精品解析：四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二下学期数学期中复习卷四

高二下期中复习卷四 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知函数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，令运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故选：B. 2. 在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到，，进而判断出，再利用等比中项性质求出，最后得到目标式的值即可. 【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根， 则由韦达定理得，，故，得到， 由等比中项性质得，解得，得到，故A正确. 故选：A 3. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性与极值，结合有3个不同的零点，列出不等式，即可求解． 【详解】由，可得； 令，可得或，令，可得， 因此函数在和上单调递增,在上单调递减， 又，， 要使有3个不同的零点， 则且，所以，所以的取值范围是. 故选：C. 4. 数列满足，，其前项的积为，则（ ） A. 1 B. -6 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，依次求出，进而确定数列的周期，再结合周期性求解. 【详解】数列中，由，得，而， 则，因此数列是周期数列，周期为4，且， 所以. 故选：C. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题给条件可得在恒成立，利用参变分离以及正弦函数的值域即可求解实数的取值范围. 【详解】，则 因为函数在上单调递增， 所以在恒成立，则在恒成立. 在最大值为，所以. 故选：A. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. 182 B. 173 C. 164 D. 155 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由累加法求出通项，进而求得答案. 【详解】因为，则， ， ，…，， 将这个式子相加，可得， 化简得，又， ，则. 故选：D. 7. 已知数列满足，则其前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由列项相消法求和即可. 【详解】由题意可得， 故． 故选：D． 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 二、多选题 9. 下列求导数的运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式，以及导数的运算法则和复合函数求导的法，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由导数计算公式，可得，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 11. 如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数在，处取极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】某区间导函数大于0，则原函数在该区间单调递增；某区间导函数小于0，则原函数在该区间单调递减， 导函数在极值点左右要变号，由此结合导函数图象即可得出答案. 【详解】由导函数和原函数的关系可知，在和上单调递增，在上单调递减， 导函数在极值点左右要变号，所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，分析选项可知AB正确，CD错误， 故选：AB. 三、填空题 12. 曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，所以，，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则__________. 【答案】##2.2 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式的性质计算即可. 【详解】由等差数列前项和公式的性质可知，同理， 所以. 故答案为： 14. 设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【详解】、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，又函数在上是奇函数， 所以在上单调递增，且， ，， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 的解集是，即的解集是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知为等比数列，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解； （2）利用错位相减法求解. 【小问1详解】 设的公比为，因为为，的等差中项， 所以，即， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 设的前项和为，又， ，① ，② ①②得， 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解二次不等式求解单调区间即可. （2）先根据函数的极值求出，根据（1）得函数的单调区间，然后结合端点值和极值即可求解最值. 【小问1详解】 由题得，且定义域为R． 当时，函数，因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是． 【小问2详解】 由函数在时取得极值，得，解得， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 满足在时取得极小值，故， 又1， 所以函数在区间上的最小值是． 17. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式及. 【答案】（1） 因为， 数列的首项为， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）， 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，再由分组求和法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 18. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）因为，得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 【解析】 【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得，可求得，可证结论. 【小问1详解】 解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值； （2）根据（1）及的区间值域，结合零点个数确定参数范围. 【小问1详解】 由题设， 当或，，在、上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由时，趋向于，时，趋向于，且， 结合（2）知，在上，且， 要使函数恰有两个零点，则或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期中复习卷四 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知函数满足，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，，其前项的积为，则（ ） A. 1 B. -6 C. 2 D. 3 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. 182 B. 173 C. 164 D. 155 7. 已知数列满足，则其前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导数的运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，最大 C. D. 当时， 11. 如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取极大值 D. 函数在，处取极小值 三、填空题 12. 曲线在处的切线方程为______. 13. 已知两个等差数列与的前项和分别是和，其中，则__________. 14. 设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是______． 四、解答题 15. 已知为等比数列，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值. 17. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式及. 18. 设为数列的前项和，且是和8的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $