精品解析：上海市育才中学2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试题

育才中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】利用正弦型函数的周期公式计算，得到函数的最小正周期为. 故答案为：2. 2. 化简：=______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 3. 已知角的终边经过点，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，过点P到原点的距离为，所以，所以 ，故填 . 4. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 5. 已知，，则在上的数量投影是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案. 【详解】依题意，在上的数量投影是. 故答案为： 6. 已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值. 分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得. 故答案为：. 7. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，利用解三角形的知识，以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】设飞机的飞行速度为，根据飞机的飞行图形， 测得俯角为，飞行后到达B处观测地面目标P，测得俯角， 所以为直角三角形， 过点作于点，则， 则， 设飞机由B至C的飞行时间为分钟，则， 由，可得， 则， 又由，解得. 故答案为：. 8. 设为平行四边形的对角线、的交点，为平行四边形所在平面内的一个动点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角线性质与平面向量基本定理计算即得. 【详解】 如图，点为的中点，则， 于是，. 故答案为：20. 9. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以， 当时，最小，其最小值为. 故答案为： 10. 设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则______. 【答案】66 【解析】 【分析】易知在中恰有2个零点，由，分析中的零点数量即可. 【详解】由已知最小正周期为，故，在中恰有2个零点. 因为， 而区间中恰有个零点， 只需分析区间中的零点数量， 注意到相邻零点间的距离交替为，，而开区间长度为， 所以该区间中至少0个零点，至多2个零点，所以，， 所以. 故答案为：66 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是，分析区间中的零点数量即可. 11. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法，结合向量数量积运算、三角函数值域等知识求得正确答案． 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以三角形和三角形是等边三角形， 则四边形是菱形，则， ， 由于，所以， 所以， 所以的取值范围是, 故答案为： 12. 函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 14. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 15. 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，由题意得到，，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果. 【详解】 如图：过作于，则由题意可得：，， 在中，， 所以， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，以及判断三角函数的图像，属于常考题型. 16. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②，； ③； ④与的夹角为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在坐标系中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，且，. 对于①，因，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，由①已得，所以，故③正确； 对于④，因， 则， 且， 则， 因，故与的夹角为，故④正确． 综上可得，有②，③，④共3个结论正确. 故选：C. 三、解答题 17. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出. （2）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示求出范围. 【小问1详解】 由，得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 由与的夹角是钝角，得且与不共线， 则，解得且， 所以的取值范围是. 18. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数，设出的解析式，利用给定的解集求出参数得解析式. （2）由（1）的结论，等价变形不等式，分离参数，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 19. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， （1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； （2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ （3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】（1），； （2） （3）（或）时，的最大值为米． 【解析】 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【小问1详解】 ， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； 【小问2详解】 由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 【小问3详解】 由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 20. 已知，，函数 （1）求函数的解析式及其图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为________． 2. 化简：=______ 3. 已知角的终边经过点，则的值等于_____． 4. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 5. 已知，，则在上的数量投影是______. 6. 已知函数有最小值，则实数的取值范围为________． 7. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为______． 8. 设为平行四边形的对角线、的交点，为平行四边形所在平面内的一个动点，若，则________． 9. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 10. 设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则______. 11. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其展开几何图是如图的扇形，其中，，4，点在上包含端点，则的取值范围是___________． 12. 函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 15. 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②，； ③； ④与的夹角为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题 17. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 18. 已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 19. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， （1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； （2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ （3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 20. 已知，，函数 （1）求函数的解析式及其图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $