精品解析：广西示范性高中2024-2025学年高一下学期4月期中调研测试数学试题

2025年广西示范性高中4月高一期中调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 以下四个结论： ①若，则为异面直线； ②若，则为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平行四边形中，，在直线上有点满足，则的值为（ ） A. 18 B. C. 37 D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设为的重心，且，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为-3 B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则是等边三角形 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数______. 13. 若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为______. 14. 三棱台中，，则三棱锥的体积之比是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量满足，，. （1）求向量和的夹角； （2）若向量三点共线，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 在中，角所对的边分别是，，，点是边上的动点（端点除外）. （1）求的最大值； （2）若为锐角，线段的长度为4，的面积为4，求. 18. 已知函数，的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有的点向下平移3个单位，向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数.若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 19. （1）类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.通过类比可以从已知的数学知识中推测出未知的结论.例如，若是线段上一点，则即.将它类比到平面上得到定理：若是内一点，则（S表示三角形面积）. ①将它类比到空间中得到的定理是：若是四面体内一个点，______.（请写出相应结论，不需要证明） ②已知是同一平面内不同的四个点，且，则三点共线的充要条件是.写出空间中的类似定理：已知是空间中不同的五个点，______.（请写出相应结论，不需要证明） ③若是的内心，，且，当时，求的最大值. （2）已知直角三角形的直角边在斜边上，且，求面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广西示范性高中4月高一期中调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】，则， 故， 故选：B 2. 以下四个结论： ①若，则为异面直线； ②若，则为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据题设条件结合空间两直线的位置关系的判定方法，以及异面直线的定义，逐项判定，即可求解． 【详解】对于①中，若满足的直线可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线，所以①错误． 对于②中，根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交直线，所以②错误． 对于③中，在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误． 对于④中，在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误． 故选：A． 3. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理求解. 【详解】还原四边形，如图， 依题意，， 取的中点，连接，则，且， 所以． 故选：C 4. 3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理列式计算得解. 【详解】在中，，则，而， 由正弦定理得. 故选：A 5. 已知在平行四边形中，，在直线上有点满足，则的值为（ ） A. 18 B. C. 37 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用表示出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，， 则由 即，所以. 故选：A 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 7. 已知圆锥的底面半径为1cm，高为，其中有一个内接正方体，则这个内接正方体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥及内接正方体的结构特征，结合平行线分线段成比例求得正方体的棱长即可. 【详解】过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，如图， 则是圆锥的轴截面，矩形为正方体的对角面， 设正方体的棱长为，则， 设是圆锥底面圆心，则，， 由，得，则，解得， 所以这个内接正方体的体积为. 故选：B 8. 设为的重心，且，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形重心的性质可得出， 由正弦定理的角化边公式化简得出，，再由余弦定理求出. 【详解】∵，又是的重心 ∴，观察类比得：， 由正弦定理知：，则，， 即得， ∵，∴ 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为-3 B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求解复数，根据复数的性质判断各项正误. 【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误； z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确； ，C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的判定定理判断；C. 由平面NMP即为平面BNPM判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A.在正方体中，易得， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为且都在面ACB内，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故正确； B.如图所示： 易得，又平面，平面，所以平面， 又平面NCD与平面NMP相交，所以直线AB与平面NMP不平行，故错误； C.因为 ，所以平面NMP即为平面BNPM，显然直线AB与平面BNPM相交，故错误； D.如图所示： 易得，所以， 又平面，平面， 所以平面，故正确， 故选：AD 11. 在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则是等边三角形 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理求出，再结合三角形面积公式和角的正弦及正切函数的性质逐项分析判断. 【详解】由，得， 整理得，由正弦定理得， 对于A，由余弦定理得，而，则，A错误； 对于B，由及正弦定理，得，则，， 由选项A知，是等边三角形，B正确； 对于C，，解得，而， 当且仅当时取等号，，因此的外接圆半径的最小值为，C正确； 对于D，由锐角，得，， 因此，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求出值. 【详解】向量，，则， 因此向量在向量方向上的投影向量， 所以. 故答案为：2 13. 若三棱锥三条棱两两互相垂直，且，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】把三棱锥补形成长方体求出外接球直径，进而求出表面积. 【详解】由三棱锥三条棱两两互相垂直， 得该三棱锥与以线段为共点棱的长方体有相同的外接球， 则外接球直径为该长方体的体对角线长， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 14. 三棱台中，，则三棱锥的体积之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设三棱台高为，，根据三棱锥体积公式求出和，根据棱台体积公式算出三棱台体积，再算出，计算体积比值即可. 【详解】设三棱台高为，,则. 所以， ， 由于三棱台体积为，所以. 所以三棱锥的体积之比为. 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知向量满足，，. （1）求向量和的夹角； （2）若向量三点共线，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量线性运算求出，再利用向量基本定理求解即得. 【小问1详解】 由，，得，解得， 由，，因此， 又，所以向量和的夹角为. 【小问2详解】 由，得， ，由三点共线，得， 则存在，使得，即，而向量和不共线， 因此，解得， 所以的值. 16. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在直三棱柱中，连接， 由，四边形是矩形，得是的中点，而点D是棱的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合直三棱柱的结构特征证得平面平面，再利用点不对劲平面距离定义，结合面面垂直的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，，点D是棱的中点，得， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，因此平面平面，且平面平面， 在平面内过点作于，则平面， 即长是点到平面的距离，在中，， ，因此， 所以点到平面的距离为. 17. 在中，角所对的边分别是，，，点是边上的动点（端点除外）. （1）求的最大值； （2）若为锐角，线段的长度为4，的面积为4，求. 【答案】（1）； （2）8. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值. （2）在中利用三角形面积公式、余弦定理、正弦定理求出，再在中利用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 在中，，，由余弦定理得， 则，当且仅当时取等号，因此， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由的面积为4，得， 解得，而为锐角，则， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 在中，由正弦定理得. 18. 已知函数，的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有的点向下平移3个单位，向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数.若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式. （2）利用图象变换求出函数，再换元构造新函数，分析函数在指定区间上的性质，结合图形求出范围. 【小问1详解】 观察函数图象，得，解得， 函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式. 【小问2详解】 函数图象上所有的点向下平移3个单位，向右平移个单位， 得，则， 当时，令，函数在上递增， 函数值从增大到，在上递减，函数值从减小到0，又当时，， 因此函数在上递减，在上递增，在上递减， 当且仅当或时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 所以函数在区间上恰有两个零点，的取值范围是. 19. （1）类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.通过类比可以从已知的数学知识中推测出未知的结论.例如，若是线段上一点，则即.将它类比到平面上得到定理：若是内一点，则（S表示三角形面积）. ①将它类比到空间中得到的定理是：若是四面体内一个点，______.（请写出相应结论，不需要证明） ②已知是同一平面内不同的四个点，且，则三点共线的充要条件是.写出空间中的类似定理：已知是空间中不同的五个点，______.（请写出相应结论，不需要证明） ③若是的内心，，且，当时，求的最大值. （2）已知直角三角形的直角边在斜边上，且，求面积最小值. 【答案】（1）①． ②点不共线，且，则点共面的充要条件是. ③； （2）. 【解析】 【分析】（1）①②根据给定信息，利用类比方法写出结论.③利用给定的定理，结合内心特征可得，再利用三角形面积公式建立函数并求出最大值. （2）建立坐标系并求出直线方程，设，表示出，利用三角形面积公式建立函数关系，借助三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】（1）①线段类比成面积，面积类比成体积，若是四面体内一点，则有 ． ②略 ③设内切圆半径为，令内角所对边分别为， 由是的内心，得在的内部， 则， 而， 于是，即， 整理得，而，因此， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （2）以为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，由对称性不妨令点在线段上， 因，则直线方程为，整理得：， 设，则，代入直线方程， 得，则，同理， 则面积 ，而由可得， 故当，即时，，， 所以面积最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $