专题09：直线与圆的方程（九大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（九） 直线与圆的方程 易错点01：忽视直线倾斜角的取值范围 【例1】（24-25高三上·上海·专题训练）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【跟踪训练】 1.已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距． 2．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 易错点02：求直线方程忽略截距为零 【例2】已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例3】已知直线过点且在轴上的截距相等 (1)求直线的一般方程； (2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 【跟踪训练】 1．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 2.经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 易错点03：忽视直线点斜式的适用范围 【例4】下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． C．直线与直线相互垂直． D．直线在y轴上的截距为 【跟踪训练】 1.过点与圆相切的直线方程为________ 易错点04：判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 【例5】已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【例6】已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 【跟踪训练】 1.已知直线与直线平行，则实数a的值为 . 2.已知直线：，：，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点05：平行线间的距离公式使用不当 【例7】若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【跟踪训练】 1．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（    ） A． B． C． D． 2．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．两条平行直线与之间的距离（    ） A． B． C． D．7 4．已知直线，，若，则之间的距离为（    ） A． B． C． D． 易错点06：忽略圆的一般方程的限制条件 【例8】已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围． 【例9】若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是(　 ) A. B.∪ C. D. 【例10】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________． 【跟踪训练】 1.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若点在圆的外部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点07：处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论 【例11】若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________． 【例12】过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　 ) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 【跟踪训练】 1．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 易错点08：曲线方程变形不等价 【例13】若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 3. 已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点09：两圆相切忽略内切、外切的区分 【例14】已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【跟踪训练】 1.（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 2. 已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 一、选择题 1.已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知直线，，，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 3.若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知直线，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 6.若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 8.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 二、填空题 11.在轴上的截距为2且倾斜角是直线的倾斜角的一半的直线的方程为__________. 12.一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则这条直线的方程为__________ 13.过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______． 14.已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 15.已知直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则直线的方程是___________． 16.若点在圆外，则实数a的取值范围是______. 17.已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为 ． 18.已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 三、解答题 19.如果实数，满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值和最小值． 20.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 21.已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（九） 直线与圆的方程 易错点01：忽视直线倾斜角的取值范围 【例1】（24-25高三上·上海·专题训练）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【详解】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距． 【错解】由3x＋my－6＝0，得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋， 得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为. 【错因】忘记讨论当m＝0时，直线的斜率并不存在． 【正解】当m＝0时，直线可化为x＝2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在； 当m≠0时，可得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋， 得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为. 2．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 3．过两不同点的直线的斜率为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【详解】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 4．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 易错点02：求直线方程忽略截距为零 【例2】已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 【例3】已知直线过点且在轴上的截距相等 (1)求直线的一般方程； (2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 【详解】（1）因为直线过点且在轴上的截距相等，当截距为0时，则 当截距不为0时，可设，则，即，∴ 综上，的一般方程：或 （2）由题意得， ，当且仅当时，等号成立 的最小值为 【跟踪训练】 1．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 【详解】（1）当过点时，，所以， 因为，所以，即，于是 （2）由：，令，则，令，则 因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故，又，所以，所以 则：与：之间的距离，所以与之间的距离为. 2.经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可. 【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即； ②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； 综上所述，直线方程为：或或. 故选：B. 易错点03：忽视直线点斜式的适用范围 【例4】下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． C．直线与直线相互垂直． D．直线在y轴上的截距为 【答案】CD 【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B；根据两直线垂直的公式即可判断C；根据直线的斜截式方程即可判断D. 【详解】对于A，点斜式表示斜率存在的直线，故A错误； 对于B，若直线过原点，则，所以直线方程为， 若直线不过原点，设直线方程为， 将点代入解得， 所以直线方程为， 综上，直线l的方程为或，故B错误； 对于C，因为， 所以直线与直线相互垂直，故C正确； 对于D，直线在y轴上的截距为，故D正确. 故选：CD. 【跟踪训练】 1.过点与圆相切的直线方程为________ 【答案】 和 【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据点到直线距离公式求解. 【详解】对于圆 ，配方后得 ， 圆心 ，半径 ， 设过点 的直线的斜率为 ，则直线方程为 ， 因为是切线， ，解得 ，直线方程为 ， 由平面几何知识知，圆外一点作圆的切线有2条，所以另外一条必定是斜率不存在，即 ，显然圆心 到直线 的距离为 ， 综上，切线方程为和 . 易错点04：判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 【例5】已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 【例6】已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。 【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去； 当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． ∴a的值为3. 【跟踪训练】 1.已知直线与直线平行，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，则，，解得或， 当时，直线与直线重合，不符合题意； 当时，，显然成立，符合题意. 故答案为：. 2.已知直线：，：，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【错解】C，因为，则，即，解得， 所以“”是“或”的充要条件. 【错因】未考虑的情况， 【正解】A，（1）当时， 因为，则，即，解得， （2）当时， 直线的方程分别为，显然， 由上可知，若，则或， 所以“”是“或”的充分不必要条件. 易错点05：平行线间的距离公式使用不当 【例7】若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【详解】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 【跟踪训练】 1．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 所以曲线在点处的切线方程为，即 设直线（），依题意得，解得或 所以直线的方程为或故选：AB 2．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得. 【详解】由直线与直线平行， 得，解得， 所以两直线分别为和，即和， 所以两直线间距离， 故选：D. 3．两条平行直线与之间的距离（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由已知两条直线平行，得，所以， 所以直线可化为， 则两平行线间的距离. 故选：C 4．已知直线，，若，则之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，解得，时舍去，可得，再利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】由于两条直线平行，得，解得， 当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意. 当时，，， 故两平行直线的距离为. 故选A. 【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 易错点06：忽略圆的一般方程的限制条件 【例8】已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围． 【错解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝. ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线, ∴|AC|>r, 即>, 化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R. 【错解】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件． 注意，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0. 【正解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝, ∴>0,① ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线, ∴|AC|>r,即 >,化简得a2＋a＋9>0.②， 由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<. 【例9】若点(1,2)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围是(　 ) A. B.∪ C. D. 【错解】选A，∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜， ∴实数a的取值范围为 【错因】忽略了隐含条件a≠0， 【正解】选B　∵点(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2＞2a2，即5－2a＞0，a＜，又2a2＞0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(－∞，0)∪. 【例10】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________． 【错解】因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5. 所以当y＝2时，x2＋4y取得最大值为5. 答案：5 【错因】忽略了隐含条件y∈[－1,1]， 【正解】因为点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，所以x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5. 因为y∈[－1,1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值为4. 答案：4 【跟踪训练】 1.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 2．若点在圆的外部，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点与圆的位置关系列式求解即得. 【详解】由点在圆的外部，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 3．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 易错点07：处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论 【例11】若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________． 【错解】设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－，所以直线方程为15x＋8y－68＝0. 答案：15x＋8y－68＝0 【错因】没考虑斜率不存在的情况。 【正解】（1）当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3， 故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意． （2）当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－， 所以直线方程为15x＋8y－68＝0. 综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0. 答案：x＝4或15x＋8y－68＝0 【例12】过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　 ) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1， 解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 【错因】没考虑斜率不存在的情况。 【正解】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切； （2） 当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0， 则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0. 【跟踪训练】 1．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则其圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 2．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】和 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 易错点08：曲线方程变形不等价 【例13】若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】由知直线l过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数k的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据曲线表示的图形并利用点到直线距离公式计算，结合的几何意义可得结论. 【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆； 易知直线可化为， 当时，圆心到直线的距离为， 此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立； 若与相切，可知，解得或； 检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立； 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2. 已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 易错点09：两圆相切忽略内切、外切的区分 【例14】已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值 【详解】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1.（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆心，结合消参法可得圆心在圆的圆周上，即可得的圆心为，根据外切以及内切满足的半径关系即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 令，消去得，即圆心在圆的圆周上， 且半径为2． 由于不论取何值时，圆总与圆相切，所以圆的圆心必为， 若圆与圆外切，则圆的方程为，即； 若圆与圆内切，则圆的方程为，即． 故选：AC 2.已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在以为直径的圆上，求解圆心和半径，即可根据两圆有公共点，利用圆心距与半径的关系求解，排除恰好经过时的情况即可. 【详解】由于，故在以为直径的圆上， ，故半径为5，圆心为， 由题意，两圆有公共点，可得，解得， 当恰好经过时，不符合题意，此时，则， 综上，的取值范围为， 故答案为： 一、选择题 1.已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 2.已知直线，，，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行列出关系式即可求解. 【详解】因为直线，，， 所以， 解得. 故选：B. 3.若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值. 【详解】直线与直线垂直， 则，解得， 故选：B. 3.已知直线，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，解得或， 当时，直线，，此时两直线不重合， 当时，直线，，此时两直线不重合， 即或时，， 故是的充分不必要条件. 故选：A. 4.已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行求出m的值，再由两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线和互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以即，所以， 因为两直线方程为和， 所以它们之间的距离为. 故选：D. 6.若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解. 【详解】根据题意可得解得或. 故选：D 7.已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 8.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出曲线和直线图形，利用圆和直线的位置关系再由点到直线的距离即可求得的取值范围. 【详解】将曲线整理可得, 因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆， 若直线与曲线有公共点，如下图所示： 当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点； 当直线在直线的位置，即直线与曲线相切， 此时，解得，（舍）； 只有直线位于两直线之间时，满足题意，即. 故选：A 10.已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】先求出公共弦方程，在根据勾股定理由弦长计算圆心到公共弦的距离进而求出，最后再求圆的半径. 【详解】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离， 解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或. 故选：C 二、填空题 11.在轴上的截距为2且倾斜角是直线的倾斜角的一半的直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到所求直线的斜率和经过的点，利用点斜式，写出所求的直线方程. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， ，故，则， 设所求直线为，其轴上的截距为2，故过点，且斜率为， 所求直线：. 故答案为： 12.一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则这条直线的方程为__________ 【答案】 【分析】由已知直线方程求其倾斜角的正切值，即可确定倾斜角的大小，再由二倍角求正切值得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 【详解】解：由直线，得其斜率为， 设其倾斜角为，则，所以 要求直线的斜率为． 又直线过点， 直线方程为，即． 故答案为：． 13.过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______． 【答案】或 【分析】由题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线方程. 【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率， 所以直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点， 可得，所以直线方程为， 故答案为：或. 14.已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 【答案】或 【分析】当直线经过原点时，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出． 【详解】解：当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 15.已知直线过点，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则直线的方程是___________． 【答案】或 【分析】根据截距式方程的两种情况解决. 【详解】当轴上的截距都为零时设的方程为，把点代入得，即，所以的方程为； 当轴上的截距都不为零时，设截距都为，则的方程为，把点代入得 ，即，所以的方程为. 故答案为：或 16.若点在圆外，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式，求解得答案． 【详解】点在圆外， ，且， 解得或． 实数的取值范围为． 故答案为：. 17.已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 所以圆心到直线的距离为， 解得直线的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 故答案为：或． 18.已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值 【详解】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 故答案为：或. 三、解答题 19.如果实数，满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值； （3）的最大值和最小值． 解：（1）实数，满足， 则设整理得，所以圆心到直线的距离， 整理得，即， 所以的最大值为，最小值为． （2）设，所以整理直线为， 圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3）由于的表示的是，原点到圆上的任意点的距离的平方 所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和， 即的平方，故最大值为． 最小距离为的平方，故最小值为． 20.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 21.已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先判断两圆的位置关系，由此设圆心，半径为，然后列方程组求解即可； （2）方法一设出直线的方程，利用点到直线的距离公式结合几何法求弦长可得；方法二利用几何法求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在的时候，存在时结合点到直线的距离公式求解即可； 【详解】（1）圆与圆相切于，且过点， 圆与圆外切，且圆心在直线上. 设圆心，半径为，则， 解得. 圆的标准方程为. （2）方法一：由题意可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为：，即 设圆心到直线的距离为，则， 解得，或， 直线的方程为，或 方法二：设圆心到直线的距离为，则， ①直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意 ②直线的斜率存在时，设为，则直线的方程可表示为， ，解得， 直线的方程为 综上①②，直线的方程为，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$