精品解析：广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，的夹角为45°，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若向量，，且，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 12 8. 函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 B. 若复数（为虚数单位），则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 11. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为 C. 函数的图象与直线（为常数）在区间上不可能存在3个交点 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 13. 两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为_____km. 14. 函数的部分图象如图所示，若，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，且在第三象限. （1）求和的值； （2）求的值. 16. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 18. 天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟. （1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？ （2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离； （3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期中段台山一中、开侨中学两校联考 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算求解. 【详解】因为， 故选：A. 2. 平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标得出向量坐标，再结合单位向量及同方向计算求解. 【详解】点，，， ，与同方向的单位向量是， 故选:A. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合诱导公式计算求解. 【详解】角的终边过点，，，， 由任意角的三角函数的定义知，，. 故选:B. 4. 已知向量，的夹角为45°，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积及运算律计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以， 则. 故选：A. 5. 如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，证得是平行四边形，从而有，再得出，然后由向量的线性运算法则求解． 【详解】取中点，连接， 因为是平行四边形，是中点， 则且，所以是平行四边形， 所以， 又，则， ， 所以. 故选：C． 6. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，即可求出结果. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得到， 故选：A. 7. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若向量，，且，的外接圆的半径为，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积可得，利用余弦定理可求得，进而可求，利用正弦定理可求得，进而利，可求的是大值，进而可求面积的最大值. 【详解】的三个内角，，所对的边分别为，，， 向量，，且，， .，，. 又的外接圆的半径为，， ，， 整理得到，当且仅当时等号成立，所以. 故选：A. 8. 函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据，求的范围，再根据正弦函数的图象和性质，确定的取值范围，再根据函数的单调区间，即可求解. 【详解】当，， 因为函数在上存在零点，所以，得， 当时，则， 由，可知，，则，则， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是整体代入求的范围，关键2是先根据存在零点确定. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 B. 若复数（为虚数单位），则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的分类判定A，应用复数的运算计算判定B，C，应用复数的几何意义判定D. 【详解】对于A，若复数，则为纯虚数的充要条件是且，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，复数满足，但，故C错误； 对于D，若复数满足，根据复数的几何意义则复数对应点的集合是以原点为圆心，以10为半径的圆，故D正确. 故选:BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为 C. 若向量，，则在上的投影向量的坐标为 D. 在中，若，则是等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用大边对大角以及正弦定理可得；B利用正弦定理以及可得；C利用投影向量的公式计算即可；D利用正弦定理得，再结合的范围即可得出是等腰三角形或直角三角形. 【详解】对于A，由大边对大角，则等价于， 再结合正弦定理可得，故A正确； 对于B，由正弦定理可得，则， 要使该三角形有两解，则，即，则，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于D，利用正弦定理将化简为，即， 因，则，则或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为 C. 函数的图象与直线（为常数）在区间上不可能存在3个交点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B，由函数的对称性和周期性，代入验证即可；对于C，取特殊值验证即可判断；对于D，当时，对去掉绝对值，然后求导，由，即可判断. 【详解】对于A，，， 所以，则的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，， 所以的一个周期为，故B正确； 对于C，当时，的图象与直线有3个交点， 分别为，故C错误； 对于D，当时，， 则， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数相等可得，求解即可. 【详解】设，因为，所以， 可得，解得为，则的虚部为. 故答案为：. 13. 两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为_____km. 【答案】7 【解析】 【分析】首先画出方位图，得到，再利用余弦定理求解即可 【详解】如图所示：由题意可得，且，， 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 14. 函数的部分图象如图所示，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，又且是轴左侧第一个零点，求得，进而可求得，可求解. 【详解】由题意可知，又，则， 因为为递增区间上的零点，且， 所以，， 故，，由条件可得函数的最小正周期， 又，所以，故，故，即，则， 由题意可知，关于函数图象中轴右侧第一个零点对称，即关于对称， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，且在第三象限. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可. （2）利用诱导公式，结合三角函数正余弦齐次式求值即可. 【小问1详解】 已知，且在第三象限，所以， 【小问2详解】 . 16. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示列式求解. （2）由（1）的结论求出向量，再利用向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 向量，，，由，得，则； 由，得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因此，， ，而，则， 所以向量，的夹角的大小为. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 18. 天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟. （1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？ （2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离； （3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果. 【答案】（1）37.5米；（2）；（3）分钟. 【解析】 【分析】（1）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，则，根据该函数可得分钟后他距离地面的高度. （2）利用余弦定理可求的长. （3）令，通过解三角不等式可得摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果. 【详解】（1）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为， 摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为， 由题意可得，， 当时， ， 所以游客分钟后距离地面的高度是米 . （2） 由题意可知，， 在中，， （3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果， 应满足， 化简得， 因为，所以 所以 ，解得， 所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果. 【点睛】本题考查三角函数的应用以及余弦定理的应用，注意根据题设条件合理建模，本题属于中档题. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $