精品解析：江苏省盐城市初级中学（康居路）2024-2025学年下学期九年级数学期中 试卷

盐城市初级中学2024－2025学年度第二学期期中考试 初三年级数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列有理数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小比较选项中数的大小，进而可得答案． 【详解】解：，，， ∴， ∴最大的数为， 故选：A． 2. 是我国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图是由6个相同小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 4. 某小组6名学生的中考体育分数（单位：分）如下：33，36，36，36，39，40，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，33 B. 36，33 C. 36，36 D. 36，39 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数和众数定义，是解题的关键．根据中位数定义，一组数据中处于中间位置的数，叫做这组数据的中位数，根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数为这组数据的众数，进行解答即可． 【详解】解：在33，36，36，36，39，40中出现次数最多的是36，因此众数是36；将这组数据从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为36，36，则这组数据的中位数是． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 6. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 7. 已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 8. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅲ中最小的内角是，最大的内角是；②Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；③Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由六边形是正六边形，得，，由，，，即可判断①；从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，可判断②；证明和都是等边三角形，则，可判断③；证明，得，可判断④，进而可得答案． 详解】解：如图所示：     ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是， 故①说法错误； ∴， ∴，则， ∴Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故②正确； ∵，， ∴和都等边三角形， ∴， 如图，移动到处，移动到处， ∵， ∴四边形是菱形， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形， 故③正确； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故④说法错误； 综上，正确结论的序号是①②③ 故选C． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的综合，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共24分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 2025的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2025的相反数是． 故答案为：． 10. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式a解即可因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用提公因式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：先提公因式，再用公式法进行分解． 11. 圆锥的母线长为3cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：依题意知母线长l=3cm，底面半径r=1cm， 则由圆锥的侧面积公式得：S=πrl=π×1×3=3π（cm2）． 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 12. 课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，，1的卡片上，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片面的数字是有理数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率公式求概率，涉及有理数定义，根据所给五个数，先根据有理数的定义确定有理数的个数，利用简单概率公式求解，即可得到答案． 【详解】解：依题意，，0，，，1中有3个有理数，分别是0，，1， ∴混合后随机抽取一张，有5种等可能的结果，取出的卡片正面的数字是有理数的概率是， 故答案为：． 13. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据角的和差、三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得 ． 故答案为：． 15. 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过B作轴于点，过作轴于点D，先根据等腰直角三角形的性质得到，设则，代入中求得，则；设，根据反比例函数图象上点的坐标特征和勾股定理求得，，利用完全平方公式求得a、b值即可解答． 【详解】解：过B作轴于点，过作轴于点D， ∵，， ∴， 设则， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴， 由旋转性质得， ∵ ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，涉及反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式的应用、旋转性质等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 分析】先根据算术平方根，零指数幂，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了算术平方根，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组 【答案】1≤x < 2 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据：“大于小的小于大的取中间”确定不等式组解集． 【详解】解： 由①得：2x≥2，即x≥1 由②得： x2， ∴原不等式组的解集为：1x2． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，利用“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”的规则来确定不等式组的解集是解决本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】先计算括号里的，再将除法转化为乘法，将分子和分母进行因式分解后进行约分，最后代入数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握正确的运算顺序，并能灵活的对分式进行通分和约分． 20. 如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 如图，图1，图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） （1）在图1中作四边形，使得四边形是中心对称图形； （2）在图2中作的中位线，点F为中点，并求出的长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查画中心对称图形、平行四边形的性质，三角形中位线的定义、勾股定理求解等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）根据平行四边形是中心对称图形以及网格的特点作平行四边形即可． （2）先根据网格的特点作平行四边形，连接，交于F，则F为的中点，连接，再根据三角形中位线的性质结合网格、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形如下图： 【小问2详解】 解：中位线如下图： ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，过点作轴，垂足为点，点是双曲线第三象限上一点，连接，． （1）求的值； （2）若的面积为12，求直线的解析式 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解； （2）先根据点A的坐标求出AB的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，即可求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式． 【详解】解：（1）∵双曲线，经过点， ， 解得； （2）设点到的距离为， 点坐标为，轴， ， ， 解得， ∵点的纵坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以，直线的解析式为． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解题关键在于利用待定系数法求函数解析式. 23. 随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种，用，，，表示四种不同的沟通方式），在全校范围内随机抽查了部分学生，将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，表示的扇形对应的圆心角的度数为____，并将条形统计图补充完整． （2）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用种方式进行沟通的学生有____名． （3）某天甲、乙两名学生都想从，，三种沟通方式中随机选一种方式与对方联系．请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】（1），图见解析 （2）600名 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出调查总人数，进而求出的人数，用360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数，根据的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为（人）； ∴表示的扇形对应的圆心角的度数为； 的人数为：（人）； 补全条形图如图： 【小问2详解】 解：（名）； 答：估计该校最喜欢用C种方式进行沟通的学生有600名； 【小问3详解】 解：由题意，列表如下： A C D A A，A A，C A，D C C，A C，C C，D D D，A D，C D，D 共9种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的结果有3种； ∴恰好选中同一种沟通方式的概率． 24. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ∴， 即的半径为6． 25. 消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为15米，套管的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，，，米，求的长． （2）如图3，先将云梯伸长到最大长度15米，再将从增加到某一角度时，若云梯顶端的铅直高度升高了3米，求增加的度数．（参考数据：，，） 【答案】（1）1米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，构造直角三角形是关键． （1）过点作于点，在中，，，可得米，米，根据，得到米，由米即可求解； （2）算出增加角度前后云梯顶端到的距离，进而利用锐角三角函数求得的度数，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， ， （米）， （米）， 答：的长为3米； 【小问2详解】 解： 如图3，过点D作于点H， 当时，云梯顶端到的距离为（米）， ∴增加角度后云梯顶端到的距离为， 在中，由得， ∴， ∴增加的度数为． 26. 大自然中存在着许多数学的奥秘．比如，图1是一片美丽的心形叶片，它可以近似的看作是将一条抛物线的一部分沿着一条直线折叠而形成的． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，心形叶片的对称轴以下的轮廓线可以看作是二次函数的图象的一部分，已知该函数图象过点，，请求出该抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴直线与叶片的交点分别为点A，点B，请求出叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，在（1），（2）的条件下，点P为心形叶片对称轴上方的抛物线上的一点，过点P作对称轴的垂线，垂足为D，且与x轴交于点C，若，求叶片在此处的宽度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）联立方程组求得点A、B坐标，再利用两点坐标距离公式即可求解； （3）延长交对称轴下方抛物线线与Q，过D作轴于E，过Q作轴于H，设对称轴交x轴于F，交y轴于T，由对称性质得，先推导出 ，证明，利用相似三角形的性质得到，将代入中求得t值，进而利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象过点，， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）联立方程组，解得，， ∴,, ∴， 即叶片的长度为； （3）延长交对称轴下方抛物线线与Q，过D作轴于E，过Q作轴于H，设对称轴交x轴于F，交y轴于T， 由对称性质得，，即， 当时，，当时，， ∴，，则， ∴， ∴，则， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 将代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键． 27. 在平面内，将一个图形以任意点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，得到图形，再以为位似中心将图形放大或缩小得到图形，使图形与图形的对应线段的比为，我们把这种图形变换叫做【，】变换，点为变换中心．例如，把绕着点逆时针旋转得，再以点为位似中心，将缩小为原来的，就记为【，】变换． （1）如图1，的边长为，将它以点为中心作【，】变换，得到，连接，则线段的长为 ． （2）如图2，是的内接正三角形，点是的中点，连接并延长到点，使，连接和．可以看作是经过【，】变换得到的吗？如果可以，请求出，的值；如果不可以，请说明理由． （3）如图3，在中，，，，为边上的高，将以点为中心经过【，】变换得到，求的长及的面积． （4）如图4，在（3）的条件下，若为线段上一动点（点不与点，重合），将以点为中心经过【，】变换得到．以，为边作矩形，连接．则面积的最大值为 ． 【答案】（1） （2）可以， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）由新定义可得，，且相似比为，得出，再由勾股定理求解即可； （2）由是的内接正三角形，可得，得出 再由点是的中点，可得出，从而求得作于点，设，可得 可得出，从而得出答案； （3）如图，过点E作，由勾股定理可得，再由面积法求得，再由新定义可得，得出，，求得，再证明，求得，最后由三角形面积公式求解即可； （4） 过点作，设，设与交于点，先求得，可得，再由新定义可得，得出， 再证明，可得，再根据三角形面积公式列出二次函数，最后利用二次函数的性质解决即可． 【小问1详解】 解：将以点为中心作【，】变换，得到， ，，且相似比为， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：可以，理由如下： 是的内接正三角形， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 是正三角形， ， 当绕点逆时针旋转时与成位似图形，作于点， 设， ， 即可以看作是经过【，】变换得到， ； 【小问3详解】 解：如图，过点E作， 在中，，，， ， 为边上的高， ， 即， ， ， ， 将以点为中心经过【，】变换得到， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图，过点作，设，设与交于点， 中，， ， 将以点为中心经过【，】变换得到． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 当时，面积的最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义综合题，涉及到旋转与位似的性质、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数的性质及勾股定理，理解【，】变换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城市初级中学2024－2025学年度第二学期期中考试 初三年级数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列有理数中，最大数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 是我国深度求索公司研发高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某小组6名学生的中考体育分数（单位：分）如下：33，36，36，36，39，40，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，33 B. 36，33 C. 36，36 D. 36，39 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅲ中最小的内角是，最大的内角是；②Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；③Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠无缝隙）能拼成一个菱形；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共24分．请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 2025的相反数是______． 10. 分解因式：____． 11. 圆锥的母线长为3cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为______． 12. 课桌上有五张不透明看上去无差别的卡片，正面分别写着，0，，，1的卡片上，背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片面的数字是有理数的概率是__________． 13. 如图，直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是________． 14. 两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为___________． 15. 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 16. 如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：； 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 21. 如图，图1，图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） （1）在图1中作四边形，使得四边形是中心对称图形； （2）在图2中作的中位线，点F为中点，并求出的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，过点作轴，垂足为点，点是双曲线第三象限上一点，连接，． （1）求值； （2）若的面积为12，求直线的解析式 23. 随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种，用，，，表示四种不同的沟通方式），在全校范围内随机抽查了部分学生，将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，表示的扇形对应的圆心角的度数为____，并将条形统计图补充完整． （2）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用种方式进行沟通的学生有____名． （3）某天甲、乙两名学生都想从，，三种沟通方式中随机选一种方式与对方联系．请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的概率． 24. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点，，在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为15米，套管的长度不变． （1）在某种工作状态下测得，，，米，求长． （2）如图3，先将云梯伸长到最大长度15米，再将从增加到某一角度时，若云梯顶端的铅直高度升高了3米，求增加的度数．（参考数据：，，） 26. 大自然中存在着许多数学的奥秘．比如，图1是一片美丽的心形叶片，它可以近似的看作是将一条抛物线的一部分沿着一条直线折叠而形成的． 【探究一】确定心形叶片形状 （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，心形叶片的对称轴以下的轮廓线可以看作是二次函数的图象的一部分，已知该函数图象过点，，请求出该抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的长度 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴直线与叶片的交点分别为点A，点B，请求出叶片的长度； 【探究三】探究心形叶片的宽度 （3）如图4，在（1），（2）的条件下，点P为心形叶片对称轴上方的抛物线上的一点，过点P作对称轴的垂线，垂足为D，且与x轴交于点C，若，求叶片在此处的宽度． 27. 在平面内，将一个图形以任意点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，得到图形，再以为位似中心将图形放大或缩小得到图形，使图形与图形的对应线段的比为，我们把这种图形变换叫做【，】变换，点为变换中心．例如，把绕着点逆时针旋转得，再以点为位似中心，将缩小为原来的，就记为【，】变换． （1）如图1，的边长为，将它以点为中心作【，】变换，得到，连接，则线段的长为 ． （2）如图2，是的内接正三角形，点是的中点，连接并延长到点，使，连接和．可以看作是经过【，】变换得到的吗？如果可以，请求出，的值；如果不可以，请说明理由． （3）如图3，在中，，，，为边上的高，将以点为中心经过【，】变换得到，求的长及的面积． （4）如图4，在（3）的条件下，若为线段上一动点（点不与点，重合），将以点为中心经过【，】变换得到．以，为边作矩形，连接．则面积的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$