专题07：空间向量和立体几何（七大易错点通关训练）-2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（七） 空间向量与立体几何 易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错 注意：直观图还原原图时注意长度有变有不变:与轴平行(重合)的线段长度不变:与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半 【例1】（2023上海·高二期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，再计算平面图形的面积即可. 【详解】由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图： 则， 则把直观图还原为平面图形如下图： 这个平面图形的面积为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 2.如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ． 【答案】 【解析】把直观图还原为,如图所示： 根据直观图画法规则知,, 所以的长度为. 故答案为：. 易错点02：线面位置关系考虑不全面出错 注意：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断， 【例2】（上海市浦东新区2023届高三下学期期中数学试题）在空间中，下列命题为真命题的是（    ）． A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 【答案】D 【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明. 【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交， 如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误； B选项，如图2，，，则， 故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误； C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为， 则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误； 选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下： 因为，，，所以， 因为⊥，，所以⊥，故，证毕. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确 故选：D 【跟踪训练】 1.设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案. 【详解】 如图，长方体中，平面. 在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行； 若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行. 所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2.直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（    ） A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对 【答案】D 【分析】分为以及直线与平面相交，讨论即可得出答案. 【详解】因为直线与平面不平行，所以直线与平面的关系有两种，即以及直线与平面相交. 当时，显然在内与a平行的直线有无数条； 当直线与平面相交时，设. 当，且时，此时，即直线、相交； 当，且时，可知直线、异面. 综上所述，当直线与平面相交时，内与a平行的直线有0条. 所以，直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有无数条或0条. 故选：D. 3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是 A．若，则 B．若，则 C．若相交，则相交 D．若相交，则相交 【解析】解：由、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，， 若，我们可得且，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故A正确； 若，则或，此时，故B正确； 若、相交，则表示，不平行，则，也不平行，则、相交，故C正确； 若、相交，则、既可以是相交直线，也可以是异面直线．故D错误 故选：D． 4．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【解析】若，，则或，故错误； 若且，则，故正确；若，，，，则与相交或，故错误；若，，则不一定平行，故错误. 故选： 5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ） ①若，，且∥，则∥； ②若，∥，且∥，则； ③若∥，，且，则∥； ④若，，且，则. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【解析】由且，可得， 而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确； 由于，，所以，则，故②正确； 若与平面的交线平行，则， 故不一定有，故③错误； 设，在平面内作直线， ，则，又，所以， ，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B 易错点03：对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻 【例3】已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；　 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(　　) A．3　　　　 B．2 C．1 D．0 【错解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确． 对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD； 对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C. ∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.故正确，故选B. 【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内． 【正解】对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1， ∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误，故选C. 【跟踪训练】 1.已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ． 【答案】/0.4 【详解】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以，从而， 又菱形中，，所以是等边三角形，则， 而，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以，从而， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以， 设，则由已知得，， ，， 中，，从而，，， ， 所以. 故答案为：. 2.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，． (1)证明：平面ABE； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可. 【详解】（1） 证明：连接交于点，取的中点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以， 因为，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面ABE， （2） 取的中点为，连接， 因为，，所以为等边三角形， 所以，， 因为平面平面ABCD，平面平面ABCD ，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为， 因为是直角梯形，，，，， 所以， 所以. 易错点04：忽略建系的条件而出错 【例4】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 【跟踪训练】 1.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据已知求得，计算即可证； （2）求向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）先求平面的一个法向量，再利用距离的向量法公式即可求解. 【详解】（1）证明：点在平面上的投影为线段的中点平面， 四边形是直角梯形，， ，且， 如图，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则， 令，故， ， 平面， 平面. （2）由（1），， 设平面的一个法向量， 则，则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点到平面的距离为，由（1）， 则， 所以点到平面的距离为. 2.如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 3.在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据已知条件的三个直角，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，证得法向量平行即可； （2）求出两个半平面的法向量，代入余弦公式可以求得三棱柱其他边的长度，用余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则由题意，， 设，则，， 则，， ，，， 因为，所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 所以，所以， 所以平面平面； （2）设平面的法向量为， 则， 取，则， 设二面角的平面角为， 所以，· 所以，即， 解得或（舍），则， 所以，即， 又，所以. 易错点05：忽略异面直线所成角的范围出错 注意：异面直线所成角的范围 【例5】已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以为建立空间直角坐标系，设，根据，求得，即可求得结果. 【详解】分别以为建立空间直角坐标系，设， 则, 直线与所成角的余弦值为， . 解得：,,. 故选：B.    【例6】如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设O，C，D分别为线段，，的中点，连接，，，，利用三角形中位线定理可知是异面直线与所成的角或其补角，再利用解三角形的知识求出的边长，最后利用余弦定理即可得解. 【详解】解法一   如图，设O，C，D分别为线段，，的中点，连接，，，则，，，， ∴是异面直线与所成的角或其补角. ∵，为的中点，∴，， ∵平面平面，平面平面，∴平面. 设为的中点，连接，，则平面， ， ， ， ∴，连接，易得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 解法二   如图，设为线段的中点，连接，， ∵，∴，， ∵平面平面，平面平面，∴平面， ∵，∴，，故以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ∴，M（0，0，3），， ，∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选:D. 【跟踪训练】 1.已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________. 【答案】或 【分析】取中点，先通过平行关系分析异面直线与所成的角为或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出的长度. 【详解】取中点，连接，因为分别为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成的角即为或其补角， 当异面直线与所成的角为时， ，且，所以为等边三角形，所以； 当异面直线与所成的角为的补角时， ，且，所以， 所以， 综上可知，长为或， 故答案为：或. 2.如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 【答案】 【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，根据，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为、分别为与的中点， 可得，且， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 在中，因为，所以， 所以，即直线与所成的角为， 所以异面直线与所成的角. 故答案为：. 3．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因此或其补角为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，为的中点，则，且， 同理，在等腰中，， 所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为. 故选：B 4．如图，正方形的边长均为2，动点在线段上移动，分别为线段中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【解析】因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形，所以当最短时，取最大值， 可知，即为的中点时，取最大值， 因为分别固定在线段的中点处， 所以，所以， 因为为锐角，所以，所以，    取的中点，连接， 因为分别为线段的中点，则∥，且，且∥， 可知异面直线与所成角为（或其补角） 且分别为线段的中点，则∥，且， 且∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得， 可得， 在中，由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 6．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为  （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，分别取的中点，连接， 可得且， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 因为三棱柱为正三棱柱， 因为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 再取的中点，连接，可得， 因为底面，所以底面， 在直角中， 可得， 所以，所以， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 6．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：连接，取的中点，连接，如图所示，    分别是的中点，，则是异面直线与所成角或其补角. 正方体棱长为2，面对角线长为，由正方体的结构可知， 中，，，则， 同理，在中，，， 由余弦定理可知. 所以异面直线与所成角的余弦值是. 解法二：以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 有，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角 注意：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围 【例7】在正方体中，设，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接交于，连接，，.    在正方体中，，，四边形是平行四边形， 所以，. 正方形中，，故是的中点， 所以，且， 在中，，分别是，的中点， 所以，且， 所以，且， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.    不妨设正方体的棱长为2，故，，，，. 在正方体中，平面，故是平面的一个法向量. 设是平面的法向量，，， 故即 取，则 所以是平面的一个法向量. 故， 设二面角的大小为， 据图可知，， 所以二面角的余弦值为. 【例8】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在底面的射影为中点，则平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的 正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以，， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的余弦值为.故选：B. 【例9】如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上． (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）建系，利用空间向量求异面直线夹角； （2）设可得，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算. 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 若为的中点，则， 可得， 设异面直线与所成角， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为 （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 对于开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为， 【跟踪训练】 1.如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由条件可得平面，则就是与平面所成的角，根据题中条件求解即可. 【详解】∵平面，∴平面． 连接，如图所示，则是在平面上的射影， ∴就是与平面所成的角． 设，则， ∵，∴， ∵，是的中点，∴， ∴， ∵平面，平面，∴， ∴， ∴， ∴与平面所成角的余弦值为 故答案为：. 2.在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明是平面的法向量后，可得直线与平面所成角的正弦值即为与所成角的余弦值，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】 连接，为的中点， ， ， ， ， 故 ； ， 又 ， 又 ， 故， 又、平面，且， 故平面，即是平面的法向量， 设与平面ABCD所成角为 所以 故选：B. 3.如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.    (1)求原图形的面积； (2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的） 【解析】（1）原图形是个平行四边形，如下图所示，底为，高为.    . （2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥， 另一侧有多出一个相同的圆锥. 几何体表面积. 几何体体积. 易错点07：忽略二面角范围 【例9】如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的余弦值； 【解析】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，    则，可得， 连接AC，则， 因为，可得， 由，可得， 且，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得， 且，，平面，可得平面， 且平面，可得， 又，可知就是二面角的平面角， 在，可得， 所以二面角的余弦值为. 【例10】如图，在三棱锥中，平面，，.    (1)求点到平面的距离； (2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值. 【解析】（1）因为平面，又平面，平面， 所以， 又，由勾股定理得， 又， 所以，故， 因为，平面， 所以平面，则为点到平面的距离， 故点到平面的距离为2. （2）在平面内过点作的平行线，则， 以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由勾股定理得：， 则，    ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 所以， 记二面角的大小为，则， 故二面角的正弦值为. 【例11】在正方体中，设，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接交于，连接，，.    在正方体中，，，四边形是平行四边形， 所以，. 正方形中，，故是的中点， 所以，且， 在中，，分别是，的中点， 所以，且， 所以，且， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. （2）法一：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.    不妨设正方体的棱长为2，故，，，，. 在正方体中，平面，故是平面的一个法向量. 设是平面的法向量，，， 故即 取，则 所以是平面的一个法向量. 故， 设二面角的大小为， 据图可知，， 所以二面角的余弦值为. 法二：取的中点，的中点，连接，，.    在正方体中，，， 又，分别是，的中点，故，， 四边形是平行四边形，所以， 又，，故，， 因为，平面，所以平面， 又平面，故. 在正方形中，， 在中，，分别是，的中点，故，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 所以是二面角的平面角. 不妨设正方体的棱长为2， 在中，，， 故，所以， 所以二面角的余弦值为. 变式3．如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.    (1)设平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）延长交于点，连接，如图，    依题意，分别为的中点，则， 因此分别是以为斜边的直角三角形， 即，又，平面平面， 于是平面，而平面平面，显然直线与重合， 所以平面. （2）    取的中点，连接交于点，则为中点，连接， 由为等边三角形，得，则为二面角的平面角， ，在中，，则， 由平面，平面，得，又，于是， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 1．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点.. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）   连接交于，连接, 在中，为中点，为中点, 所以， 又因为平面，平面 所以平面. （2）由题意侧棱底面，所以底面，即， 又，所以平面, 所以可建立空间直角坐标系如图： 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴，    则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取则 所以平面的一个法向量为， 因为底面， 所以平面的一个法向量为, 设二面角大小为， 则， 所以二面角的余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.    (1)证明平面； (2)求异面直线与所成的角的正切值； (3)求二面角的正切值. 【解析】（1）证明：在中，由题设，可得. 于是. 在矩形中，. 又，平面， 所以平面. （2）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 在中，由余弦定理得 由（1）知平面，平面， 所以，因而，于是是直角三角形， 故. 所以异面直线与所成的角的正切值为. 解法二：    由（1）可知，平面,平面， 所以平面平面， 作于M，交于点， 因为平面平面， 平面， 所以平面， 又平面，所以， 以M为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， ，则. 所以异面直线与所成的角的正切值为 （3）   过点M做于E，连接. 因为平面，平面，所以. 又，因而平面， 又平面，所以 从而是二面角的平面角. 由题设可得， ，， ，， ， 于是在中，. 所以二面角的正切值为. 解法二：由（2）知，. 设平面PBD的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以 ， 又平面的一个法向量可以是. 由图知二面角的大小为锐角， 所以，则 所以二面角的正切值为. 一、选择题 1.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（    ） A．12 B． C．5 D．10 【答案】D 【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解； 【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽. 故该平面图形的周长为. 故选：D 2.已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．，且 D．，， 【答案】C 【分析】根据直线与平面位置关系的判定与性质，结合充分条件，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则直线与平行、相交或异面，所以A不符合题意； 对于B中，若，，则直线与平行或异面，所以B不符合题意； 对于C中，若，，根据线面平行的性质定理，可得，所以“，且”是“”的充分条件，所以C符合题意； 对于D中，若，，，则直线与平行或异面，所以D不符合题意. 故选：C. 3.已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析． 【详解】若，，则或，故A选项错误； 若，，，则或与相交，故B选项错误． 若，，则或，故C选项错误； 若，，，，则，正确， 证明如下：，，，， 又，且，，则，故D选项正确； 故选：D． 4.下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 【答案】D 【分析】以正方体为载体，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解. 【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误； 在B中，在正方体中，AB、DC、三条直线互相平行，但不共面， 故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误； 在C中，在正方体中，两两相交的三条直线AB、AD、不共面， 故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误； 在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.      故选：D. 5.在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．垂直同一直线的两条直线平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面 【答案】D 【分析】借助长方体以及平行六面体，举例即可判断B、C；根据面面平行的定义，即可判断D项. 【详解】对于A项，若三点共线，则经过三个点的平面有无数个，故A项错误；    对于B项，如图1，长方体中，有，，但是，故B项错误；    对于C项，如图2，平行六面体中，，，但是与不相等，故C项错误； 对于D项，若两个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面，故D项正确. 故选：D. 6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可. 【详解】A：若，则、可能平行或相交，故A错； B：若，则或，故B错； C：若，则或，故C错； D：若，则存在直线，使得， 又，所以，所以.故D对. 故选：D 7.设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 【答案】B 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 8.已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角的余弦. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，    则，， 因此， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A 9.）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出相应图形连接，交于点，连接，由四棱锥为正四棱锥，可得底面，从而可求得即点在以为圆心，1为半径的圆上，然后建立空间直角坐标系，再利用异面直线向量求法即可求解. 【详解】根据题意作图如图所示，连接，交于点，连接，    因为四棱锥为正四棱锥，可得底面． 由底面边长为，可得，所以， 在中，，，可得， 又由，在中，可得， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以当点为圆与的交点时，，两点间距离最小，最小值为． 以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确. 故选：A. 10.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】在堑堵中，平面，，，， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 故选：A． 11.在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【详解】    分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为， 故选：A. 二、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）由证明平面，再由线面平行的性质得到； （2）取中点，作，由等腰三角形得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，然后建立空间直角坐标系，由已知线段的几何关系求得线段长，写出点坐标，设得到点坐标，然后写出面的向量求出两个面的法向量，由空间向量表示出面面角建立方程，解得的值即为的值. 【详解】（1）∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2）如图，取中点，连接，过作交于点， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴， ∵， ∴， ∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系， ∵，，，且，∴ ∴，，，，， ∴，设，则， ∴，，，， 设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：，， 则，， 令，，解得，， 设平面ABE与平面PCD的夹角为，则， 即，∴或， 即或. 13.如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                            （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 14.如图，在平行六面体中，． (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定证得平面，因为平面，由平面与平面垂直的判断即可得得证； （2）先由平面与平面垂直的性质得到平面，从而可得，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的法向量，利用平面与平面的夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为． 由余弦定理求得，，所以， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以，结合（1）知，两两垂直， 则以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示． 则， 故， 所以，所以． 设，则， 即，所以． 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以． 因为， 所以， 解得，从而， 记平面的法向量为， 则，令，则，所以． 则， 即平面与平面的夹角余弦值为． 15.如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． (1)证明：； (2)过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. （2）连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点. (1)在线段上找一点，使平面，并说明理由； (2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【解析】（1）如图所示： 当点为的中点时，平面，证明如下： 设为中点，连接. 因为在三棱柱中，， 分别为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图所示： 取中点，连接. 因为，， 所以为正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 因为为等边三角形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 依题意得， 所以，. 设平面的法向量， 则由，得，令，得. 取平面的法向量， 设平面与平面所成二面角的大小为， 则. 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（七） 空间向量与立体几何 易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错 注意：直观图还原原图时注意长度有变有不变:与轴平行(重合)的线段长度不变:与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半 【例1】（2023上海·高二期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 2.如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ． 易错点02：线面位置关系考虑不全面出错 注意：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断， 【例2】（上海市浦东新区2023届高三下学期期中数学试题）在空间中，下列命题为真命题的是（    ）． A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 【跟踪训练】 1.设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（    ） A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对 3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是 A．若，则 B．若，则 C．若相交，则相交 D．若相交，则相交 4．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ） ①若，，且∥，则∥； ②若，∥，且∥，则； ③若∥，，且，则∥； ④若，，且，则. 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 易错点03：对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻 【例3】已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；　 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(　　) A．3　　　　 B．2 C．1 D．0 【跟踪训练】 1.已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ． 2.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，． (1)证明：平面ABE； (2)若，，，求三棱锥的体积． 易错点04：忽略建系的条件而出错 【例4】（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【跟踪训练】 1.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 2.如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3.在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 易错点05：忽略异面直线所成角的范围出错 注意：异面直线所成角的范围 【例5】已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【例】如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________. 2.如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 3．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长均为2，动点在线段上移动，分别为线段中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为  （      ） A． B． C． D． 6．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角 注意：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围 【例6】在正方体中，设，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【例7】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例8】如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上． (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【跟踪训练】 1.如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ． 2.在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点07：忽略二面角范围 【例9】如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.    (1)求证：平面. (2)求二面角的余弦值； 【例10】如图，在三棱锥中，平面，，.    (1)求点到平面的距离； (2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值. 【跟踪训练】 1．在正方体中，设，分别为棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 2．如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.    (1)设平面与平面的交线为，证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 3．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点.. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.    (1)证明平面； (2)求异面直线与所成的角的正切值； (3)求二面角的正切值. 一、选择题 1.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（    ） A．12 B． C．5 D．10 2.已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．，且 D．，， 3.已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 4.下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 5.在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．垂直同一直线的两条直线平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面 6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 8.已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9.在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 10.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11.在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值． 13.如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 14.如图，在平行六面体中，． (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 15.如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． (1)证明：； (2)过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16．如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点. (1)在线段上找一点，使平面，并说明理由； (2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$