精品解析：安徽省宣城市皖东南初中四校期中联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级数学期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数为勾股数是（ ） A. 7，12，13 B. 3，3，4 C. ，， D. 9，12，15 3. 下列方程中，是关于x一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A. B. C. D. 6. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 7. 如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ） A B. 1 C. D. 8. 根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 10. 如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 计算的结果为______． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 若，是方程的两个根，则的值为______． 14. 比较大小：______（填“或或”）． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 16. 如图，在中，，，，M是的中点，N是上任意一点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点D（点B，N，D在的同一侧）． （1）当时，__________； （2）当时，的长为__________． 三、解答题：（共52分，第17题4分，19题6分，18题及20-22题每题8分，23题10分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 阅读下面计算过程： ； ． 请解决下列问题 （1）______． （2）利用上面的解法，请化简：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，满足？ 21. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米． （1）求这个梯子顶端距地面的高度AB的长； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由． 22. 阅读理解： 对于一个关于x二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 23. 如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF＝2AE； （2）若CD＝3，求AD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期八年级数学期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式加减乘除的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、，计算错误，不符合题意． 故选B． 2. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 7，12，13 B. 3，3，4 C. ，， D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数， ，，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列方程中，是关于x一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不知是否为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此解答即可． 【详解】解：A、中被开方是小数，所以不是最简二次根式，故A不符合题意． B、，是最简二次根式，故B符合题意． C、，不是最简二次根式，故C不符合题意． D、，被开方数含分母，故D不符合题意． 故选：B． 5. 已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 6. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 7. 如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 8. 根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解． 【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：； 故选：A． 9. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式， 两种情况：当时，当时，分别求解即可得解． 【详解】解：当时，变为，此方程有实数根； 当时，由题意可得且， 解得：， ∴当时，关于x的方程有实数根， 故选：C． 10. 如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 计算结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 若，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为是方程的根，所以，把整理可得：原式，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 是方程的根， ， 整理可得：， ． 故答案为：． 14. 比较大小：______（填“或或”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 【答案】45° 【解析】 【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD． 由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10． ∴AE2＝AP2+PE2． ∴△APE是等腰直角三角形． ∴∠PAE＝45 ∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，M是的中点，N是上任意一点，以为对称轴折叠，得到，点A的对应点为点D（点B，N，D在的同一侧）． （1）当时，__________； （2）当时，的长为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质： （1）当时，由直角三角三角形的性质，求出，再根据折叠的性质可得，最后利用三角形内角和定理即可求解； （2）过点M作 于点E，根据折叠的性质可知，证明，利用直角三角形的性质求出，，利用勾股定理求出，进而求出，同理求出，由即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：； （2）过点M作 于点E， ∵， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴， .∴， ∵ M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（共52分，第17题4分，19题6分，18题及20-22题每题8分，23题10分） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， 或 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， 或． 【点睛】 19. 阅读下面计算过程： ； ． 请解决下列问题 （1）______． （2）利用上面的解法，请化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）仿照例题解题过程即可得到结果； （2）利用例题的规律化简各个式子即可得到结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，满足？ 【答案】（1） （2）存在，，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据题意，运用根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系得到，代入求解即可． 小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：存在，，理由如下， ∵一元二次方程， ∴， 整理得，， ，即， 解得，． 又且， ． 21. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米． （1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）小明说的不对，见解析 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理解答即可； （2）先求出梯子顶端下滑后距离地面的高度，然后在，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：； （2）小明说的不对，理由如下：梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为， 根据勾股定理得：，解得=． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构建直角三角形，熟记勾股定理． 22. 阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，构造以x为主元的一元二次方程，利用根的判别式解答即可． （2）根据二次三项式（a为常数）的最小值为，得到，解答求a的值； 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，配方法的应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：令， ∴， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵二次三项式（a为常数）的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最小， 解得或． 23. 如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF＝2AE； （2）若CD＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝3+3 【解析】 【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，即可得出结论； （2）根据全等三角形对应边相等得出DF＝CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∠CBE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF＝AC， ∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∴BF＝2AE； （2）解：∵△ADC≌△BDF， ∴DF＝CD＝3， 在Rt△CDF中，， ∵BE⊥AC，AE＝EC， ∴AF＝CF＝3， ∴AD＝AF+DF＝3+3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质等知识，根据等腰直角三角形性、证明△ADC≌△BDF是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$