精品解析：四川省眉山市仁寿县部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

24级高一下学期期中校校联考 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 3. 已知函数是奇函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的奇偶性，得到关于的方程，找到满足条件的值即可. 【详解】是奇函数，则只需， 所以， 所以时，. 故选：D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 5. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 6. 某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设，根据已知求出即可. 【详解】设，又，则， 因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬， 且太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，所以， 则近似满足函数． 故选：B. 7. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 8. 函数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，从而得到函数最大值； 【详解】 所以函数的最大值为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 零向量的长度为零，方向是任意的 C. 若与是平行向量，则 D. 若或，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错； 零向量的长度为零，方向任意，故B正确； 若，的模长不一定相等，故C错； 若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先计算得到，，再利用 展开得到答案. 【详解】，， ； ，； 当，所以， 当，所以， 故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换是解题的关键. 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C；由题意计算可得，画出函数与的图象计算即可判断D. 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，则有， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C错误． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 即有，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 13. 已知，恰有两个零点，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由零点的定义，根据正弦函数图象的对称性可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 得， 又函数图象在上的对称轴为， 所以. 所以. 故答案为： 14. 在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可. 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【小问1详解】 ，，与的夹角是， 则， 即有； 【小问2详解】 由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. 16. 求下列各式的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用二倍角正余弦及正切公式分别化简各式求值即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 17. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案. 【小问1详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 【小问2详解】 ． 其中， 由（1）知：， 所以． 18. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象. （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）若，求的最大值及取得最大值时的值. 【答案】（1），最小正周期为；（2），此时. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，应用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，进而求出函数的解析式及最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性求解的最大值及取得最大值时的值. 【详解】解：（1） ， 故将函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象对应的解析式为， 函数的最小正周期. （2）由得， ， 此时，解得. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式及三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题. 19. 已知． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令，即可求得的单调递增区间. （2）根据（1）化简可得，则原题等价于，即可，利用二倍角公式，对化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）化简得 = =， 令，解得 所以单调递增区间为，. （2）由（1）可得， 即，对任意的恒成立， 只需要即可， ， 令，因为，则， 所以， 所以， 由对勾函数性质可得，当时，为减函数， 所以当时，， 所以． 【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除，得到关于的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高一下学期期中校校联考 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，化简（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 6. 某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（ ） A. B. C. D. 7. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 8. 函数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 零向量的长度为零，方向是任意的 C. 若与是平行向量，则 D. 若或，则 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值可能为 D. 若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______． 13. 已知，恰有两个零点，，则________． 14. 在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 16. 求下列各式的值： （1） （2） （3） 17. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 18. 将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象. （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）若，求的最大值及取得最大值时的值. 19. 已知． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $