，即可求解； （2）由的坐标关系求出，进而求出坐标，即可求解. 【详解】（1），，， ，与平行， ； （2）， ， . 17．（满分15分 ）如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 【答案】(1)； (2)最小值为，且取最小值时. 【知识点】棱锥的展开图、台体体积的有关计算 【分析】（1）作点在平面内的射影，连接，根据题意可知，是等边三角形的中心，从而求出，利用勾股定理得到，求得结果； （2）将平面与展开到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出结论. 【详解】（1）作点在平面内的射影，连接.    根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 所以. （2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知.    在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以 所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 18 （满分17分） 已知在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1)1 (2)3 【解析】（1）已知， 则由正弦定理有. 又∵，则， 因为为三角形内角，则，. （2）由题可知：，所以， 由余弦定理可得，即， 所以，可得，则， 所以的周长为. 19.（满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是矩形． （1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点．求证：平面． （2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）在上是存在中点，使平面成立，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取上靠近的三等分点，连接，可得进而证明平面，同理证明平面，得出面平面即可证明； （2）存在中点，连，使，连，得出即可证明. 【详解】（1）如图，取上靠近的三等分点，连接， 中，， 则又平面，平面， 平面，同理，平面，又， ∴平面平面，又平面， ∴平面． （2）存在中点，使平面成立． 取中点，连，使，连． 是矩形，是的中点， 又是上靠近点的一个三等分点，且是中点， 是的中点， 中，， 又平面，平面， 平面， 故在上是存在中点，使平面成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024～2025 学年度第二学期三校联考 高一数学 命题人：众美中学 审题人：大岭山中学 莞美学校 说明：本试题共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 第 I卷（选择题） 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1. 已知复数 z满足  1 i 1 iz    ， i为虚数单位，则 z （ ） A. i B. 2 2 i 2 2  C. 1 1 i 2 2  D. 2 2 i 2 2  2. 已知向量 (1,2), (1, 1), (4,5)a b c       ．若a  与b c   平行，则实数λ的值为（ ） A. 1 14 B. 1 14  C. 1 D. 1 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4. 如图所示，点 E为 ABC 的边 AC的中点，F为线段 BE上靠近点 B的三等分点，则 AF   （ ） A. 1 2 3 3 BA BC   B. 4 2 3 3 BA BC   C. 5 1 6 6 BA BC    D. 2 1 3 3 BA BC    5. 如图，四边形 ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形 A B C D   ．已知 4A B   ， 2C D   ，则下列 说法正确的是（ ） A. 2AB  B. 2 2AD   C. 四边形 ABCD的周长为 4 2 2 2 3  D. 四边形 ABCD的面积为 6 2 2 6. 已知平行四边形 ABCD 中， 4, 2, 4AB AD AB AD      ，点 P在线段 CD 上（不包含端点），则PA PB   的取值范围是（ ） A.  1,8 B.  0,8 C. [ )1,10 D.  0,10 7. 在 ABC 中， , ,a b c分别是三内角 , ,A B C的对边，若满足条件 4, 60c B   的三角形的解有两个， 则b的长度范围是（ ） A.  0,2 B.  2 , 4 C.  2 3 ,4 D.  4, 8．如图，在平面四边形 ABDC 中， 2, 30 , , 120AB ABC AC CB BDC       ， 则 2 2DB DC 的最小值为（ ） A． 3 B．2 C．2 3 D．4 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9． 在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ） A. 5, 4, 30a b A    B. 11, 10, 60b c B    C. 3, 1, 90a c A    D. 12, 16, 45a b A    10．如果一个几何体仅有 5个面，则这个几何体可能是（ ） A．三棱台 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 11. 如图，在透明塑料制成的长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC固定于 地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ） A. 水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B. 水面四边形 EFGH 的面积不改变 C. 棱 1 1AD 始终与 FG平行 D. 当 1E AA 时， AE BF 是定值 第 II 卷（非选择题） 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分. 12. 已知复数 z满足 1z  ，则 3iz  的最大值为________． 13. 已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，且这个正方体的表面积为 12，则这个球的体积为 _______. 3 14．如图，一个高为 1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另 一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到 的面积为底面积的 1 4 ，则容器在原来位置时的水深 h为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（满分 13 分） 已知复数 5 1 2i z   ． （1）求 | |z ；（2）若 z是关于 x的方程 2 0x ax b   的一个根，求实数 a，b的值． 16.（满分 15 分） 已知 (1,0)a   ， (2,1)  b （1）当 k为何值时， ka b   与 3a b   平行：（2）若  b a tb    ，求 a tb   的值 17．（满分 15 分 ）如图，已知四面体 ABCP  的棱长均为 6，棱 , ,PA PB PC的中点分别为 , ,D E F，用 平面DEF 截四面体 ABCP  ，得到三棱台DEF ABC . (1)求三棱台DEF ABC 的体积； (2)若M为棱 BC上的动点，求EM MA 的最小值，并求取最小值时线段 BM 的长度. 4 18.（满分 17 分） 已知在△ ���中，内角�,�,�的对边分别为�,�,�，且满足�cos� + �cos� = �2． (1)求�；(2)若� = π 3 ，且�△��� = 3 4 ，求△���的周长． 19.（满分 17 分） 如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD是矩形． （1）设M 为OA上靠近A的三等分点，N 为 BC上靠近 B的三等分点．求证： / /MN 平面OCD． （2）设 E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点 F ，使 //BF 平面 ACE成 立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．