1.2 课时2 圆的一般方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章 直线与圆 2 圆与圆的方程 课时2 圆的一般方程 1 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理) 2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.(数学运算) 3.明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤,弄清楚轨迹与轨迹方程的区别.(数学抽象) 学习目标 2 1.方程表示什么图形? 表示什么图形? [答案] 对方程配方,得 ,它表示圆 心为,半径为2的圆;对方程 配方,得 ,由于不存在点 满足这个方程,所以它不表示任何图形. 自主预习 3 2.把 配方后,将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆? [答案] 得到的方程为 . 当时,该方程表示以,为圆心, 为半径的圆; 当时,方程只有实数解,,即只表示一个点 , ; 当 时,方程没有实数解,因此它不表示任何图形. 3.所有形如 的二元二次方程都表示圆吗? [答案] 不是,只有当 时才表示圆. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1) 方程 表示圆.( ) (2) 方程 表示圆.( ) √ (3) 圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ 2.圆 的圆心坐标是( ) . D A. B. C. D. [解析] ,, 圆的圆心坐标是 . 自主预习 5 3.若方程表示一个圆,则实数 的取值范围为( ) . D A. B. C. D. [解析] 方程表示圆 . 自主预习 6 4.若圆的直径为3,则 的值为_. [解析] ,, . 自主预习 7 探究1 圆的一般方程 已知圆心,半径为2,其标准方程为 . 问题1: 上述方程能否化为二元二次方程的形式? [答案] 可以, . 问题2: 方程 是否表示圆? [答案] 配方得 ,方程不表示圆. 合作探究 8 问题3: 怎样理解圆的一般方程? [答案] 圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点:, 的系数相等且不为0;没有 项.对方程,只有当 时才表示圆. 合作探究 9 1.圆的一般方程的概念: 当_时,二元二次方程 叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径: 方程表示的圆的圆心坐标为, , 半径长为_. 3.当时,表示一个点, . 4.当 时,方程不表示任何图形. 合作探究 10 例1(1) 若表示圆,则实数 的取值范围是( ) . B A. B. C. D. [解析] 由方程可得 ,此方程 表示圆,则,解得.故实数的取值范围是 .故选B. 合作探究 11 (2) 已知,方程 表示圆,则圆心坐标是 _,半径是_. 5 [解析] 由题可得,解得或 . 当时,方程为,表示圆,故圆心坐标为 , 半径为5.当 时,方程不表示圆. 合作探究 12 方法总结 形如 的二元二次方程,判定其是否表示圆时可用如下 两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令 ,成立则表示圆,否则不 表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是 这种标准 形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 巩固训练 已知方程 表示一个圆. (1)求实数 的取值范围; (2)求圆的周长的最大值. 合作探究 13 [解析] (1)原方程可化为 , 若该方程表示一个圆,则,解得 , 即实数的取值范围是 . (2)圆的半径,当且仅当 时,半 径取得最大值,最大值为,所以圆的周长的最大值为 . 合作探究 14 探究2 待定系数法 问题1: 什么是待定系数法? [答案] 待定系数法是一种求未知数的方法.将一个多项式表示成另一种含有待定系数 的新的形式,这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或 方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关 系式,这种解决问题的方法叫作待定系数法. 问题2: 圆的方程 含有几个参数?已知三点求圆的方程,用 什么方法? [答案] 圆的一般方程含有三个参数.已知三点求圆的方程,常用待定系数法. 合作探究 15 求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤如下: (1)根据题意选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于,,或,, 的方程组; (3)解出,,或,, ,得到圆的标准方程或一般方程. 合作探究 16 例2 [2022年全国乙卷] 过四点,,, 中的三点的一个圆的方程为 _ _. 或或 或 合作探究 17 [解析] 依题意,设圆的方程为 , 若圆过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 ; 若圆过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 ; 合作探究 18 若圆过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 ; 若圆过点,,,则解得 所以圆的方程为,即 . 合作探究 方法总结 待定系数法求圆的方程的解题策略:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半 径,或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出 ,, (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再 用待定系数法求出常数,, . 巩固训练 已知的三个顶点为,,,求 的外接圆 的标准方程. 合作探究 20 [解析] (法一)设的外接圆方程为 , 点,, 在圆上, 的外接圆方程为 , 即外接圆的标准方程为 . (法二), , , , 是以角 为直角的直角三角形, 外心是线段的中点,其坐标为,圆的半径 , 外接圆的标准方程为 . 合作探究 21 探究3 求轨迹方程 这是运用连拍摄影技术拍出的 自行车一秒的运动轨迹. 问题1: 把平面上所有单位向量的起 点放到坐标原点,终点的轨迹是什 么图形?能写出轨迹方程吗? [答案] 终点的轨迹是圆,轨迹方程是 . 合作探究 22 问题2: 轨迹与轨迹方程是一个概念吗? [答案] 不是一个概念,点的轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形,点的轨迹方程 是指点的坐标满足的关系式. 合作探究 23 1.求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标 所满足的关系式,并把这个方 程化成最简形式,如果题目中没有坐标系,那么就要先建立适当的平面直角坐标系. 合作探究 24 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下: 合作探究 25 (2)代入法(也称相关点法):若动点跟随某条曲线(直线) 上的一个动点 的运动而运动,则找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方 程.具体步骤如下: ①设所求轨迹上任意一点,与点相关的动点 ; ②根据条件列出,与,的关系式,求得,(即用, 表示出来); ③将,代入已知曲线的方程,从而得到点 满足的关系式即为所求的轨迹方程. (3)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. 合作探究 26 例3 已知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线 上. (1)求圆 的方程; (2)线段的端点的坐标是,端点在圆上运动,求线段的中点 的轨迹 方程. 合作探究 27 [解析] (1)设点为线段的中点,直线为线段的垂直平分线,则 . 又,所以 , 所以直线的方程为 . 由得圆心 , 则半径 , 所以圆的方程为 . 合作探究 28 (2)设点, . 因为点的坐标为 , 所以即 又点在圆 上运动, 所以 , 即 . 整理得 . 即所求线段的中点的轨迹方程为 . 合作探究 29 方法总结 一般地,求轨迹方程就是求等式,就是找等量关系,把等量关系用数学语言表达出 来,再进行变形、化简,就会得到相应的轨迹方程,所以找等量关系是解决问题的关键. 巩固训练 已知线段的端点的坐标是,端点在圆 上运动, 求线段的中点 的轨迹. 合作探究 30 [解析] 设点的坐标是,点的坐标是 , 因为点的坐标是,且是线段 的中点, 所以, , 于是有, . ① 因为点在圆上运动,所以点的坐标满足方程 , 即 , ② 把①代入②,得 , 整理得 , 所以点的轨迹是以 为圆心,1为半径的圆. 合作探究 31 1.圆 的半径为( ) . C A.2 B. C. D.1 [解析] 将圆化成标准方程为 ,故半 径为 . 随堂检测 32 2.圆 的圆心是( ) . A A. B. C. D. [解析] 因为可化为 ,所以圆心是 . 随堂检测 33 3.若点在圆外,则实数 的取值范围是_. , [解析] 由已知条件可得 解得 . 随堂检测 34 4.已知的三个顶点分别是,, . (1)求边 上的中线所在直线的方程; (2)求 的外接圆的方程. [解析] (1)由题意知,线段的中点为,, , 所以边上的中线所在直线的方程为,即 . (2)设的外接圆的方程为, , 则解得 故的外接圆的方程为 . 即 . 随堂检测 35 $$