精品解析：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2024-2025学年高三下学期4月份考试数学试题

云南省峨山彝族自治县第一中学2024-2025学年高三下学期4月份考试 高三 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设全集，集合，则（ ） A B. C. D. 3. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 圆台上、下底面半径分别为，作平行于底面的平面将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（ ）. A B. C. D 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 10. 素数分布是数论研究核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的最大内角是最小内角的倍 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 13. 已知函数恰有两个零点，则______. 14. 已知函数，记等差数列的前项和为，，，则_______ 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，若对，使得，求的取值范围． 16. 某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表： 认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比 男性顾客 40 20 女性顾客 30 40 （1）依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关； （2）店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下（已知）： （天） （用餐人数） 32 52 73 95 经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明. 附：（i）在经验回归方程中，. （ii）相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好. （iii），其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图所示，是直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 18. 已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. （1）直线与圆相切于点Q，求的值； （2）求曲线C的方程； （3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省峨山彝族自治县第一中学2024-2025学年高三下学期4月份考试 高三 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法写出全集，再利用并集、补集的定义求解作答. 详解】依题意，全集，而，有， 所以 故选：B 3. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故选：C 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件. 【详解】解：令，， 因为在定义域上单调递增， 由函数在上单调递减， 则在上单调递减且恒成立， 所以，解得， 因为， 所以使成立的一个充分不必要条件为. 故选：D 5. 如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可. 【详解】由图象可知函数为偶函数，且， 四个选项函数的定义域均为， 对于A项，，即为偶函数， 而，故A错误； 对于B、D项，， ，显然两项均为奇函数，故B、D错误； 对于C项，，即为偶函数， 而，故C正确. 故选：C 6. 已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量基本定理得到，利用向量数量积公式得到，，从而利用夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意知：,, , , ,. 故选：D 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出为等差数列，求出等差数列的通项公式得出，再根据裂项相消即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以为等差数列，公差，首项， 所以，所以， 所以 . 故选：D． 8. 圆台上、下底面半径分别为，作平行于底面的平面将圆台分成上下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设截面半径为，上，下圆台的高分别为，，上，下圆台的体积分别为，则，而，利用圆台体积公式建立方程，化简求解即可得到答案． 【详解】设截面半径为x，上、下圆台的高分别为，，上，下圆台的体积分别为， 则，又， 则， 于是，则， 得，故. 故选：B． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出选项中与的值域即可得到答案. 【详解】对选项A，，，， 故A错误. 对选项B，，，， 故B正确. 对选项C，，，，故C正确. 对选项D，，， ， 故D错误. 故选：BC 10. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过40的素数中，任选两个不同的素数，令事件，，，记事件发生的概率分别为，则下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据素数的定义确定不超过40的素数，求出任意取两个不同的素数p、样本点数，再由各事件定义写出对应样本点，并求出对应事件的概率，即可判断各项正误. 【详解】由题设，不超过40的素数有共12个， 从中任意取两个不同的素数、：有11个，有10个，有9个， 有8个，有7个，有6个，有5个， 有4个，有3个，有2个，有1个， 所以共有个样本点； 共5个样本点； 共4个样本点； 共11个样本点； 所以， 显然，. 故选：ABC 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 是锐角三角形 D. 的最大内角是最小内角的倍 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项. 【详解】对于A，由正弦定理可得，A对； 对于B，由余弦定理可得，，， 所以，，B错； 对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对； 对于D，由题意知，为最小角，则， 因为，则，则，D错. 故选：AC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时取得等号， 所以有最小值为3， 因为恒成立，所以，即， 解得， 故答案为: . 13. 已知函数恰有两个零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得. 【详解】因为， 所以 令，则，令， 故当时，函数为增函数， 当时，函数为减函数， 即当时函数有最小值， 若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符，且当时，的零点为1； 若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点， 设交点为，且，即， 所以当或时，即，此时函数为增函数， 当时，即，此时函数为减函数， 依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或， 所以或， 所以，所以， 故答案为：. 【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法： 设 方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解； 方法二：转化为函数的交点个数问题求解. 14. 已知函数，记等差数列的前项和为，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得，进而．结合等差数列的求和公式计算即可求解． 【详解】因为定义域为R，关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由，知函数在R上单调递减， 由，， 得， 得7，所以6， 因为为等差数列，所以． 故答案为：-6069 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为函数的极值点． （1）求的值； （2）设函数，若对，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据极值点求出的值； （2）先由（1）求出最小值，由题意可得是求的最小值，小于等于的最小值，对求导，判断由最小值时的的范围，再求出最小值与最小值的关系式，进而求出的范围． 【小问1详解】 ， 由，得， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极小值点， 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 函数的导函数 ①若，对，使得， 即，符合题意． ②若，取，对，有，不符合题意． ③若，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，所以， 若对，使得，只需， 即，解得． 综上所述，的取值范围为． 16. 某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表： 认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比 男性顾客 40 20 女性顾客 30 40 （1）依据小概率值的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关； （2）店长统计了第，，，天自助餐的用餐人数，统计结果如下（已知）： （天） （用餐人数） 32 52 73 95 经计算得经验回归方程为，以样本的相关系数为标准，对该经验回归方程的拟合效果进行说明. 附：（i）在经验回归方程中，. （ii）相关系数若，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合效果不好. （iii），其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算，比较其与临界值大小，给出结论. （2）由条件，结合公式求相关系数即可判断. 【小问1详解】 零假设为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别独立， 由已知， 又， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此，可以认为成立，即认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别无关. 【小问2详解】 因为经验回归方程为， 所以，， 又， 所以， ， 所以， 所以该经验回归方程的拟合效果非常好. 17. 如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， （1）求证：EF⊥平面PBC； （2）若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，再证明，即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 18. 已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. （1）直线与圆相切于点Q，求的值； （2）求曲线C的方程； （3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2），； （3）证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【小问1详解】 由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； 【小问2详解】 由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 ， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$