广东省部分学校2025届高三下学期5月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生易，考场号，座似易然隐智上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把名题卡⊥付度赐然缘标 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他俗案标号。回然非选华题时，然保写份 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：高考全部内容。 國 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项%台 题目要求的。 鲍 1双线号 y =1的焦距为 数 A.22 B.2√23 C.5 D.10 0 2.已知i为虚数单位，且2=|22一i川，则x= A.2log23 B.logs2 C.Zlog:2 D.logz3 3.已知集合A={x∈R引x2=m),B={x∈R1x2十x≤n+2,别一2EA”是AB=A"明 K A充分不必要条件 B,必要不充分条作 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 靴 4,若(3x-2)?=a0十a1(x-1)十a2(x-1)2+…+a(x-1)2,鲷a1十a2十…+a7= A.1 B24-1 C.129 D.222-1 都 x2+4z+3,x≤0， 5.已知函数(x)= 1十log1x,x>0. 若函数g(x)=f(x)一a给有3个零点，绷a的数组范 款 围为 A.(-1,3] B.[0,3 C.(-1,0] D(3,) 6.在体积为9的三棱锥P-ABC中，Bd=2D正，B配≠2E驴，刚三犧维A-BDE的体积为 A.6 B.5 C.4 D.3 7.甲、乙，丙三人各自什划去珠海市旅游，他们鉴5月13日到5月1方日这三天中的一天到达珠 海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月3日到5月15日到达绿海 的檄率如下表所示(p>0,q0,p十q=0.3) 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 P 0.4 0,4 02 茶 Pa 0.3 62 0.5 Pa 0.7 【高三数学第1到1共4页】 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为p1,乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为p2,甲， 丙两人同一天到达珠海市的概率为p,则 A.p,>p2>p3 B.P2>P>P C.p3>Pi>P: D.D>P:>P &.出租车几何，又称曼哈颜距离(Manhattan Distance),最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基 在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点A(x1,y:),B(x2, y2),则A,B两点之间的曼哈顿距离为|川AB1=|x1一x2|+y1一y2.已知点F,(一1,0)， F,(1,0),动点P满足I1PF,11+川PF2I川=4.Q是直线l:x+2y一5=0上的动点，则|PQ 的最小值为 B号 c5 n35 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P.(n∈N·)在C上，其横坐标为a.,若{an}是等差数 列，且a2=3,a5=9,则 A.a1=1 B.数列{IP,FI》是等差数列 C.点F的坐标为(2,0) D.|P,F|+|P2F1+…+IPoF1=2550 10.将函数g(x)=sin(8x一)+3cos(8x一)图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到函数f(x)的图象，则 Af(x一)为偶函数 Bf(x)的最小正周期为 Cf(x)的图象关于点(-80)对称 D.x)在[-舞，]上的最大值为2 [m,m<n, 1l.定义min{m,n}= 对于集合N”中的任意两个元素m,n,定义d(m,n)= n,n≤m. 品-+0nema)=n,.1.以若m)=6am,则称emn)具有 注月 对称性.下列判断正确的是 A.e(1,2)=e(1,3) B.若d(m,n)≥1，则e(m,n)不具有对称性 C对于任意m,n,p∈N"且1<m<n<p,e(m,p)=e(m,n)+e(n,p)桓成立 D.集合N'中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)+e(b,c)十e(c,a)=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若一个正方体内切球的表面积为12π，则这个正方体的体积为▲ 13.小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3,1,5,2,3,4,1,4,6.若从这组数据中随机删 除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 14.已知圆x2+y2=r2(r>0)的切线与曲线y=lnx相切于点(to,In zo)(1≤xo≤e),则， 的取值范围为▲ 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=(a+b,c一a),n=(a一b, c),且m⊥n. (1)求B: (2)若b=tanB,求△ABC外接圆的周长； (3)若a2+2c2=8,求△ABC面积的最大值 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，BC=PB=√2，PC=2,AB⊥平面PAD. (1)证明：PA⊥平面ABCD (2)若CD=1,求二面角B-PC-D的正弦值. 17.(15分) 已知函数f(x)=ax十bx2一x3 (1)设f(x)的一个极值点为一1. ①求a-2b的值： ②讨论f(x)的单调性， (2)当a=1时，若Hx∈(0，十∞)，f(x)<1,求b的取值范围. 【岛数学第3页（共4页）】 8.(17分) 已知瑞圆C号+塔=1a>6>0的右焦点为F.0,且C过点A1,》 (1)求C的方程， (2)过点F的直线l(斜率存在且不为O)与C交于M,N两点，N关于x轴的对称点为P. (1)证明：直线PM过定点. (I)记直线PM过的定点为Q,过点N作直线PM的垂线，垂足为H,试问IMQ|IHQI 是否存在最小值？若存在，求最小值：若不存在，请说明理由. 努 性 9.(17分) 将1,2,3，，n随机排成一列，得到一个数列{an},若至多有k(1≤k≤n一1)项，即第i1, $ i2,…,i项均满足a,<a,+1,则称{an}为k阶相邻递增数列，k为相邻递增数列的阶数，若 {a.}中不存在1项a4满足a4<a4+1(1≤k≤n一l),则称{an}为0阶相邻递增数列，其阶数 & 为0.例如，数列4,3,2,1为0阶相邻递增数列，数列4,3,1,2为1阶相邻递增数列，数列1， 2,3,4为3阶相邻递增数列 (1)将1,2,3随机排成一列，得到数列{a.},记X为{am}的相邻递增数列的阶数，求X的分 布列及期望； 烟 (2)将1,2,3，·，n随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为bn,证明{b。 十n十1}为等比数列，并求数列{b.}的通项公式： 够 (3)将1,2,3，·，随机排成一列，得到一个数列，从得到的所有数列中随机选取一个，记选 P+>3 取的数列恰为1阶或2阶相邻递增数列的概率为P,证明：当”≥3时，令>n十 阁 【高三数学第4页（共4页）】高三数学参考答案 1.D【解析】本题考查双曲线的焦距，考查数学运算的核心素养. 双德线号-若-1的纯距为2v2十万=10 2.D【解析】本题考查复数的模与指数、对数的运算，考查数学运算的核心素养。 因为2-|22-i-√(22)2+(-1)2-3，所以x-10g23. 3.A【解析】本题考查集合、不等式、充分必要条件，考查逻辑推理与数学运算的核心素养。 若-2∈A,则m=4,则A={-2,2},B={x∈R|x2+x≤6}=[-3,2]，此时，A∩B=A.当 m=0时，也能得到A∩B=A.故“-2∈A”是“A∩B=A”的充分不必要条件 4.B【解析】本题考查二项式定理中赋值法的运用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 令x=1,得a。=(3-2)=1,令x=2,得a0+a1+…+a7=(6-2)7=2“ 故a1十a2十…+a7=24-1. 5.A【解析】本题考查分段函数的零点，考查直观想象的核心素养！ 当x≤0时，f(x)=(x+2)2-1,f(0)=3. 作出f(x)的大致图象，如图所示，由g(x)=0,得f(x)=a,则-1<a≤3. 6.C【解析】本题考查向量与三棱锥的体积，考查空间想象能力与推理论证能力， 设点P到平面ABC的距离为.因为BE=2E,所以BE-号护，所以点E到平面ABC 的距离为号因为配-成所以励-号威.所以提 BD、2 BC=3,则SAMm= 号SAr,故VE=VEAD-(学)Vr=4 7.C【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查逻辑推理的核心素养与应用意识 根据全概率公式可得，p1=0.4×0.3+0.4×0.2十0.2×0.5=0.3，p2=0.3p十0.2×0.7+ 0.5(0.3-p)=0.29-0.2p,p3=0.4p+0.4×0.7+0.2(0.3-p)=0.34+0.2p.因为0<p <0.3,所以0.29-0.2p<0.290.3<0.34<0.34+0.2p,故p3>p1>p2. 8.A【解析】本题考查曼哈顿距离与点到直线的距离，考查直观想象与逻辑推理的核心素养. 由题意可知，P的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称.当x≥0，y≥0时，I川PF川+|PFz|川 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 =1x+1川+1x-1+2y=x+1+|x-1+2y=4,即y= 1,0x1, 画出此函数的 l2-x,1<x≤2. 图象，并结合对称性可得点P的轨迹是如图所示的六边形， 由图可知，PQ的最小值为图中点A(1,1)到直线I的距离1AH1=1+2一51_25 √5 9.ABD【解析】本题考查抛物线与等差数列的交汇，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。 因为a,}的公差d-号-2，所以a,=a:-d=1.A正确易得点F的坐标为(10.C 错误.IP,F=an十1，因为{am}是等差数列，所以数列{|PnF|}是等差数列，且|P,F|十 1P,F1+…+1PnF1=50X1+50X49×2+50X1=2550,B.D均正确 2 10.BC【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理 的核心素养 gx)=2sin(8x-吾+)=2sin(8x+登)，依题意可得fx)=2sn(r+)f(x-8》 =2sinr,A错误.f(x)的最小正周期为=受，B正确，由f(-秀)=0，得f(x)的图象 关于点(-香0)对称，C正确，由x∈[-一无]，得4x+竞∈[-竞·]，则f(x)在 [一牙无]上的最大值为2sm号=5，D错误 11.ACD【解析】本题考查新定义，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养 因为d1,2)=号+号1，d1,3)=号+号-专所以：1,2)=e1,3)=1,A正确因为 d(m,n)=d(n,m),所以e(m,n)=e(n,m),B错误.由题意，当m,n,p∈N且1<m<n <时d0ma)-2-2(分)人号≤1同理得40m,p）=2日吉）<品≤1， da,p)=2(月）<号<1，所以dm,p)=dmm)+d,p.且e(m,p)=dm,p e(m,n)=d(m,n),e(n,p)=d(n,p),所以e(m,p)=e(m,n)+e(n,p)恒成立，C正确. 设a,b,c是集合N"中三个互不相等的元素，不妨假设1≤a<b<c. 因为e(a,b)≤1，e(b,c)≤1，e(c,a)≤1，所以e(a,b)+e(b,c)十e(c,a)≤3， 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 当a=1时，da,b)=2(日-号）=2-号>1，d(a,c)=2-2>1,db,c)=2(分-2） <1,则e(a,b)=e(c,a)=1,e(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)<3. 当a>1时，d(a,b)<1,d(a,c)<1,d(b,c)<1,e(a,b)+e(b,c)+e(c,a)<3,所以集合 N”中不存在三个互不相等的元素a,b,c,使得e(a,b)十e(b,c)十e(c,a)=3,D正确， 12.24√3【解析】本题考查正方体的内切球与正方体的体积，考查直观想象与数学运算的核心 素养 设这个正方体的内切球的半径为R,由4πR2=12π，得R=√3，则这个正方体的棱长为2√5， 故这个正方体的体积为(2√3)3=243】 13.号【解析】本题考查统计中的中位数与古典概型，考查数据处理能力。 将这组数据按照从小到大的顺序排列为1,1,2,3,3,4,4,5,6，则这组数据的中位数为3.若 删除的数字是4或5或6，所得一组新数据的中位数也是3；若删除的数字是1或2或3，所 4 得一组新数据的中位数是3.5.故所求概率为 【解析】本题考查直线与圆、导数的几何意义的综合，考查逻辑推理与数学运算 的核心素养 设fx)=hx,则f)则公切线的方程为y一a。-之(-，即x一y一 十xlnx。=0.因为该直线与圆x2+y2=r2相切，所以xonx。二x =r, √/1+x8 设g(x)=,xnx-1)2(1≤x≤e2),则g(x)=2n。n2,令g(x) (1+x2) 0,得x=e,当1≤x<e时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当e<x≤e2时，g'(x)>0,g(x)单调 递增.则gxm=ge)=0,gr)m=maxg(1①，g(e)=1千所以g(x)的值域为[0， e 千]，汉>0，所以的取值范围为(0，千] 15.解：(1)由m⊥n,得m·n=(a十b)(a一b)+(c一a)c=0,…1分 即a2十c2-b2=a0.…2分 由余弦定理得cosB=a+c-b 2ac 2 4分 因为0<B<π，所以B= 3 …5分 元 tan (2)设△ABC外接圆的半径为R,则2R=6 3 sin B= =2. …8分 sin 3 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 则R=1,故△ABC外接圆的周长为2π. …9分 (3)因为a2+2c2=8>2√2ac2=2√2ac, 11分 所以ac≤2√2，当且仅当a=2,c=√2时，等号成立，…12分 则△ABC的面积S=2 nB=。 ac≤2 故△ABC的面积的最大值为 …13分 16.(1)证明：因为BC=PB=√2，PC=2,所以PB2+BC2=PC2,所以PB⊥BC.…2分 又因为AB⊥BC,AB∩PB=B,所以BC⊥平面PAB,…3分 因为PAC平面PAB,所以BC⊥PA.…4分 因为AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA.…5分 又因为AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABCD.…6分 (2)解：由(1)知AB⊥PA,则PA=√PB2-AB2=√PB2-CD=1.…7分 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0),C(1,w2,0),P(0,0, 1),D(0,W2,0),… …8分 则P元=(1，√2，-1)，BC-(02,0),Ci=(-1,0,0).…9分 设平面BCP的法向量为n=(x,y,z),则n·PC=x十√2y-x=0,n·BC=2y=0,… 10分 令x=1,得n=(1,0,1). 11分 设平面PCD的法向量为m=(x',y',x'),则m·P元=x'+√2y'-x'=0,m·C⑦=一x'= 0,…12分 令y=1,得m=(0,1,2)…13分 因为cos(m,n)=mm-3X2 m·n 3 …14分 所以二面角BPCD的正弦值为（停）- 15分 17.解：(1)①因为f(x)=ax+bx2-x2,所以f(x）=a十2bx-3x2.…1分 因为f(x)的一个极值点为一1，所以f(一1)=0，…2分 即a-2b-3=0,则a-2b=3. …3分 @f(x)=26+3+26r-3x2=-31+x(x26） 由f(x)=0,得x=-1或x=26+3 …4分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 3=-1,即6=-3时，/'(x)=-31+x)P<0,f(x)无极值，则6=-3不符 题意.… …5分 当-1，即6>-3时，在(-0，-1.2+o）上)0)单调递减 在-1,2士)上，fx)>0fr)弹潤造啪 …7分 当2-1.即6<-8时，在(-，2)（一1，+m)上，f)0,f)单调递减 在(0生3，-1上，f(x)>0,fx)单调谴增。… 9分 (2因为a=1,所以f)=x+br-,若f)1,则6x-士+>0.…11分 令g)=-+>0.则ga)-1+是- …12分 在(0,1)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，在(1，十∞)上，g'(x)>0,g(x)单调递增，…13分 所以g(x)的最小值为g(1)=1,…14分 所以b<1,即b的取值范围是（一o∞，1）.… 15分 √a2-b2=1, 18.(1)解：依题意可得19 2分 a24h=1, 解得a2=4,b2=3, 故C的方程为号+号-1 …4分 (2)(i)证明：依题意可设直线L的方程为x=my十1(m≠0)，M(x1,y1),N(x2,y2), P(x2,-y2）. …5分 x=my+1, 联立x2 4y2 得(3m2十4)y2十6my-9=0,…6分 4+3=1, 6m 9 由韦达定理得y1+y2= 3n2+4'y1y2= 3n2+4' ******04”7分 则直线PM的方程为y一y1=十兰（一1， …8分 r1一x2 即y-兰x-y十业=t兰(x-十当)， …9分 x1一x2 x1-x2x1-x2 y1+y2 x2y十1y2_(my十1)y十(my+1)y:_2my1y2+y1十y2 y1+y2 y1十y2 y1+y2 -18m -6m 3m2牛43m+4=4, -6m 11分 3m2+4 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 则直线PM的方程为y=十兰(x一4)，故直线PM过定点（4,0).… 12分 x1-x2 (i)解：IMQIIHQI-=M@.H1=|M夜·(N-Ni). 因为NH⊥MH,所以MQ·Ni=0, 所以MQ11HQ=|M顶·N01=|(4-x1)(4-x2)十y1y2…14分 =|(my1-3)(my2-3)+y13y2 =|(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+9| 9+18m =m+13m44+3n4+9|=12 21 3m2+4 16分 当m=0时，MQ11HQ取得最小值？，但此时1的斜率不存在，故MQ1HQ1不存在最 小值 …17分 19.(1)解：将1,2,3排成一列，其所有情形为123,132,213,231,312,321. 由此可得X的分布列为 X 0 1 2 2分 故E(X)=0X日+1x号 +2×6=1 3分 (2)解：在由正整数1,2,3，…，n,n十1构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由 以下两种方法进行构造： ①在递减数列，n一1，…，1中，任选一项的右边放n十1，使此数列为1阶相邻递增数列，共 有C以=刃种排法；…5分 ②在由正整数1,2,3，…，n构成1阶相邻递增数列中，若只有第i项满足a,<a+1,则将 n十1放在a,的右侧或者放在a1的左侧即可，此时共有2bn种排法.…7分 故bn十1=2b十n,…8分 b.+1十n+1+1=2bn十2m+2=2(bn十n+1).… …9分 易知b,=0,则b,十1十1=2， 所以{b.十n十1}是首项为2，公比为2的等比数列，… 10分 所以b.十n十1=2"，即bm=2”一n一1. 11分 (3)证明：设在所有由正整数1,2,3，·，n构成的数列中，2阶相邻递增数列的个数为d.,在 由正整数1,2,3，·，n,n十1构成的2阶相邻递增数列可以由以下两种方法进行构造：①在 由正整数1,2,3，…，n构成的1阶相邻递增数列中，若只有第i项满足a:<a;+1,则将 n十1放在除a:外任一项的右侧均可使其变为2阶相邻递增数列，共有C-1b.= 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 (1一1)bn种排法；… …12分 ②在由正整数1,2,3，…，n构成的2阶相邻递增数列中，若仅有第i,j项满足a:<a+1,a <a,+1,则可以将n十1放在a;或a,的右侧，或者放在a1的左侧，此时所得数列仍然是2阶 相邻递增数列，共有3d。种排法.… …14分 故dm+1=3dn十(n-1)b… 15分 由题意知P,=6,十4 n！ b+1十dn13dn+(n十1)bn十n 所以当n3时，P.=(b.+d.)(n+五b.+d,)+1D 3d+36 3 >b.+d)(n+1n+T ……17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】