精品解析：吉林省长春市吉林大学附属英才学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2025年吉大英才学校八年级期中考试 数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义．一般地，如果表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：，，分母都不含有字母，都是整式， 分母含有字母，是分式， 故选：B． 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列函数中是一次函数的是（ ） A. （k、b是常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：由一次函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的函数是一次函数， A选项，当时，不是一次函数，不符合题意； C选项，分母中含有自变量，不是一次函数，不符合题意； D选项，含有二次项，不是一次函数，不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：点在第二象限， ∴， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 数轴表示如下： 故选：B． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，先求出、、的值，再比较大小即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限， ∴选项中没有图象符合． 故选：B． 8. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，理解几何图形面积的计算与反比例系数的关系是关键． 设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，则，由，即可求解． 【详解】解：过上任意一点作轴的平行线交于点， 设，则点到的距离为， ∴点的横坐标为，则纵坐标为， ∴， ∴， 解得，， 故选：D ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 10. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 11. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移（）个单位后得到， 把代入，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 12. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得出，结合题意可得且，求解即可． 【详解】解：解分式方程可得， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，于点E，F是线段的中点，连接．若，，则的长为________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可得，求出，，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵F是线段的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12， ∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得：BC===15， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90° ∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF=AD，GF=EF ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积=AB×AC=BC×AD， ∴AD===， ∴EF=AD=,因此EF的最小值为； 又∵GF=EF ∴GF=×= 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简：，再选择一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】，当时，值为 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，结合分式有意义的条件，把代入计算即可. 【详解】解： ； ∵且， ∴当时， ∴原式； 16. 2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 【答案】弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设直角书架的单价为元个，弧形书架的单价为元个． 由题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的解． 当时， ； 答：弧形书架的单价是1200元/个，直角书架的单价是1000元/个． 17. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 【答案】（1）I关于R的函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． （1）设I关于R的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可得解． 【小问1详解】 解：设I关于R的函数解析式为， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴I关于R的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，此时， 当时，，此时， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，要求保留作图痕迹． （1）在图1中画出轴对称图形； （2）在图2中，是边上一点，是边的中点，将点绕点旋转得到点，请画出点； （3）在图3中，是边上一点，请画出点，使两点关于直线对称． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可； （3）连接交于点，连接并延长交于点，可证，得，，再证，得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，画线段，连接， ∵， ∴四边形是菱形，为轴对称图形，对称轴为对角线所在直线， ∴四边形即为所求图形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，并延长交于点， ∵四边形是菱形，点是对角线中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵点关于点的中心对称点为点， ∴将点绕点旋转得到点， 根据中心对称图形的性质可得，点即为所求点的位置； 【小问3详解】 解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴两点关于直线对称， ∴点即为所求点的位置． 20. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，且与x轴交于点B． （1）求点A的坐标和该反比例函数的表达式； （2）若P为y轴上的点，且的面积等于的面积的，求出点P的坐标． 【答案】（1），反比例函数的表达式为；（2），4或， 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入直线的解析式就可求得，然后把代入的就可求得，从而求得反比例函数的解析式； （2）先求得三角形的面积，然后求得三角形的面积，进而求得的纵坐标，从而求得的坐标． 【详解】解：（1）点在直线上， ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． ． 该反比例函数的表达式为； （2）∵直线与轴相交于点． ， ， 的面积是的面积的， ， 设， ， ， ， 的坐标为，4或，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，重点是正确利用待定系数法求得函数的解析式． 21. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________． 【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值” （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （1）根据分式的加法运算法则得出，结合题意判断即可； （2）根据题意可得，再去分母，整理即可得解；②由①可得，结合题意得出或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； 【小问2详解】 解：①∵分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ∴， 去分母可得：， ∴； ②∵， ∴， ∵x为正整数，分式D的值也为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或． 22. 在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 【答案】（1）， （2） （3）乙车出发、或时，两车相距 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设与之间的函数解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为； 由题意可得，，， ∴乙车出发，行驶， ∴乙车行驶速度为， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数解析式为， 【小问3详解】 解：设乙车出发时，两车之间的距离是， ∵， ∴乙车出发时，两车相距， 当两车相遇前相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 当两车相遇后相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距，此时甲车刚到达地， 当甲车从地出发时，乙车出发， ∴两车相距， 当两车相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 综上所述：乙车出发、或时，两车相距． 23. 已知长方形对边平行且相等，四个角都是直角中，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． （1）如图，当点是的中点时，求证：； （2）如图，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由折叠得， ， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 24. 如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． （1）求点坐标； （2）点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； （3）若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的计算方法求解即可； （2）根据题意，，设的长度为，，是等边三角形，，过点作轴于点，可得，由，即可求解； （3）根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则第二种情况，如图所示，四边形是菱形，；第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点；数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：直线图象与轴、轴分别交于两点， 当时，，则， 当时，， 解得，，则； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，则， 设的长度为， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段、上时（不与端点重合）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：以点为顶点的四边形为菱形， 第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则， ∴，则， ∵， ∴点与点重合，则； 第二种情况，如图所示，四边形是菱形，， ∴， 由上述证明可得，， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，四边形是菱形，，连接交于点， ∴，且， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当以为顶点的四边形为菱形时，的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数与菱形性质的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年吉大英才学校八年级期中考试 数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中是一次函数的是（ ） A. （k、b是常数） B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作轴的平行线交于点．若，则（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是__________． 10. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 11. 已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________． 12. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为________． 13. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，于点E，F是线段的中点，连接．若，，则的长为________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为_______. 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简：，再选择一个你喜欢的a的值代入求值． 16. 2025年4月23日是第19个“世界读书日”．学校为给师生增加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源．现需购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%．已知用18000元购买弧形书架的数量比用9000元购买直角书架的数量多6个，求弧形书架和直角书架的单价． 17. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求I关于R的函数解析式； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，要求保留作图痕迹． （1）在图1中画出轴对称图形； （2）在图2中，是边上一点，是边的中点，将点绕点旋转得到点，请画出点； （3）在图3中，是边上一点，请画出点，使两点关于直线对称． 20. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，且与x轴交于点B． （1）求点A的坐标和该反比例函数的表达式； （2）若P为y轴上的点，且的面积等于的面积的，求出点P的坐标． 21. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________． 22. 在一条高速公路上依次有，，三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地.两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______； （2）求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案. 23. 已知长方形对边平行且相等，四个角都是直角中，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． （1）如图，当点是的中点时，求证：； （2）如图，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 24. 如图，直线图象与轴、轴分别交于两点，点分别是射线、射线上一动点（点与点不重合），且，． （1）求点坐标； （2）点在线段、上时（不与端点重合），设的长度为，用含的代数式表示的面积，并写出的取值范围； （3）若为坐标平面内的一点，当以为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $