专题08：数列（八大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（八） 数列 易错点1：已知求时, 易忽略 【例1】在数列中，（），求的通项公式． 【例2】数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 3.在数列中，，且，则 4．已知数列和，其中的前项和为，且，. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)记，求证：. 易错点2：利用等比数列前n项和公式时，忽略公比． 【例3】 设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且.则____. 【例4】设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（    ） A．或2 B．或2 C．1 D．2 【例5】数列前项和满足，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和． 【跟踪训练】 1.已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 2.记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 3．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和． 易错点3：忽略数列与函数的区别． 【例6】已知数列的前项和满足，则下列说法不正确的是（    ） A．是为等差数列的充要条件 B．可能为等比数列 C．若，，则为递增数列 D．若，则中，，最大 【例7】已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 【跟踪训练】 1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 2．已知等差数列的前n项和为， ，且，则取得最小值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（    ） A．15 B．750 C． D． 4.已知数列，其前项和为，则的最大值是________． 易错点4：数列的定义域是全体的正整数 【例8】数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 易错点5：用归纳代替证明． 【例9】已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和， ，其中q>0， ，若 成等差数列，求的通项公式；[来源:学科网ZXXK] 易错点6：数列加绝对值后，认为其还是等差数列． 【例10】已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【跟踪训练】 1.在等差数列中，，记，求数列的前30项和. 易错点7：裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数 【例11】已知数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn<a2－a恒成立，则实数a的取值范围是________________． 【例12】已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 2.已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 3.已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 易错点08：错位相减求和错判项数、公比或符号 【例13】设为数列的前n项和，已知，，．求数列的前n项和． 【例14】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【跟踪训练】 1.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 一、选择题 1.已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 3．记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 4.已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 5.已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 二、填空题 6.设数列的前项和为，，，，则 . 7.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 . 8.已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 9.已知函数，数列满足（），且数列是单调递增数列，则的取值范围是_______． 10. 已知数列在是递增数列，则实数的取值范围是_______． 三、解答题 11.已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 12.已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 13.已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． (3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 14.已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 15.已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（八） 数列 易错点1：已知求时, 易忽略 【例1】在数列中，（），求的通项公式． 【错解】由得，两式相减得，整理得，故是以，等比数列，即． 【错因】未对进行验证． 【正解】由得当时，，两式相减并整理得（）即（），又由得，由于， 故数列是从第二项起以为公比的等比数列，故 【例2】数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，故可求，或者利用结论可求. 【详解】 已知，则当时，， 两式作差，得， 即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列， 从而． 由于，则于是． 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 2．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用前项和与第项的关系，分段求解即可. 【详解】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为. 故答案为： 3.在数列中，，且，则 【答案】 【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用退一相减法可得. 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：. 4．已知数列和，其中的前项和为，且，. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)记，求证：. 【详解】（1）当时，，所以， 时，①，②， ①-②得， 即，， 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以， 所以； （2），即③， ④， ④-③，得 ，因为，，所以. 易错点2：利用等比数列前n项和公式时，忽略公比． 【例3】 设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且.则____. 【错解】由题知，整理得：. ∴，故. 【错因】未考虑的情况。 【正解】由题知：. 当时，显然不成立， 当时，，整理得：. ∴，故. 【例4】设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（    ） A．或2 B．或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由是等比数列，得，故可求. 【详解】由题意可知，，，， 若为常数列，则，不为等比数列，与题意不合； 若，则， 若也是等比数列，则 ，. 即 ， 解得或（舍去）. 故选：． 【例5】数列前项和满足，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和． 【详解】（1），①，当时，， 当时，②， 两式①-②得，即， 其中，也满足上式， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故； ； （2）， 令，解得，又， 故，则， 故，所以为等比数列，首项为，公比为3， 所以. 【跟踪训练】 1.已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，分、两种情况讨论，求出的表达式，结合已知条件可得出等式组，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得，即， 所以，，解得，不合乎题意； 若，则，则， 由题意可得，即， 所以，，可得. 故选：B. 2.记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【详解】等比数列中，，，显然公比， 设首项为，则①，②， 化简②得，解得或（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以． 故答案为： 3．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和． 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以，解得：， 所以， 又，所以. 易错点3：忽略数列与函数的区别． 【例6】已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ） A．是为等差数列的充要条件 B．可能为等比数列 C．若，，则为递增数列 D．若，则中，，最大 【答案】ABD 【分析】计算，当时，，验证知A正确，当时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算得到D正确，得到答案. 【详解】，； 当时，， 当时，，满足通项公式，数列为等差数列； 当为等差数列时，，，故A正确； 当时，，是等比数列，B正确； ，取，则，C错误； 当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确. 故选：ABD 【例7】已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 【答案】AB 【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D. 【详解】当时，， 当时， ，符合， 故， 所以，， 所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确； ，B正确； 因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误； ， 易知当或时，有最大值，D错误. 故选：AB 【跟踪训练】 1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值． 【详解】因为，所以和异号， 又等差数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列， 所以，， 所以， ， 所以当时，的最大值为19． 故选：C． 2．已知等差数列的前n项和为， ，且，则取得最小值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式，求得，，进而得到当当时，，当时，，即可求解. 【详解】由等差数列的通项公式，得，又， 所以 则等差数列中满足，，且， 数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当取得最小值时，n的值为. 故选：B. 3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（    ） A．15 B．750 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得数列是以首项为25，公差的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n项和的性质分析运算. 【详解】由，可得， 所以数列是以首项为25，公差的等差数列，且为单调递减数列， 其通项公式为． 当且时，Sn最大， 解得且，则， 即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值， 故S15最大，. 故选：C． 4.已知数列，其前项和为，则的最大值是________． 【错解】由题意，，， 当时，的最大，最大值是为． 【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数． 【正解】方法1：由题意，，， 当时，离二次函数对称轴最近，所以的最大值是为． 方法2：令，解得，即前4项为正数，后面项均为负数， 所以的最大值为． 易错点4：数列的定义域是全体的正整数 【例8】数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列的通项公式为，且为递增数列，所以对于都成立，即对于都成立，从而求得参数的取值范围. 【详解】因为数列的通项公式为，且为递增数列， 所以对于都成立， 所以对于都成立，即， 所以对于都成立，所以对于都成立， 所以，即的取值范围是， 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 【答案】D 【分析】因式分解得到，故当时，；当时，，当时，，从而得到答案 【详解】， 当时，；当时，，当时，， 故当或10时，取得最小值. 故选：D 易错点5：用归纳代替证明． 【例9】已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和， ，其中q>0， ，若 成等差数列，求的通项公式；[来源:学科网ZXXK] 【错解】依题意，解得，因为， 所以是一个等比数列，所以. 【错因】由前3项成等比数列，就认为数列为等比数列．[来源:学#科#网] 【正解】由已知， 两式相减得到. 又由得到，故对所有都成立. 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列. 从而. 由成等比数列，可得，即， 则，由已知,，故 . 所以. 易错点6：数列加绝对值后，认为其还是等差数列． 【例10】已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答. （2）令，判断数列的单调性，确定正数项、负数项，再结合等差数列前n项和公式分段求和作答. 【详解】（1）因为成等比数列，则有， 即，而，解得，则， 所以的通项公式是． （2）由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值， 设的前项和为，则， 若，， 若， ， 所以. 【跟踪训练】 1.在等差数列中，，记，求数列的前30项和. 【错解】依题意，也是等差数列，，， 所以． 【错因】这里易错点是也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的的正负号进行讨论，当时，时， 【正解】 =755． 易错点7：裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数 【例11】已知数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn<a2－a恒成立，则实数a的取值范围是________________． 【错解】因为＝， 所以Tn＝， 又因为12Tn<a2－a恒成立， 所以12×1≤a2－a，解得a≤－3或a≥4. 【错因】对进行分拆时忽略了系数，应等于， 【正解】因为＝， 所以Tn＝＝＝－·<， 又因为12Tn<a2－a恒成立， 所以12×≤a2－a，解得a≤－2或a≥3. 【例12】已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得； （2）由可得，由裂项相消法即可求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，证明：. 【详解】（1）因为， 当时，，，，， 当时，由得， 两式相减得， ，，，所以有， 从而， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公差的等差数列， ， 所以. （2）由，且， 所以. 2.已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由，得， 令，，得，可得， 所以，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，，所以， 所以的前30项的和为. 故选：D. 3.已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式； （2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，， 当时，则有，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以. （2）由（1）可得，则，则， 所以， 所以 . 易错点08：错位相减求和错判项数、公比或符号 【例13】设为数列的前n项和，已知，，．求数列的前n项和． 【错解】令，得，即．因为，所以． 令，得，解得． 当时，由，两式相减得， 即．于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此． 所以数列的通项公式为．则． 记数列的前n项和为，于是① 则．② ①－②得． 从而． 【错因】两式相减时，项的符号出错， 【正解】令，得，即．因为，所以． 令，得，解得． 当时，由，两式相减得， 即．于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此． 所以数列的通项公式为．则． 记数列的前n项和为，于是① 则．② ①－②得． 从而． 【例14】设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 【跟踪训练】 1.设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解. 【详解】（1）当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 2.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可将已知化为，再根据等比数列的定义可求出数列的通项，再根据与的关系即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； （2）由（1）得， 则， 即， ， 两式相减得， 所以. 试卷第2页，共27页 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题 1.已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由对恒成立求得的范围，再与比较即可得． 【详解】为递增数列 ， 而“”是“”的充分不必要条件 2.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列的通项公式，从而将不等式转化为，利用数列的单调性求最值即可得实数的范围，从而得最小值. 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值 3．记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 4.已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，则，分、两种情况讨论，求出的表达式，结合已知条件可得出等式组，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得，即， 所以，，解得，不合乎题意； 若，则，则， 由题意可得，即， 所以，，可得. 故选：B. 5.已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】按照和分类讨论，利用等比数列通项公式和求和公式列方程组求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，的值是1或. 故选：C 二、填空题 6.设数列的前项和为，，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由与的关系可得，从而求出即可. 【详解】因为，当时，， 两式相减可得，即， 所以，又，所以， 所以， 所以，且也符合上式， 所以， 故答案为： 7.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】利用和的关系可得，进而得到数列为等比数列，首项为3，公比为，进而求解即可. 【详解】由， 当时，，则； 当时，， 则，即， 所以， 则数列为等比数列，首项为3，公比为， 所以，则. 故答案为：. 8.已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】由题设得，所以，化简得， 所以数列是首项，公比为的等比数列，所以， 当时，依然成立，所以． 故答案为： 9.已知函数，数列满足（），且数列是单调递增数列，则的取值范围是_______． 【错解】由题有，得． 【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将带入到分段函数的两个部分进行比较 【正解】由题有，得． 10. 已知数列在是递增数列，则实数的取值范围是_______． 【错解】依题意，，解得，所以的取值范围是． 【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法． 【正解】依题意，，即，得 三、解答题 11.已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到. 【详解】（1）当时，， 又，可得， 当时，，则，即， 又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； （2）由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 12.已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得； （2）由可得，由裂项相消法即可求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 13.已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． (3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义可得答案； （2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解； （3）整理可得，列式求的最大值，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】（1）因为，故， 所以，即， 所以数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以； （2）由（1）可知： ， 所以 ； （3）因为， 即，可得， 令，解得， 且，可得，即， 可得，所以实数的最小值． 14.已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用的关系先求得的递推公式，根据构造法求出，再由的关系求，然后可得； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 15.已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见详解， (2) 【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$