第一章 勾股定理 复习巩固课件 　2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 1 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用 代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证 明勾股定理的有( ) D A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 返回 2 2. 如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知 米，米.为了避免行人继续踩踏草坪 走线段，小梅分别在， 处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( ) D A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 返回 3 3. 2024年11月4日，神舟 十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着 陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 ●蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如 10米 图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点处 米，空中点 处有一只风筝，无人机上的测距仪测 得米，点与点之间的水平距离 米，已知 于点，，则风筝离地面的高度 是______. 返回 4 4.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理， 其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成， 图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图① 中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 . 5 （1）请用含，，的代数式分别表示， ； 【解】 ， . 6 （2）请利用达·芬奇的方法验证勾股定理. 由题意得，所以 . 所以 . 返回 7 （第5题） 5. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露在 水上的鱼线长为 ，某钓鱼者想看看 鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置， 此时露在水面上的鱼线的长度为 ， 若，，三点在同一直线上，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 返回 8 （第6题） 6. 一辆装满货物、宽为1.6米的卡车，欲通过 如图所示的隧道（隧道上半部分是以 为直 径的半圆），则卡车的高度必须低于( ) B A. 3.0米 B. 2.9米 C. 2.8米 D. 2.7米 返回 9 7.［2025盐城期中］第二十四届国际数学家大会 会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家 赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角 40 形 和中间一个小正方形 拼成的大正方形中，连接，.若 的面 积是面积的9倍，小正方形 的面积是16，则大正 方形 的面积为____. 10 【点拨】设 , .由题意得 , .因为 的面积 是面积的9倍，所以,所以 .因为小正 方形的面积是16，所以.所以 .所 以, .所以大正方形 的面积 . 返回 11 8.［2025成都外国语学校期中］如图，某 沿海城市 接到台风预警，在该市正南方 向的处有一台风中心，沿 方向 以的速度移动，已知城市到 的距离为 . 12 （1）台风中心经过多长时间从 点移动到 点？ 【解】由题意可知， ， ， ，所以由勾 股定理易得 . 因为 ， 所以台风中心经过从点移动到 点. 13 （2）如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风 的影响，那么 市受到台风影响的时间为多少小时？ 14 如图，在射线上取点， ，使得 . 又因为，所以 . 在中，由勾股定理易得 ， 所以 . 因为 ， 所以市受到台风影响的时间为 . 返回 15 9.综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图 ①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个正方 形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有 两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与 一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到 16 等式，化简便得结论 .这 里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法， 我们称之为“双求法”. 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把 两个全等的直角和 如图②放置， ，， ， ，显然 . 18 （1）连接，，请用，，分别表示出四边形 ， 梯形， 的面积，再探究这三个图形面积之间的 关系，验证勾股定理 .（对角线互相垂直的四边 形的面积等于对角线乘积的一半） 19 【解】 ， ， . 由图可知 ，即 ， 整理得 . 20 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图③，在中， ，是 边上 的高，，，求 的长； 21 在中， ，， , ，所以 . 因为是边上的高， , 所以 ，即 ，所以 . 22 （3）如图④，在中，是边上的高， ， ，，求 的长. 23 设，则 . 在中， ； 在中， ， 所以 ， 解得，所以 . 返回 24 $$第一章 勾股定理 专题1 利用勾股定理解决折叠问题 1 类型1 三角形中的折叠问题 （第1题） 1. 如图，中，， ， ，将折叠，使点与 的 中点重合，折痕为，则线段 的长为 ( ) A A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 返回 2 2.［2025南京秦淮区期中］如图，将三角形纸片沿 折 叠，使点落在边上的点处.， ，则 的值为___. 9 （第2题） 返回 3 类型2 长方形中的折叠问题 （第3题） 3. ［2025深圳盐田区期中］如图，在长方形 纸片中，， .把纸 片沿对角线折叠，点落在点处， 交 于点，则重叠部分 的面积为 ( ) B A. B. C. D. 返回 4 4.如图，在长方形中，，，点为 的 中点，将沿所在直线折叠，使点 落在长方形内的 点处，连接，则 的长为___. （第4题） 5 （第4题） 【点拨】连接交于,易得 , .因为，点为 的中点，所 以.又因为，所以在 中， ，所以 ,所以易 得，所以.因为 ，所 以易得 ，所以根据勾股定理得， .所以 . 返回 6 5.如图，长方形中，，，在边 上取 一点，将折叠后点恰好落在边上的点 处. （1）求 的长； 7 【解】在长方形 中， ， ， . 由折叠知，， . 在中，根据勾股定理得， , 所以 . 设，则 . 8 在 中，根据勾股定理，得 , 即，解得，所以 . （2）边上是否存在一点 ，使得 的值最小？若存在，请求出最小值 的平方；若不存在，请说明理由. 存在.延长至使，连接 交于点,易知此时的值最小，为 的长.在 中，根据勾股定理，得 , 即 的最 小值的平方为221. 返回 10 类型3 正方形中的折叠问题 6.如图，正方形纸片的边长为12，点 是上一点，将沿折叠，点 落 在点处，连接并延长交于点 ，若 ，求 的长. 11 【解】设与交于点 . 由折叠可知， ，所以 . 因为四边形 是正方形， 所以， . 所以 . 所以 . 12 所以 . 所以, . 在中，由勾股定理易得 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 所以 . 所以 . 返回 $$第一章 勾股定理 专题2 勾股定理中的常见模型 1 模型1 勾股树 【模型展示】 图示 ____________________ ____________________ ________________________ ____________________ 条件 作正方形 作半圆 作等腰直角三 角形 作等边三角形 结论 2 （第1题） 1. ［2025杭州萧山区期中］如图，在 中，分别以这个三角形的三边 为边向外侧作正方形，面积分别记为 ，，，若 ，则图 中阴影部分的面积为( ) A A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 返回 3 （第2题） 2. 如图，分别以 的三边为斜边 向外作，， ， 且，， ， ，这三个 直角三角形的面积分别为，， ， 且，，则 ( ) A A. 25 B. 28 C. 30 D. 35 返回 4 3. 如图，中， ，分别以 各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉 底月牙”，当， 时，阴影部分的面积为____. 12 返回 5 模型2 赵爽弦图 【模型展示】 图示 _________________________________ 6 条件 大正方形 由4个全等的直角三角形和中间的小 正方形 组成 结论 1. ； 2.正方形 的边长是围成小正方形的直角三角形 的两直角边长之差，即 续表 7 4.［2025成都武侯区月考］如图，四个全等 的直角三角形围成一个大正方形 ，中 间阴影部分是一个小正方形 ，这样就 组成一个“赵爽弦图”，若， ， 则正方形 的面积为___. 1 返回 8 5.勾股定理被记载于我国古代的数学著作 《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明 勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”， 后人称之为“赵爽弦图”，图②是由弦图变化得到的，它是由 八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ， 正方形，正方形的面积分别为，， ，若 ，求正方形 的面积. 9 【解】 设八个全等的直角三角形的两 直角边长分别为， ，则 ， ， .因为 ， 所以 .所以 .所以，即正方形 的面积为8. 返回 10 模型3 风吹树折 【模型展示】 图示 ___________________________________________________ 11 条件 竹子原高尺，折断后竹梢与竹根的距离为 尺，设 折断后的竹子高度为 尺，则被折断的竹子长度为 尺 结论 续表 12 6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地” 问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四 尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原 高1丈（如图，1丈 尺），一阵风将竹 C A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 子折断，竹稍抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？ 则折断处离地面的高度为 ( ) 返回 13 7. 《九章算术》是我国古代最 重要的数学著作之一，其中记载了这样一个 问题：“今有立木，系索其末，委地三尺， 引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？” 译文：今有一竖立着的木柱（如图），在木 柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地 面的部分尚有3尺.牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时绳索 用尽（绳索头与地面接触）.问绳索长是多少尺？ 14 【解】 设绳索的长为尺，则木柱 的 长为 尺. 在 中，由勾股定理得 ， 即，解得 . 所以绳索的长是 尺. 返回 15 模型4 出水芙蓉 【模型展示】 图示 ________________________________ 条件 尺，尺， 设水深尺，则 尺 结论 16 8.如图，一个底面直径为 的杯子，在它的正 中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 ，当 筷子倒向杯壁时（筷子底端不动）， 筷子顶端 刚好触到杯口，则筷子长度为____ . 8.5 返回 17 9. 教材P13例 《九章算术》卷九“勾股”中 记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引 葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意 是：如图，水池底面的宽丈，芦苇 生 长在的中点处，高出水面的部分 尺. 将芦苇向池 岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ，求 水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）. 18 （1）水池的深度 为____尺； 12 （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》 作注解时，更进一步地给出了这类问题的一 般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为： 若已知水池宽 ，芦苇高出水面的部 分 ，则水池的深度 可以通过公式 计算得到. 请说明刘徽解法的正确性. 19 【解】因为，，， 为 的中点， 所以， . 在 中，由勾股定理得 ， 即，解得 . 返回 20 $$第一章 勾股定理 全章热门考点整合应用 1 考点1 勾股定理 （第1题） 1. 如图，在四边形 中， ， ， ，，则 的长为( ) B A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 返回 2 （第2题） 2. 如图，在长方形 中， ， ，将此长 方形折叠，使点与点 重合，折 痕为，则 的长度为( ) C A. B. C. D. 返回 3 3. ［2025烟台期中］有一个边长为1的正方形，经过一次“生 长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中三 个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后， 如图②.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计 算“生长”了10次后的图形中所有正方形的面积之和为( ) A ① ② A. 11 B. 55 C. 66 D. 返回 4 考点2 直角三角形的判定 4. 下列由三条线段，，构成的三角形 中： ；，， ； ；， ， 为大于1的整数 ，其中是直角三角形的是( ) B A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 返回 5 5. 如图，在 的网格中，每个小正方 形的边长均为1，点，， 都在格点上， 则下列结论错误的是( ) C A. B. C. 的面积为10 D. 点到直线 的距离是2 返回 6 6.如图，在四边形中， ， ，，， . （1）连接，求 的长； 【解】因为在中， ， ，，所以 ，所以 . 7 （2）求 的面积. 因为，， ， 所以 ， 所以是直角三角形，且 ， 所以 的面积为 . 返回 8 考点3 勾股数 7. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如 的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满 足该方程的正整数的解称为勾股数.如 就是一组 勾股数. （1）请你再写出两组勾股数：________，_______________ _________； （答案不唯一） 9 （2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图 曾指出：如果表示大于1的整数，， ， ，那么以，， 为三边长的三角形为直角三角形， 即 为勾股数.请你加以说明. 【解】因为，所以 为勾股数. 返回 10 考点4 勾股定理的应用 8.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为 的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房 9米的处拉紧绳子（绳长 ），并标记， 然后沿方向向前走7米到 处，拉紧绳 子（绳长），量得绳长比绳长 长5米，求楼的高度 . 11 【解】设米，则 米. 在 中， ，在 中， 解得.所以. 所以楼的高度 为12米. ，所以 ， 返回 12 思想1 转化思想 （第9题） 9.如图，这是一个台阶的示意图，每 一层台阶的高是、长是 、 宽是，一只蚂蚁沿台阶从点 出 发爬到点 ，其爬行的最短线路的长 度是_____ . 130 返回 13 思想2 方程思想 （第10题） 10.［2025泰州期中］如图，已知三角形 纸片， ， ， ，沿过点 的直线将纸片折叠，使 点落在边上的点 处；再折叠纸片， 使点与点重合，折痕与的交点为 ， 则 的长是___. 14 （第10题） 【点拨】由折叠的性质可得 ， ，， .因为 ，所以 ，所以 ，所以 .设 ，则.在 中，由 勾股定理得，即 ，解得 ，所以 . 返回 15 思想3 数形结合思想 11.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理， 创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如 图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小 正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积 为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形 的边长. 16 【解】设直角三角形的两直角边中较长边为 ， 较短边为，所以大正方形的面积为 .由 题意得， .因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以小正方形的边长为1. 返回 17 思想4 分类讨论思想 12.如图，点为直线上的一个动点， 于 点，于点，点在点 右侧，并且点 ，在直线的同侧，， ， 当长为多少时， 为直角三角形？ 18 【解】过点作于点 ， 则易得四边形 为长方形，所以 ， ，所以 .由勾股定理得， ，.当 时，点在点 的左侧，此时 .由勾股定理得 19 ，所以 ， 解得 ； 当 时，点在线段 上，此时 . 由勾股定理得 ，所以 ， 解得 ； 当 时，易知点在线段 上， 此时 . 由勾股定理得 ，所以 ， 所以,所以 . 综上，当长为6或4或时， 为直 角三角形. 返回 $$第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 1 1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首 尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的 是( ) C A. 5，9，12 B. 5，9，13 C. 5，12，13 D. 9，12，13 返回 2 2. 在中，，，所对的边分别为，， ,下列 条件中，不能判定 为直角三角形的是( ) D A. B. C. ，， D. ，， 3. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足 ，则此三角形中最大的角是( ) B A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定 返回 3 （第4题） 4. 如图，在由小正方形组成的 网 格中，每个小正方形的顶点称为格点. 点，，，，， 均在格点上， 其中点，，，能与点， 构成 一个直角三角形的是( ) D A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 已知中，， ， ，当___时， . 4 返回 4 6.如图，中，，，， 为直线 上一动点，连接，则线段 的最小值是 ___. （第6题） 返回 5 7.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个 后，测得米，米， 米， 米，其中 . 6 （1）判断 的形状，并说明 理由； 【解】 是直角三角形. 理由：因为 ，米， 米， 所以由勾股定理得米.又因为米， 米， 所以，所以 是直角三角形, . 7 （2）求图中阴影部分土地的面积. 图中阴影部分土地的面积 （平方米）. 8 将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形 面积和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角 形，如角度，三边长度等. . . . . 返回 9 8. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第 三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 ( ) C A. B. C. D. 返回 10 9. 如图，在中， ， ，边上的中线，则 的面积为( ) B （第9题） A. 30 B. 24 C. 20 D. 48 11 （第9题） 【点拨】延长到，使 ，连接 .因为为 边上的中线，所以 .又因为 ，所以 ，所以， ,所以 .又因为， ，所以 ，所以为直角三角形， ， 所以 . 返回 12 （第10题） 10. 如图所示的是 的正方形网格，每 个小正方形的顶点称为格点.线段， 的端点均在格点上，且交于点 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 13 【点拨】设小正方形的边长为1.如图，取格 点，连接，，易知 ，所以 .由勾股定理得 所以，.所以 是等腰直角三 角形.所以 .所以 . ， ， ， 返回 14 11. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的 三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数 学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中， 均小于 ，，，是大于1的奇数，则 ___（用含 的式子表示）. 【点拨】由题意得 .因为 是大于1 的奇数，所以 . 返回 15 12. 如图所示，在 中， ，且周长为，点 从 点开始沿边向点以 的速度移动； 点从点开始沿边向点以 的速度 18 移动，如果同时出发，则时，的面积为____ . 16 【点拨】根据题意设 ， ，.因为周长为 ， 所以 ，即 ，解得 ，所以 ，， .所以 ，所以 是直角三角形， .时， ， ，所以 . 返回 17 13.如图，已知在正方形中，是的中点，在 上， 且 . （1）请你判断与 的位置关系，并说明理由； 18 【解】 .理由如下： 设正方形的边长为.在正方形 中， , . 由题意可得,, . 在中， ， 19 在中， ， 在中, , 所以. 所以为直角三角形，且 , 即 . （2）若此正方形的面积为16,求 的长. 因为正方形的面积为16,所以 . 所以.所以 . 返回 21 14. 定义：如图，点，把线段 分割成 ，，，若以，， 为边的三角形是一个直 角三角形，则称点，是线段 的勾股分割点. 22 （1）若，，，则点， 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由； 23 【解】点,是线段 的勾股分割点. 理由如下：因为 ， ， 所以，所以以，， 为边的三角 形是一个直角三角形， 所以点，是线段 的勾股分割点. （2）已知为直角边，若，，求 的长. 设，则 . ①当为斜边时，有 ， 即，解得 ； ②当为斜边时，有 ， 即，解得 . 综上所述， 的长为12或13. 返回 25 15. 如图是某区域仓储 配送中心的示意图， 区为商品入库 区，区，区是配送中心区.已知， 两个配送中心区相距，， 区相 甲方案：从区直接搭建两条传送带分别到区， 区； 距，，区相距 ，为了方便商品从入库区分拣 传送至配送中心区，现有两种搭建传送带的方案. 26 乙方案：在区， 区之间搭建一条传送 带，再从区搭建一条垂直于 的传送带， 两条传送带的连接处为中转站 区 （接缝忽略不计）. （1）请判断此平面图形 的形状 （要求写出推理过程）. 【解】由题意可知 ， ， .因为 ， 所以.所以 是直角三角形，且 . 28 （2）甲、乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？ 请通过计算说明. 29 由（1）可知 是直角三角形，且 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 所以 . 因为 ， 所以甲方案所搭建的传送带较短. 返回 30 $$第一章 勾股定理 第一章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列各组数中，是勾股数的是( ) A A. 6，8，10 B. 10，15，18 C. ,, D. ，， 2. 在中， ，，则 的大 小为( ) B A. B. C. D. 返回 2 3. 教材P8习题 如图①，小 霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在 绳子上打了一个结，然后将绳子拉到 离旗杆底端12米处，发现此时绳子底 A A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 24米 端距离打结处6米，如图②，则滑轮到地面的距离为( ) 返回 3 （第4题） 4. 杜甫曾经哀叹“茅屋为 秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何， 不然也不会如此绝望.现在我们来看一茅屋 的屋顶剖面（如图），它呈等腰三角形， C A. 2.5米 B. 6米 C. 4米 D. 8米 如果屋檐米，横梁米，那么在横梁 上 的任意一点处要支一根木头顶住屋顶 处，这根木头的长度 可能是 ( ) 返回 4 （第5题） 5. ［2025郴州二模］如图所示为雷达图，规 定：1个单位长度代表，以点 为原点， 过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心 圆平均分成十二等份．一艘海洋科考船在点 处用雷达发现，两处鱼群，那么， 两 处鱼群的距离是( ) C A. B. C. D. 返回 5 （第6题） 6. 如图，在正方形网格内，，，， 四点 都在格点上，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 6 （第7题） 7. 斜拉桥是我国流行的桥型 之一，大跨径斜拉桥已居世界第一.如图， ， ，如果最长的钢 索，那么钢索， 的长 分别是( ) C A. , B. , C. , D. , 返回 7 （第8题） 8. 欧几里得的《几何原本》中给出一种证 明勾股定理的方法.如图，在 中， ，四边形、四边形 、 四边形和四边形 都是正方形.若 的面积为3，正方形 的面积为13， 则正方形 的面积为( ) C A. 16 B. 19 C. 25 D. 37 8 （第8题） 【点拨】设，， .因为 的面积为3，所以 ，所以 .因为正方形 的面积为13，所以 .在 中， .易知正方形 的面 积为，把与 代 入，得,所以正方形 的面积 为25. 返回 9 二、填空题（每题5分，共20分） 9.长方体木箱的长、宽、高分别为，， 则能放 进木箱中的直木棒最长为____ . 13 返回 10 （第10题） 10.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上， 甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向 航行，甲、乙轮船每小时分别航行 和 ，后两轮船分别位于点, 处，且 北偏东 （或东偏北） 相距.如果知道甲轮船沿北偏西 方向航行，则乙 轮船沿____________________________方向航行. 返回 11 11.如图，在中， ，， ， 是边的中点，是边上一点，连接，.将 沿翻折，点落在上的点处，则 __. （第11题） 返回 12 （第12题） 12.［2025深圳期中］如图，在 中， ，， ，以三角形各边 为直径作半圆，其中两半圆交于点 ，阴 影部分面积分别记作和，则， 之间应 满足的等式是___________. 13 （第12题） 【点拨】在 中，由勾股定理得 ，所以 .所以 . 返回 14 三、解答题（共48分） 13.（12分）如图，在中， ， ，，，求 的 面积； 15 【解】因为，， ，所 以 ，所以 为直角三角形， ，所以 .在中，由勾股定理得 ， 所以 ， 所以 . 返回 16 14.（16分）已知某植物绕着树干向上生长 （树干粗细均匀）. （1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长） 为，绕一圈升高（即圆柱的高） ， 则它绕一圈的最短长度是多少？ 17 【解】如图，将圆柱的侧面展开. 由题意可得， , 所以 ， 所以 . 所以植物绕一圈的最短长度为 . 18 （2）如果树干的周长为 ，绕一圈的最短长 度是 ，绕10圈到达树顶，则树干高为多少？ 树干周长为，即 ， 绕一圈的最短长度是，则 . 因为 ， 所以 ，所以树干高为 . 返回 19 15.（20分） 如图，在 中， ，，，点从点 出发， 以的速度沿 运动，设运动时间为 ． 20 （1）若点在上，则线段 的长为 ___________；（用含 的式子表示） 21 （2）点在运动过程中，若是以 为底边的等腰三角 形，求 的值． 22 【解】由题意易得当点 在 边上时，易得 ，所以 ．②当点在边上时，过点 作 于点，则 . 因为 ， 所以 . 23 所以在 中，由勾股定理得 . 所以，即.所以 . 综上所述，的值为3或 . 返回 $$第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 1 1. 下列说法中正确的是( ) C A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中， ，,,是,, 的对边,所 以 D. 在中， ，,,是,, 的对边,所 以 返回 2 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，，分别以点， 为圆心， 以长为半径画弧，两弧相交于点 ，连 接，，则 的周长为( ) D A. 14 B. 18 C. 24 D. 30 返回 3 （第3题） 3. 如图是一株美丽的 勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形，若正方形， ， ，的面积分别是4，6，2，4，则正方形 的 面积是( ) C A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 返回 4 （第4题） 4. 如图，在中， , ,则边上的高 的长为 ( ) C A. 8 B. 8.8 C. 9.6 D. 10 5 【点拨】如图，过点作于点 . 因为, ,所以 .在 中， 所以，解得 .故选C. ,所以 .因为 , 返回 6 （第5题） 5. 如图是两人某次棋 局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小 正方形的边长为 ,则“帥”“马”两 棋子所在格点之间的距离为_______. 返回 7 6.如图，四边形中，，， ， ，，求四边形 的面积. 8 【解】因为， ，所 以 . 因为, ，所以根据勾股 定理得 . 又因为，所以根据勾股定理得 ，所以 . 返回 9 （第7题） 7. 如图，在中， ，分别 以， 为直径向外作两个半圆，面积分别 记为和.在中， ，分 别以， 为边向外作两个正方形，面积分 别记为和.若 ，，则 的值为( ) D A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 10 （第7题） 【点拨】在中， ,所 以 ,所以 ,所以 .因为 ,所 以.所以 .在 中， ,所以 ,所以 . 返回 11 8. 在中，，是上异于， 的一点， 则 的值是( ) B A. 15 B. 25 C. 30 D. 20 12 【点拨】如图，过点作于 ，所以 ，因为 ，所 以， ， ，所以 . 返回 13 （第9题） 9.［2025佛山期中］如图，在 中， ，，，点 在边 上，把沿直线折叠，使得点 的 对应点落在的延长线上，则 ___. 3 14 （第9题） 【点拨】在中， ， ， ，所以 .所以 .由折叠得， ， ，所以 .设 ， 则.在中， ， 即，解得，所以 . 返回 15 10. 如图①是第七届 国际数学教育大会 会徽 图案，它是由一串有公共顶点 的 直角三角形（如图②）演化而成的. 图②中的 ，若 代表 的面积，代表的面积，以此类推，则 的值为__. 16 【点拨】由勾股定理得 ， ， ， ，，所以 , 所以 . 返回 17 11. 在中，， ，高 ，则 的周长为________. 84或64 18 【点拨】（1）当高在 的内部时，如图①. 在中，，所以 .在 中，，所以 . 所以，此时 的周长是 ； 19 （2）【点拨】当高在 的外部时，如图②. 在中， ，所以 . 在中，，所以 . 所以，此时 的周长是 . 综上所述， 的周长是84或64. 返回 20 12. 如图，在 中， ， ， ，动点从点出发沿射线 以 的速度运动，设运动的时间为 . （1）当点运动到的中点时， 的值是___； 2 21 （2）连接，内，若，求 的长； 22 【解】在 中，由勾股定理易得 ,当点到达点 时， ，所以内，点在线段 上.由题意得 .因为 ，所以.在 中，根据勾股 定理可得，即 ，解 得，所以 . 23 （3）当为直角三角形时，求 的值. 24 ①当 时，点和点 重合， 此时 ； ②当 时，点在线段 的延 长线上，如图.因为， ，所以 .在 中，根据勾股定理可得 ，在 中，根据勾 股定理可得 ， 25 所以 ，解得 . 综上，或 . 返回 13. 【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离 的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如：图①中， 和分别为的边上的高和中线， ， ，则的边的“中偏度值”为 . 27 【尝试应用】 （1）如图②，在 中， ， ， ，求 的边 的“中偏度值”； 28 【解】作的中线，高线 ，如图. 因为 ，， ，所 以由勾股定理易得 . 因为 ， 所以 ， 29 所以 ，所以由勾股定理易得 . 因为为边 上的中线， 所以 ， 所以 ， 所以的边的“中偏度值”为 . 【拓展延伸】 （2）如图③，点为直线上方一点，点到直线 的距离 ，点在直线上，且，若点在直线 上， 且，求的边 的“中偏度值”. 31 ①当在 外部时，作 的中线 . 在 中，由勾股定理易 得，在中，由勾股定理易得 ，所以 . 因为为的中线，所以 ， 所以 ， 所以的边的“中偏度值”为 ； 32 ②当在 内部时，作 的中线 . 同①知， ，所 以 . 因为为 的中线， 所以，所以 ， 所以的边的“中偏度值”为 . 综上所述，的边的 “中偏度值”为6或 . 返回 33 $$第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 1 1. 一个长方形抽屉长，宽 ，贴抽屉底面放一根木 棒，那么这根木棒最长（取整厘米数，不计木棒粗细）可以 是( ) C A. B. C. D. 返回 2 （第2题） 2. ［2025西安未央区开学考试］如图，某自动 感应门的正上方 处装着一个感应器，离地2.1米 米 ，当人体进入感应器的感应范围内 时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2米米 的 B A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于 ( ) 返回 3 3. 如图，一扇卷闸门用一块宽 ，长 的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门 撑起的高度为_____ . 130 （第3题） 返回 4 （第4题） 4.如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角 形，若梯子长等于 ，梯子完全撑开后顶 端离地面的高度等于 ，则此时梯子侧面 宽度等于____ . 1.4 返回 5 （第5题） 5.如图，某小区有一块四边形空地 ，为 了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪， 经测量 ，米， 米，米， 米.若铺一平方米草 坪需要50元，则铺这块空地需要投入资金 ________元. 11 700 6 （第5题） 【点拨】连接 . 因为 ,米, 米, 所以 . 因为米, 米, 所以 , 7 （第5题） 所以是直角三角形,且 , 所以四边形 的面积为 所以铺这块空地需要投入资金 （元）. （平方米）， 返回 8 6. 爱护森林人人有责，如图 （单位： ）是某森林小队为该地区森林鸟 类安装的木屋示意图，它为轴对称图形，求 屋顶到地面 的距离. 9 【解】因为木屋为轴对称图形， 所以 是等腰三角形. 作，垂足为 . 由题意得 ， 所以 . 因为，所以 . 所以 . 所以屋顶到地面的距离为 . 返回 10 （第7题） 7. 如图，某会展中心在会展期间 准备将高、长、宽 的楼梯铺上地 毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算 一下，铺完这个楼梯至少需要_______元. 1 020 【点拨】由勾股定理得 ，所以 ，所以地毯总长为 , 所以地毯的总面积为 ,所以铺 完这个楼梯至少需要 （元）. 返回 11 （第8题） 8.［2025淄博期中］我国古代 数学著作《九章算术》第九章 《勾股》中记载了这样的一个 问题：“今有开门去阃 一 101 尺，不合二寸，问门广几何？” 意思是：如图，推开两扇门 和，门边缘，两点到门槛 的距离是1尺，两扇门 的间隙为2寸，则门宽是_____寸（1尺 寸）. 12 【点拨】如图，过点作于点 .设 寸.由题意得尺 寸， 寸，则寸.在 中， ，即，解得 ， 所以 寸. 返回 13 9. 如图， 中， ，， ， ，，， 是 10或 直线上一动点，把沿 所在的直线翻折后 （再展开），若点落在直线上的点处，则 ______. 14 【点拨】（1）当点在点 左边时，如图①，由折叠的性质 得，.因为 ,, ，所 以.因为 ， ,,所以 ，所以 .设，则 . 在中，由勾股定理得 ，即 ，解得，即 ； 15 （2）当点在点 右边时，如图②所示， 同上得,， , ,所以 . 设，则 .在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得，即 .综上所述， 或 . 返回 16 10. 物理课上，老师带着科技 小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳 子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体 上， 滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来 调节物体的升降.实验初始状态如图①所示，物体 静止在 直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体 到定滑 轮的垂直距离是 .（实验过程中，绳子始终保持绷紧状 态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） 17 （1）求绳子的总长度； 【解】根据题意得，， ， 所以由勾股定理得 ，所以 .所以绳子的总长度为 . 18 （2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离. 如图所示. 在 中，由勾股定理得 ,所 所以滑块向左滑动的距离为 . 以 , 所以 . 返回 19 11. 如图，在长方形 中，，，为 边上一点， ，连接 ． （1）求 的长． 【解】在长方形中， ， . 因为，所以 . 又因为 ， 所以在中，由勾股定理得 . 20 （2）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边 向终 点运动，连接．设点运动的时间为 . 21 ①当为何值时， 为等腰三角形？ 分三种情况讨论： 当时，易得，所以，所以 ; 当时，有，所以 ； 当时，易得 ， 所以 . 综上所述，当为3或4或时， 为等腰三角形. 22 ②当为何值时， 为直角三角形？ 分两种情况讨论：当 时，易得 ； 当 时，过点作于点 . 在中， ， 在中， ， 所以 ， 解得 . 综上所述，当为或6时， 为直角三角形. 返回 23 $$第一章 勾股定理 ☆问题解决策略:反思 1 （第1题） 1. 教材P16问题 如图，圆柱高 ，底 面半径为，一只蚂蚁从点爬到点 处吃食， 它沿圆柱侧面爬行的最短路程 取3 约是 ( ) B A. B. C. D. 无法确定 返回 2 （第2题） 2. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形 的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点 到 顶点缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为 ， 底面边长为 ，则这圈彩带的长度至少为 ( ) C A. B. C. D. 返回 3 （第3题） 3.［2025郑州金水区期末］如图，正方体的棱 长为，是正方体的一个顶点， 是侧面 正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面 上爬行，从点爬到点 的最短路径的平方是 ____ . 10 返回 4 （第4题） 4. 如图是某滑雪场 型池的示 意图，该 型池可以看作是一个长方体去掉一 个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面 是半径为3的半圆，其边缘 ， 点在上，.一名滑雪爱好者从 点 滑到点时，他滑行的最短路程约为____ 取 . 15 返回 5 5.如图，四边形是一块长方形地面， ， ，中间有一堵墙，高，蚂蚁从点 爬 到点，必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬____ . 26 返回 6 6.如图，小区与公路的距离米，小区与公路 的 距离米，已知 米. （1）政府准备在公路边建造一座公交站台，使到， 两 小区的路程相等，求 的长； 7 【解】如图①，连接, ,根据题意 得 ， 所以 . 设米，则 米， 在中， , 在中， . 所以 ， 解得,即 的长为475米. 8 （2）现要在公路旁建造一利民超市，使到， 两小区的 路程之和最短，求出最短路程. 9 如图②，作点关于直线的对称点 ，连 接，交直线于点，点 即为利民超 市的位置. 连接,则 ， 所以 . 作交的延长线于点 ， 10 在中， 米， （米）， 所以 , 所以 米，即最短路程为1 000 米. 返回 7.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上 （如图为其示意图），有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地 盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为 的中点）， 柱身高约16米，则雕刻在石柱上的龙至少为______. 20米 返回 12 8.［2025青岛期中］如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一 个组合体，蚂蚁从左下角点爬到右上角点 的最短路线长的 平方是____. 41 （第8题） 返回 13 （第9题） 9.如图，一个圆柱形容器的高为 ，底面半 径为，在容器内壁中点 处有一只蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相 对的点 处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为____ .（容器厚度忽略不计） 15 14 【点拨】如图，将圆柱形容器侧面展开，作点 关于直线的对称点，连接，易知 为壁虎捕捉蚊子的最短距离.由题意易得, 在 中，由勾股定理得 ，所以 .即 壁虎捕捉蚊子的最短距离为 . ， . 返回 15 10. 如图，一圆柱高 ，底面周长是 ，一只螳螂在的中点处，一只昆虫在 的某处， 螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫，螳螂共 爬行了，那么此时昆虫离点 的距离为多少厘米？ 16 【解】 沿 把圆柱的侧面展开，如图所示. ①设昆虫在边上的处，过作 的垂线， 垂足为，连接，则 为最短爬行距离，根 据题意知， , .易得 , ,所以由勾股定理得 . 所以易得 ； 17 ②设昆虫在边上的处，过作 的垂线， 垂足为，连接，则 为最短爬行距离， 同理可得， ，所以易得 .综上 所述，昆虫离点的距离为或 . 返回 11.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高 ， 水深，在水面线上紧贴内壁 处有一粒食物， 且，一只小虫想从水缸外的 处沿水缸壁爬到水缸 内的 处吃掉食物. 19 （1）小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的 路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注. 【解】如图，作点关于 所在直线的对称点 ，连接，交于点，连接 ,则 为最短路线. 20 （2）求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）. 21 因为， ， 所以 . 在中， ， ， ,所以 . 由对称性可知 ， 所以 . 故小虫爬行的最短路程长为 . 返回 22 12.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆 柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝. （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧 面展开图是___. A. B. C. D. A （2）金属丝的长为____. 20 23 （3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离 杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ， 且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 24 【解】如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点，连接交于点 ，易知 为最短路程.作，交 的延长线 于点 . 易得 , .在 中，由勾 股定理得,即蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬行的 最短路程为 . 返回 25 $$