精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考数学试卷（B）

·A10联盟2024级高一4月期中考 数学试题B 命题单位：合肥168中学数学教研组 编审单位：合肥皖智教育研究院 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得. 故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，即可求出. 【详解】， 则. 故选：D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断. 【详解】由题意得，∽，所以， 所以，所以. 故选：A. 4. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】记与轴的交点为D，依题意可得，利用勾股定理求出，最后根据计算可得. 【详解】记与轴的交点为D， 因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：， 因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ． 故选：B． 5. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的相关概念求出复数的实部和虚部，进而求出的模. 【详解】设，由为纯虚数，为实数， 得，，所以. 故选：A 6. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔画的条件. 【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正确; 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画. 故选：C 7. 在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面基本性质判断各个选项，根据线线平行得出四点共面，根据两直线异面得出四点不共面判断即可. 【详解】对于，故四点共面； 对于B,,故四点共面； 对于C,,故四点共面； 对于D,因为平面,平面,不过,所以与异面，所以四点不共面. 故选：ABC. 10. 已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的集合是圆 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意，通过取反例排除A项；由复数的几何意义可判断B项；设（），利用复数的乘法运算可判断C项；根据复数的几何意义，结合两向量差的模的性质即可推得D项. 【详解】对于A，设 符合题意，但，故A错误； 对于B，由，可得对应的点的轨迹是圆，故B正确； 对于C，设（），由可得， 则，故C正确； 对于D，设复数对应的向量分别为，则， 因，故得，即D正确. 故选：BCD. 11. 已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A B. 外接圆面积的最大值为 C. 的最小值为8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角形的内角和及和差化积可计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、D；根据三角形三边的性质可判断选项C. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则， 所以，即， 得，即，故A错误； 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以，则，故的外接圆面积的最大值为，故B正确； 因为，故D正确； 因为，所以，由上述结论可知，所以，故C错误. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念求解即可. 【详解】∵向量，，则，， 所以在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解． 【详解】(1)设， 由 ，得 又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，即． 由，解得或（舍去）， ∴． （2）由题意得， ∵复数为纯虚数， ∴解得 ∴实数的值为． 【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用． 16. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理，即可求得的值； （2）由（1）得到，求得，在中，利用正弦定理，即可求得的长； （3）在中，求得，再由正弦定理，求得，进而求得的长. 【小问1详解】 解：在中，， 由余弦定理，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 因为，所以，所以. 在中，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 解：在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得， 所以. 17. 已知单位向量的夹角为，且向量. （1）求的值； （2）若与共线，求实数值； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积定义计算即可； （2）由题意求出，，根据共线列式即可求； （3）利用平方的方法计算即可. 【小问1详解】 由题意得，. . 【小问2详解】 由题意得，， ， 因为不共线，所以，解得. 【小问3详解】 由（2）得，， . 18. 记的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若是的一条内角平分线，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角转化，再结合两角差正弦计算求解； （2）应用角平分线结合面积公式得出，再应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 即， ， . 【小问2详解】 由题意得，， 由，得， 即，即， ①. 由余弦定理，得， 即②. 联立①②，得或（舍）， 的周长为. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 （ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ·A10联盟2024级高一4月期中考 数学试题B 命题单位：合肥168中学数学教研组 编审单位：合肥皖智教育研究院 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ） A B. C. D. 4. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 已知为复数，为纯虚数，为实数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数的模均是1，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的集合是圆 C D. 11. 已知对任意角恒成立.设的内角满足面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（ ） A. B. 外接圆面积的最大值为 C. 的最小值为8 D 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是__________. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 14. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 16. 如图，在中，已知，是边上一点，. （1）求的值； （2）求的长； （3）求的长. 17. 已知单位向量夹角为，且向量. （1）求的值； （2）若与共线，求实数的值； （3）求. 18. 记的内角的对边分别为，且. （1）求的大小； （2）若是的一条内角平分线，，求的周长. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $