浙江省杭州第二中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

高一数学5月综合检测参考答案 DCBD ACCA 9．ABC 10．BCD 11．ACD 12．2 13．8 14． 15．解：（1）连接，交于点，连接，如图， 四边形为平行四边形，为的中点， 又为的中点，， 平面，平面，平面. （2）因为， 所以，故， 又在直三棱柱中，平面， 则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 设，由得：，即， 解得，，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 又，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．解：（1）由可得， 易得四边形是矩形，∴， 又平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面 （2）四棱锥的体积为 ， 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值. 由条件可得，∴，即， 当且仅当时，取得最大值36. ，，， ，则， ∴， 则四棱锥的表面积为 . 17．解：（1）存在的中点E，使得平面， 证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，故四边形为平行四边形，即， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点O，连接，， ∴，则， ∵面面，面面，平面， ∴面， 设点A到平面的距离为d，则， ∴，又面， ∴，，，可得，易知， ∴，，， ∴，， ∴，可得，即点A到平面的距离为． 18．解：（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一5月综合检测 班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是边长为1的等边三角形，那么原三角形的面积是 A． B． C． D． 2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 4．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为4m和5m，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（    ） A． B． C． D． 5．在正四面体中，是SC的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为 A． B． C． D． 7．已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的体积相等，它们的表面积分别为、、，下面关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，满分18分） 9．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 10．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．//平面 B． C． D．//平面 11．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（    ） A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时， ． 13．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ． 14．已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 四、解答题（共4小题，13+14+14+14共55分） 15．如右图，在直三棱柱中，，D为线段AB上一动点． (1)当D为线段AB的中点时．证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦． 16．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面. （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求四棱锥的表面积． 17．如图，在四棱锥中，，． （1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由； （2）若平面平面，，，求点A到平面的距离． 18．已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$