高一下学期第二次月考测试卷（范围：三角函数+向量+复数+立体几何+统计）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 高一下学期第二次月考测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：三角函数+向量+复数+立体几何+统计） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 3．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（    ） A．13 B． C．19 D． 4．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（    ） A．74 B．76 C．78 D．80 5．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（   ） A．0 B．－1 C．－107 D．82 8．在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．这180天中日收入不低于8万元的有54天 B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元 C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表） D．这组数据的第75百分位数为8.5万元 10．下面四个命题中正确的是（    ） A．若复数满足，则 B．若，则是纯虚数 C．若复数满足，则 D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（） A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，矩形是水平放置的平面四边形OABC的直观图，其中，，则原四边形OABC的面积与周长的数值之比为 ． 13．某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为 . 14．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 16．的内角的对边分别为，已知是线段AB的中点，在线段AC上，．连接相交于点，连接AP． (1)求证：； (2)求AP的长度． 17．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； (2)若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 19．已知平面向量、满足，，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)在平面四边形ABCD中，如图所示： ①若锐角满足，，求线段AC长度的最大值； ②若，，求四边形ABCD面积S的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 高一下学期第二次月考测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：三角函数+向量+复数+立体几何+统计） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】， ， 因为A，B，C三点共线，所以，即， 因为不共线，故， 解得. 故选：A 2．已知为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 故选：A. 3．记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的值为（    ） A．13 B． C．19 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 故. 故选：B 4．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”了竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生名，高中生名，经统计：名学生的平均成绩为74分，其中名初中生的平均成绩为72分，名高中生的平均成绩为分，则（    ） A．74 B．76 C．78 D．80 【答案】D 【详解】由题意，得可得，解得. 故选：D. 5．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 故选：C 7．已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（   ） A．0 B．－1 C．－107 D．82 【答案】C 【详解】令，即，得，所以. 设，（），因轴，所以. 又，且递增，所以，即， 根据运算法则得，所以. 已知，则. ，，. 展开. 由， 把，代入得， 因为，所以. 则. 由，，解方程组，得，. ，. 所以. 故选：C. 8．在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 取线段的中点，连接、，则， 故为球的直径，故球的半径， 所以球的体积为 . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．这180天中日收入不低于8万元的有54天 B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元 C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表） D．这组数据的第75百分位数为8.5万元 【答案】AD 【详解】对于A，由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有天，故A正确； 对于B，日收入低于8万元的各组的频率比为， 所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天各组抽取的天数依次为2天、3天、4天、5天， 则这14天中有天的日收入低于4万元，故B错误； 对于C，这组数据的平均数是 万元，故C错误； 对于D，因为前4组的频率为， 前5组的频率为， 所以这组数据的第75百分位数在第5组为万元，故D正确. 故选：AD 10．下面四个命题中正确的是（    ） A．若复数满足，则 B．若，则是纯虚数 C．若复数满足，则 D．已知复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】BD 【详解】对于A，取，，而，，A错误； 对于B，设，，由，得， 则，是纯虚数，B正确； 对于C，取， ， 同理，即，而，C错误； 对于D，，得，复数在复平面内对应点的轨迹是原点为圆心，3为半径的圆，D正确. 故选：BD 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（） A．动点的轨迹是一条线段 B．直线与的夹角为 C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图： 分别取的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，故A正确； 对于C，由A可知的轨迹为线段，平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，不会随点的运动而变化，故C错误； 对于B，如图： 连接，，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角为异面直线与的夹角， 因为为正方体，，都为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对于D，如图： 取的中点，连接，取的中点，连接， 易知且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且. 同理可证四边形也为平行四边形，所以且， 所以且. 所以四点共面，即四边形为为正方体的截面，，同理可求得四边形为的其它边长也为， 故该四边形为为棱形，对角线，， 故该棱形的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，矩形是水平放置的平面四边形OABC的直观图，其中，，则原四边形OABC的面积与周长的数值之比为 ． 【答案】 【详解】在矩形，令交轴于点，由，， 得为的中点，且， 在平面直角坐标系内作出原四边形，且四边形为平行四边形，， 点是中点，，，， 因此四边形的周长为50，面积为， 所以四边形OABC的面积与周长的数值之比为. 故答案为： 13．某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为 . 【答案】25.1 【详解】学校高三年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生的年龄方差为：， 当时，，， 故答案为：25.1. 14．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 【答案】0 【详解】由得， 所以， 所以对任意恒成立， 所以，即， 所以，所以，所以． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 16．的内角的对边分别为，已知是线段AB的中点，在线段AC上，．连接相交于点，连接AP． (1)求证：； (2)求AP的长度． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）在中， 又， 所以 即，所以． （2）设，由是AB的中点，得，又，得． 所以，且 由CD与BE相交于点可知，点在线段CD上，也在线段BE上， 由三点共线的条件可得，解得，所以， 故 17．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图： 取中点为Q，连接， 因为，，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为， 所以三点共圆，且圆心为， 所以，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面． （2）如图： 过点A作于H， 由（Ⅰ）知平面，又平面， 所以，又， ，平面， 所以平面， 所以为在平面内的射影，为直线与平面所成角， 设， 在直角三角形中，， 解得， 由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角为直线与直线所成角， 连接，， 在中，，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； (2)若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由得，，即， ，由得，， ，， 由余弦定理得，，即，得， 为的平分线，， ，， . （2）（i）由已知得，，即， . （ii）易知， ，， ，即， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为. 19．已知平面向量、满足，，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)在平面四边形ABCD中，如图所示： ①若锐角满足，，求线段AC长度的最大值； ②若，，求四边形ABCD面积S的最大值． 【答案】(1)；； (2)①；②. 【详解】（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）①设， 在中，根据余弦定理可知，， 满足，所以， 设，， 在和中， ， 得， 则 ，， ，当，即时，函数取得最大值. 所以的最大值为； ②在中，， 中，， 两式相加得，则， 两边平方后得，① 根据余弦定理可知，， 即，得， 两边平方后，，② 式两边乘以4后得， ③， ， 即， 当时，的最大值为， 所以四边形的面积取得最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$